苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆的标准方程(2)-导学案（有答案）

3．1.1　椭圆的标准方程(2)

1. 能熟练地根据已知条件求椭圆的标准方程．

2. 能根据椭圆的标准方程求解有关问题．

　　椭圆的标准方程：

例1　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且该椭圆经过点(2，－2)，求椭圆的标准方程．

直接法求椭圆的标准方程时，只要根据条件求出a，b的值，再确定焦点所在的位置，最后写出其标准方程．

　(1)过点(－3，2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________；

(2) 焦距为2，且过点(，)的椭圆的标准方程为____________________；

(3) 经过两点，的椭圆的标准方程为____________________.

例2　将圆x2＋y2＝4上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线．

1. 定义法求轨迹方程

若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．

2. 代入法(相关点法)求轨迹方程

若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法)．

　已知圆P过定点A(－3，0)，且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相切，切点为M，求动圆的圆心P的轨迹方程．

　例3　已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，求点P到另一个焦点的距离．

例4　已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则△ABC的周长为________．

思考

你能将例4的结论推广到一般情形吗？

例5　已知椭圆的方程为＋＝1，若P为椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．

例6　求直线 x－2y－2＝0和椭圆＋y2＝1的公共点的坐标．

1.  若椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为4，则点P到另一焦点F2的距离为(　　)

A. 6  B. 7  C. 8  D. 9

2. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是(　　)

A. ＋＝1(x≠0)  B. ＋＝1(x≠0)

C. ＋＝1(x≠0)  D. ＋＝1(x≠0)

3. (多选)已知P是椭圆＋＝1上的一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则下列结论中正确的有(　　)

A. △PF1F2的周长为12  B. S△PF1F2＝2

C. 点P到x轴的距离为  D. ·＝2

4. 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2＝________；若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．

5. 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程．

参考答案与解析

【活动方案】

焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.

例1　方法一：因为椭圆的焦点在x轴上，

所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，且点(2，－2)在椭圆上，所以由椭圆的定义，知2a＝＋＝8，所以a＝4.

又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－8＝8，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

方法二：因为椭圆的焦点在x轴上，

所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．

因为椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，所以c＝2，

所以a2－b2＝c2＝8.①

又因为点(2，－2)在椭圆上，

所以＋＝1.②

由①②解得a2＝16，b2＝8，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

跟踪训练　(1) ＋＝1　解析：由题意，得所求椭圆的焦点在x轴上，且c2＝5.设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为所求椭圆过点(－3，2)，所以＋＝1.又a2－b2＝c2＝5，所以联立上述两式，解得b2＝10，a2＝15，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2) ＋＝1或＋＝1

解析：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由题意，得2c＝2，即c＝.又过点(，)，所以＋＝1，联立解得所以椭圆的标准方程为＋＝1；同理可得，若焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为＋＝1.

(3) x2＋＝1　解析：设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m，n为正数，且m≠n)，由题意，得解得所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.

例2　设所得曲线上任一点的坐标为(x，y)，圆x2＋y2＝4上的对应点的坐标为(x′，y′)．

由题意，得

因为x′2＋y′2＝4，所以x2＋4y2＝4，

即＋y2＝1，

故所得曲线的方程为＋y2＝1，该曲线是一个椭圆．

跟踪训练　由题意，得动点P到定点A(－3，0)和定圆圆心B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，即PA＋PB＝PM＋PB＝BM＝8.

因为点A(－3，0)，B(3，0)，

所以AB＝6<8＝PA＋PB，

所以点P的轨迹是以A，B为焦点，2a＝8的椭圆，

所以b＝＝，

所以点P的轨迹方程为＋＝1.

例3　由题意，得a＝5，由椭圆的定义可得，点P到另一个焦点的距离为2×5－3＝7.

例4　4　解析：由题意，得a＝，设直线BC过椭圆的焦点F2，则AB＋BF2＝2a＝2，AC＋CF2＝2a＝2，所以△ABC的周长为AB＋BF2＋CF2＋AC＝4.

思考：若一个三角形的一个顶点与椭圆的焦点重合，另外两个顶点在椭圆上，且两点的连线过椭圆的另一个焦点，则这个三角形的周长为4a.

例5　由＋＝1，得a＝2，b＝，

所以c＝＝1，所以F1F2＝2c＝2.

因为PF1＋PF2＝2a＝4，

所以PF＋PF＝16－2PF1·PF2.

由余弦定理，

得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos 120°，

即4＝16－2PF1·PF2＋PF1·PF2，

所以PF1·PF2＝12，

所以S△PF1F2＝PF1·PF2·sin 120°＝×12×＝3.

例6　直线x－2y－2＝0和椭圆＋y2＝1的公共点的坐标就是方程组的解．

解这个方程组，得

所以所求公共点的坐标为(0，－1)，.

【检测反馈】

1. A　解析：根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝2×5＝10.因为PF1＝4，所以PF2＝6.

2. B　解析：因为△ABC的周长为20，顶点B (0，－4)，C (0，4)，所以BC＝8，AB＋AC＝20－8＝12.因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆(去掉与y轴的交点)．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以椭圆的方程是＋＝1(x≠0)．

3. BCD　解析：由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以PF1＋PF2＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A错误；在△PF1F2中，由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos∠F1PF2＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF2cos∠F1PF2，所以20＝36－2PF1·PF2－PF1·PF2，解得PF1·PF2＝6，故S△PF1F2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B正确；设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝F1F2·d＝×2d＝2，所以d＝，故C正确；·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，故D正确．故选BCD.

4. 120°　2　解析：由题意，得a2＝9，b2＝2，则c2＝9－2＝7，所以c＝，所以F1F2＝2.因为PF1＝4，所以PF2＝2，所以cos∠F1PF2＝＝＝＝－，所以∠F1PF2＝120°.若∠F1PF2＝90°，则PF＋PF＝F1F＝(2)2＝28，所以(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝28，所以36－2PF1·PF2＝28，即PF1·PF2＝4，所以S＝PF1·PF2＝2.

5. 由题意，得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

因为动圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以PM＋PN＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(且x≠－2)．

因为a＝2，c＝1，所以b＝，

所以曲线C的方程为＋＝1(x≠－2)．