苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 2.3圆与圆的位置关系（含解析）

2．3　圆与圆的位置关系

1. 了解圆与圆之间的位置关系．

2. 掌握利用圆心距和半径之间的大小关系判定圆与圆之间的位置关系．

　　探究：圆与圆的位置关系

(1) 几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

　　(2) 代数法：通过两圆的方程联立成方程组的公共解的个数进行判断．

一元二次方程―→

例1　判断下列两圆的位置关系：

(1) (x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；

(2) x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0.

例2　已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.

(1) 当m为何值时，圆C1与圆C2外切？

(2) 当m为何值时，圆C1与圆C2内含？

例3　求过点A(0，6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．

例4　已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共

弦所在的直线方程及公共弦长．

例5　求过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和 x2＋y2＋6y－28＝0的交点，且圆心在直线x－y－4

＝0上的圆的方程．

思考

经过两圆交点的圆有多少个？它们的方程有什么共同特点？

相交弦及圆系方程问题的解决方法：

(1) 求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数；

(2) 求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解；

(3) 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．

1. 已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　)

A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

2. 若圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB垂直平分线的方程是(　　)

A. 3x－y－9＝0  B. 3x＋y－9＝0

C. x－3y－6＝0  D. x＋3y－6＝0

3. (多选)已知圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则下列结论中正确的是(　　)

A. 公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0

B. 线段AB的中垂线方程为x＋y－1＝0

C. 公共弦AB的长为

D. 若P为圆O1上的一动点，则点P到直线AB距离的最大值为＋1

4. 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．

5. 已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1)．

(1) 若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；

(2) 若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝2，求圆O2的方程．

参考答案与解析

【活动方案】

例1　(1) 根据题意，得两圆的半径分别为r1＝1和r2＝4，两圆的圆心距d＝＝5.因为d＝r1＋r2，所以两圆外切.

(2) 方法一：将两圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，

故两圆的半径分别为r1＝2和r2＝，两圆的圆心距d＝＝.

因为|r1－r2|<d<r1＋r2，所以两圆相交．

方法二：将两个圆的方程联立方程组

解得即方程有两组不同的解，所以两个圆相交．

例2　将圆C1的方程化为标准方程，得(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(m，－2)，半径r1＝3.

将圆C2的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心为C2(－1，m)，半径r2＝2.

(1) 若圆C1与圆C2外切，则C1C2＝r1＋r2＝5，

即＝5，

解得m＝2或m＝－5，

故当m＝2或m＝－5时，圆C1与圆C2外切．

(2) 若圆C1与圆C2内含，则C1C2<|r1－r2|＝1，即<1，

解得－2<m<－1，

故当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．

例3　将圆C的方程化为标准方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，所以圆心为C(－5，－5)，半径为5，

所以经过此圆心和原点的直线方程为x－y＝0.

设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

由题意知，点O(0，0)，A(0，6)在此圆上，且圆心M(a，b)在直线x－y＝0上，

则解得

所以所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.

例4　设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组

由①－②，得3x－4y＋6＝0.

因为A，B两点的坐标都满足此方程，

所以3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．

易知圆C1的圆心(－1，3)，半径r＝3，

所以圆心C1到直线的距离d＝＝，所以AB＝2×＝，

即两圆的公共弦长为.

例5　由题意可求得两圆心连线所在直线的方程为x＋y＋3＝0.

由得所求圆的圆心为.

易知两圆相交，由两圆方程，得两圆公共弦所在的直线方程是x－y＋4＝0.

利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长d＝5.

设所求圆的半径为r，

则r2＝＋＝，

所以所求圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.

思考：经过两圆交点的圆有无数个，这些圆中，任意两个圆的方程相减，所得的方程均为这两个交点所在直线的方程．

【检测反馈】

1. B　解析：由圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝，得C1(1，－2)，C2(2，－1)，r1＝1，r2＝，所以C1C2＝＝，所以|r1－r2|＜C1C2＜r1＋r2，所以圆C1与圆C2相交，故这两个圆的公切线有2条．

2. A　解析：由题意，得线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心(2，－3)与(3，0)，根据两点式可得AB的垂直平分线的方程为3x－y－9＝0.

3. ABD　解析：对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，kAB＝1，则线段AB的中垂线的斜率为－1，所以线段AB的中垂线方程为y－0＝－1×(x－1)，即x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1，0)，半径为1，所以圆心到直线x－y＝0的距离为d＝＝，所以AB＝2×＝，故C错误；对于D，因为P为圆O1上的一动点，圆心O1(1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，故点P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确．故选ABD.

4. 4　解析：依题意，得△OO1A是直角三角形，OO1＝＝5，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，所以AB＝＝＝4.

5. (1) 设圆O2的半径为r2，

因为两圆外切，所以O1O2＝r2＋2.

又O1O2＝＝2，

所以r2＝O1O2－2＝2(－1)，

故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.

(2) 设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，

因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，

将两圆的方程相减，得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.

过点O1作O1H⊥AB，H为垂足，

则AH＝AB＝，所以O1H＝＝.

由圆心O1(0，－1)到直线4x＋4y＋r－8＝0的距离为＝，

得r＝4或r＝20，

故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.