初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试教案

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10

教学目标

1进一步加深对一元二次方程及其解的理解，能选择恰当的方法解一元二次方程，掌握用一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决能力.

2经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识.

3进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神.

教学重点

理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力.

教学难点

综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题.

一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解

1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0),这里二次项系数a≠0是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错.

思考 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一根为0，则常数m的值为.（参考答案：m=2）

2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想.

3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b2-4ac与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.当Δ=b2-4ac＜0时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2，则x1+x2=-,x1·x2=.（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b2-4ac是否大于等于0，否则所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视.

4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理.

三、典例精析，复习新知

例1已知关于x的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，则m+n的值为           .

分析：由题意应有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数m+n-1≠0，∴m+n≠1,从而可知m+n=-1.

例2已知a是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式a2-2013a+的值.

例3已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个实数根，试求m的最小整数值.

例4已知关于x的方程x2-2x-a=0.

（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；

（2）若此方程的两个实数根为x1,x2，则的值能等于吗？如果可以，请求出a的值；如果不能，请说明理由.

例5某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元销售时，每月可销售360件；若按每件25元销售时，每月能卖出210件，假定每月销售件数y（件）是价格x的一次函数.

（1）试求y与x之间的关系式；

（2）当销售价定为多少时，每月获得1800元利润？

（3）每月的利润能达到2000元吗？为什么？

四、复习训练，巩固提高

1.若方程(m2-2)x2-1=0有一根为1，则m的值是多少？

2.若方程3x2-5x-2=0有一根为a，则6a2-10a的值是多少？

3.已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，a为何非负整数时，（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等实数根？（3）方程有两个不等实数根？

4.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，在对顾客利益最大基础上，那么每件童装应降价多少元？

五、师生互动，课堂小结

通过这节课学习，对本章的知识你有哪些新的认识？有何体会？

1.布置作业：从教材“复习题21”中选取.

2.完成练习册

札记