苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第5章导数及其应用5．3.3　最大值与最小值(2)-导学案（有答案）

5．3.3　最大值与最小值(2)

1. 通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用．

2. 通过对实际问题的研究，培养分析问题、解决问题及数学建模的能力．

例1　将边长为60 cm的正方形铁皮的四个角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱．当箱底边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

思考1

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤是什么？

例2　某种圆柱形的饮料罐的容积一定，如何确定它的底面半径和高，才能使它用料最省？

例3　已知A，B两地相距200 km，一只船从A地逆流行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤20)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为多少？

思考2

若把船在静水中的速度8<v≤20改为8<v≤x，则结果如何？

例4　在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)．

(1) 如果C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1 000，那么生产多少单位产品时，边际成本C′(x)最低？

(2) 如果C(x)＝50x＋10 000，产品的单价p(x)＝100－0.01x，那么怎样定价可使利润最大？

1. 某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注．据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是(　　)

A. 6时  B. 7时  C. 8时  D. 9时

2. 现需设计一张学期质量检测数学试卷，该试卷含有大小相等的左右两个矩形栏目．假设这两栏的面积之和为720 cm2，四周空白的宽度为4 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为2 cm，设试卷的宽为x cm，长为y cm.当试卷的面积最小时，该试卷的宽为(　　)

A. 8cm  B. 10cm  C. 32cm  D. 40cm

3. (多选)根据国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，某年全国夏粮总产量达14 281万吨，创历史新高．某粮食加工企业设计了一种容积为63 000πm3的粮食储藏容器，如图1所示．已知该容器分上、下两部分，上部分是底面半径和高都为r(r≥10)m的圆锥，下部分是底面半径为rm、高为hm的圆柱体，如图2所示．经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为a元，圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用为a元，设每个容器的制造总费用为y元，则下列说法中正确的是(　　)

A. 10≤r<40  B. h的最大值为

C. 当r＝21时，y＝7 029aπ  D. 当r＝30时，y有最小值，最小值为6 300aπ

图1                            图2

4. 已知某矩形广场面积为40 000m2，则其周长至少为________m.

5. 学校某班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

参考答案与解析

【活动方案】

例1　设箱底边长为x cm，则箱高为h＝(0<x<60)，箱子容积是V(x)＝x2·.

由V′(x)＝60x－x2＝0，

解得x1＝0(舍去)，x2＝40.

当x∈(0，40)时，V′(x)>0；当x∈(40，60)时，V′(x)<0，

所以函数V(x)在x＝40处取得极大值，且是最大值，最大值为V(40)＝16 000，

故当箱底边长为40cm时，箱子容积最大，最大为16 000cm3.

思考1：①分析实际问题中各量之间的关系，建立数学模型，写出函数表达式y＝f(x)，注意定义域；

②求函数f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

③比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值大小；

④回归实际问题作答．

例2　设圆柱的高为h，底面半径为R，

则表面积S(R)＝2πRh＋2πR2.

又V＝πR2h，所以h＝，

所以S(R)＝2πR·＋2πR2＝＋2πR2(R>0)．

则S′(R)＝－＋4πR.

令S′(R)＝0，解得R＝，

则h＝＝2＝2R，即h＝2R，

当R<时，S′(R)<0；当R>时，S′(R)>0，

故当h＝2R时，S(R)取得极小值，且是最小值，

故当罐高与底面直径相等时，用料最省．

例3　设每小时燃料费为y1，比例系数为k，则y1＝kv2.

由题意，得k＝＝5，所以y1＝5v2.

设全程燃料费为y，

则y＝5v2·＝(8<v≤20)，

所以y′＝.

令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16，

所以当v∈(8，16)时，y′<0；当v∈(16，20]时，y′>0，

所以当v＝16时，y取得最小值，

故为了使全程燃料费最省，船的实际速度应为 8km/h.

思考2：由例4，得

若x<16时，则y在区间(8，x]上单调递减，

当v＝x时，y取最小值；

若x≥16时，则y在区间(8，16)上单调递减，在区间[16，x]上单调递增，

当v＝16时，y取最小值．

综上，当x≥16时，实际船速为8km/h时，全程燃料费最省；当x<16时，实际船速为(x－8)km/h时，全程燃料费最省．

例4　(1) 由题意，得C′(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5.

记g(x)＝C′(x)，

由g′(x)＝6×10－6x－0.006＝0，解得x＝1 000.

综合函数C′(x)的图象可知，当x＝1 000时，边际成本C′(x)最低．

(2) 由题意，得R(x)＝x(100－0.01x)，

则P(x)＝R(x)－C(x)＝100x－0.01x2－(50x＋10 000)＝－0.01x2＋50x－10 000.

由P′(x)＝－0.02x＋50＝0，解得x＝2 500，

结合函数P(x)的图象可知，当x＝2 500时，利润最大，

此时p(2 500)＝100－0.01×2 500＝75，

故当产品单价为75元时，利润最大．

【检测反馈】

1. C　解析：由题意，得y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，则当6≤t<8时，y′>0；当8<t≤9时，y′<0，所以通过该路段所用的时间最多的时刻是8时．

2. C　解析：由题意，得每栏的宽为(x－8) cm，长为 cm，其中x>8，y>10，两栏面积之和为2(x－8)·＝720，所以y＝＋10，定义域为(8，＋∞)．设试卷的面积为S(x)，则S(x)＝x(x>8)，所以S′(x)＝＋10.令S′(x)＝0，得x＝32(负值舍去)，所以函数S(x)在区间(8，32)上单调递减，在区间(32，＋∞)上单调递增，所以S(x)min＝S(32)，故当试卷的宽为32 cm时，试卷的面积最小．

3. BCD　解析：由题意，得πr2×r＋πr2h＝63 000π，所以h＝－r.由h>0，得－r>0，解得r<30，所以10≤r<30，故A错误；对于B，易知h随r的增大而减小，所以当r＝10时，h取得最大值，且最大值为，故B正确；对于C，圆锥的侧面积S1＝πr×r＝πr2，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2πr＝－r2，圆柱的底面积S3＝πr2，所以总费用y＝a×πr2＋a＝r2＋.当r＝21时，y＝×212＋＝7 029aπ，故C正确；对于D，y′＝r－＝.当10≤r<30时，y′<0，函数y＝r2＋单调递减；当30<r<30时，y′>0，函数y＝r2＋单调递增，所以当r＝30时，y取得最小值，最小值为×302＋＝6 300aπ，故D正确．故选BCD.

4. 800　解析：设广场的长为xm，则宽为m，所以周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．当0<x<200时，y′<0；当x>200时，y′>0，所以当x＝200时，y取得最小值，此时y＝800，故其周长至少为800m.

5. 设版心的长为xdm，则版心的宽为 dm.

此时四周空白面积为S(x)＝(x＋4)－128＝2x＋＋8(x>0)，

则S′(x)＝2－.

令S′(x)＝2－＝0，

解得x＝16，x＝－16 (舍去)，

所以宽为＝＝8，

当x∈(0，16)时，S′(x)<0；当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0，

所以x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点，

故当版心长为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小．