人教版初中数学九年级上册《 第二十一章 一元二次方程（章末总结）》 课件+单元测试（含教师学生版）

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第十一章 一元二次方程章节复习
人教版数学九年级上册
1）了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。2）利用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程。3）利用一元二次方程解决实际问题。重点利用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程。难点利用一元二次方程根与系数的关系进行计算。
解一元二次方程方法为本章基础内容，它的计算量相对较大，对正确率要求比较高，要求根据方程的结构，选用合适的方法解方程。大题通常考查利用一元二次方程解决实际问题（如利润题型、面积题型、增长率等）。本章的难点在于根与系数关系部分，基础考查两根和与两根乘积，综合考查利用根与系数的关系求代数式的值，难度较大，需要多加练习，灵活运用根与系数关系变形求解！
只含有_______未知数（元），并且未知数最高次数是_____，等号两边都是________，这样的方程叫一元二次方程。
一个
2
整式
ax 2 + bx + c = 0（a≠0）
一元二次方程的一般形式为___________________________________。
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
【提问】为什么强调a≠0
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个________________的实数根______________________；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个________________的实数根______________________；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程_______实数根。
不相等
相等
x1＝x2＝0
无
≥
 
一般地，对于方程(mx＋n)2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个________________的实数根______________________；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个________________的实数根______________________；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ____0，所以方程_______实数根。
不相等
相等
 
无
≥
 
将方程通过配成____________形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是为了___________，把一个一元二次方程转化成______一元一次方程来解。
(若方程二次项系数为1时，方程两边加 )
用配方法解一元二次方程的关键：
将一元二次方程配成完全平方形式。
完全平方
降次
两个
一次项系数一半的平方
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。
判别式概念：
判别式表示：
通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.
 
由前面的推导过程，可知：
1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有____________________________的实根。
1）若△= 0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有____________________________的实根。
1）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） ____________________________实根。
即当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为
两个不相等
两个 相等
无
利用因式分解法求解一元二次方程的基本步骤
①移项，使一元二次方程等式右边为0;②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式相乘的形式;③赋值，分别令每个因式等于0，得到两个一元一次方程;④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
根与系数的关系（韦达定理）
内容
应用
条件：∆≥0
内容
应用
利用一元二次方程解决实际问题：1）传播问题：明确每轮传播中的___________个数，以及这一轮被传染的__________．2) 增长率问题： ①如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为 ____________，第二次增长后的数量为____________． ②如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为 __________，第二次下降后的数量为___________．3）几何问题：①常见几何____________是等量关系。 ②解决课本封面、小路宽度常采用____________列方程。
传染源
总数
a(1＋x)
a(1＋x)2
a(1－x)
a(1－x)2
周长面积
图形平移
利用一元二次方程解决实际问题：4) 数字问题： ①若个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则十位数字表示为____________. 百位数字表示_____________. ②日历中的某个日期，左右相差___________，上下相差___________.5）利润问题：单件利润=___________,总利润=________________6) 表格问题：理解题干内容，从题干中获取信息。7）动点问题：在动点中观察图形的变化情况，需理解动点在图形不同位置情况，才 能做好计算推理过程。在变化中找到不变的性质是解决动点问题的基本思路。
100c+10b+a
10b+a
1
7
售价-进价
单件利润×销量

1）用直接开平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程。2）一元二次方程根的判别式，有两种考查方式： ①给出一元二次方程，求方程的根的情况。 ②给出带有参数的一元二次方程和根的情况，求参数的取值范围。3）一元二次方程的根与系数的关系，主要考查方式： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数； ③不解方程求关于根的式子的值，如求x12+x22等； ④判断两根的符号；⑤求作新方程；⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值。4）列一元二次方程解决实际问题，以实际生活为背景，命题比较广泛（常见的题型是增长率/传播问题）.
（题型一：一元二次方程定义及一般式）
 
（题型二：配方法求解一元二次方程）
 
 
（题型三：公式法求解一元二次方程）
 
 
（题型四：判别式）
 
（题型五：分解因式法求解一元二次方程）
 
【详解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程无实数解；当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，故选A．
（题型六：一元二次方程根与系数的关系）
 
 
（题型六：一元二次方程根与系数的关系）
 
 
（题型七：利用一元二次方程解决实际问题）
1.矩形面积为864平方步，宽与长共60步，问长与宽各多少步．利用所学知识，可求出长与宽分别是_______________2.组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请_________个队参赛？
 
【详解】解：设长为x步，则宽为（60−x）步，依题意，得：x（60−x）＝864，解得：x1＝36，x2＝24，答：长与宽分别是36步，24步，
（题型七：利用一元二次方程解决实际问题）
 
 
 
 
（题型七：利用一元二次方程解决实际问题）
 
 
一元二次方程是初中数学的重要内容，在历次中考中均占重要地位。根据近几年各地中考发现，考查题型不固定，基础题、中档题、难题均有涉及，解答题中通常会出现解一元二次方程的题型，这类题型较为基础，应用题会出现一元二次方程、一元二次方程组，不等式综合命题，而且一元二次方程常与二次函数、解直角三角形、圆等知识综合命题作为中考压轴题出现。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11．（2022年江苏省泰州市中考数学真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得(50-2x)×(38-2x)=1260解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)答：道路的宽应为4米．
12．（2022年贵州省毕节市中考数学真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价） (1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-a)元，由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a1=3，a2=7，故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30元一件时，平均每天销售利润为90元．尝试求解问题一、二