苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第5章导数及其应用5.3.1　单调性(1)-导学案（有答案）

5.3.1　单调性(1)

1. 通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性，掌握函数的单调性与导数的联系，会用求导的方法研究函数的单调性．

2. 通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．

1. (1) 复习巩固：函数单调性的定义，导数的概念及四则运算．

(2) 导数f′(x)刻画了函数f(x)在每一点处的变化趋势(上升或下降的陡峭程度)，而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画，那么导数与函数的单调性有什么联系？

2. 考察下列函数：①f(x)＝2x；②f(x)＝x2；③f(x)＝sin x，x∈.它们的单调性与导数之间有什么密切关系？

3. 结论：

设函数y＝f(x)在区间(a，b)上，

(1) 如果________________，那么f(x)为该区间上的________；

(2) 如果________________，那么f(x)为该区间上的________．

4. 试结合y＝x3进行思考：如果函数f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f′(x)>0吗？

用导数求函数单调区间的一般步骤：

(1) 求定义域；

(2) 求f′(x)；

(3) 解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；

(4) 确定单调区间．

例1　确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪些区间上是增函数．

例2　(1) 求函数f(x)＝sinx，x∈[0，2π]的单调减区间；

(2) 求函数f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)的单调减区间．

求下列函数的单调区间．

(1) f(x)＝x2－lnx；

(2) f(x)＝；

(3) f(x)＝－x3＋3x2.

1. 设f(x)＝x＋(x<0)，则函数f(x)的单调减区间为(　　)

A. (－∞，－2)  B. (－2，0)  C. (－∞，－)  D. (－，0)

2. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是(　　)

A. (－∞，2)  B. (0，3)  C. (1，4)  D. (2，＋∞)

3. (多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　)

A. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0

B. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0

C. f>

D. f<

4. 函数f(x)＝xlnx的单调减区间为________．

5. 确定函数f(x)＝在哪些区间上是增函数，在哪些区间上是减函数．

参考答案与解析

【活动方案】

1. (2) 如果函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，那么对任意的x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，即x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，从而有>0，即>0.这表明，函数的导数与其单调性密切相关．

2. ①函数f(x)＝2x在R上单调递增，此时f′(x)＝2xln 2>0.

②函数f(x)＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，此时f′(x)＝2x>0；在区间(－∞，0)上单调递减，此时f′(x)＝2x<0.

③函数f(x)＝sin x在区间上单调递增，此时f′(x)＝cos x>0.

3. (1) 在区间(a，b)上f′(x)>0　增函数

(2) 在区间(a，b)上f′(x)<0　减函数

4. 不是，因为y′＝3x2≥0恒成立，所以y＝x3在区间上单调递增，而f′(x)不一定恒大于0，也有可能等于0.

例1　由题意，得f′(x)＝6x2－12x.

令f′(x)>0，解得x<0或x>2，

所以在区间(－∞，0)上，f′(x)>0，f(x)是增函数；在区间(2，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)也是增函数．

例2　(1) 由题意，得f′(x)＝cosx.

令f′(x)<0，即cosx<0.

又x∈[0，2π]，所以x∈，

故函数f(x)的单调减区间为.

(2) 由题意，得f′(x)＝cosx－1.

令f′(x)<0，即cosx<1.

又x∈(0，π)，所以x∈(0，π)，

故函数f(x)的单调减区间为(0，π)．

跟踪训练　(1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝2x－＝.

令f′(x)>0，得x>；

令f′(x)<0，得0<x<，

所以函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以f(x)的单调增区间为，单调减区间为.

(2) 函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，

f′(x)＝.

令f′(x)>0，即x－3>0，得x>3；

令f′(x)<0，得x<2或2<x<3，

所以f(x)在区间(－∞，2)和(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，

所以函数f(x)的单调减区间为(－∞，2)和(2，3)，单调增区间为(3，＋∞)．

(3) 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

f′(x)＝－3x2＋6x.

令f′(x)>0，得0<x<2；

令f′(x)<0，得x<0或x>2，

所以f(x)在区间(0，2)上单调递增，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减，

所以函数f(x)的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．

【检测反馈】

1. D　解析：由题意，得f′(x)＝－.令f′(x)<0，则－<x<.又x<0，所以－<x<0，故函数f(x)的单调减区间为(－，0)．

2. D　解析：由题意，得f′(x)＝(x－2)ex.令f′(x)>0，得x>2，故函数f(x)的单调增区间是(2，＋∞)．

3. AD　解析：由题中图象，得f′(x)<0，且其绝对值越来越小，所以过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得函数f(x)的大致图象如图所示．A选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；f表示对应的函数值，即图中点A的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点B的纵坐标，显然有f<，故C不正确，D正确．故选AD.

4. 　解析：由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1.令f′(x)<0，得0<x<，故函数f(x)的单调减区间是.

5. 由题意，得f′(x)＝.

令f′(x)>0，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z；

令f′(x)<0，得2kπ＋<x<2kπ＋，k∈Z.

故在区间(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)上，f(x)是增函数；在区间(k∈Z)上，f(x)是减函数．