活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.3.1两条直线的平行与垂直（有答案）

1．3.1　两条直线的平行与垂直(1)

1. 掌握用斜率判断两条直线平行的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想．

2. 应用两直线平行的相关知识求直线方程．

　　1. 知识回顾

(1) 直线斜率的定义：

(2) 直线倾斜角的定义：

(3) 直线的斜率k与倾斜角α的关系：

(4) 直线方程：①点斜式；②斜截式；③两点式；④截距式；⑤一般式．

2. 探究两条直线平行的条件

(1) 直线的倾斜程度可用斜率来表示，能否用直线的斜率刻画两条直线的平行关系？

(2) 设直线l1，l2的斜率为k1，k2，若l1∥l2，则斜率k1，k2满足什么关系？

结论：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率为k1，k2，有l1∥l2k1＝k2.

思考1

这个结论成立的前提是什么？反之成立吗？

思考2

如果两条直线的斜率有不存在的情形，如何判断这两条直线是否平行？

例1　证明：顺次连接A(2，－3)，B(5，－)，C(2，3)，D(－4，4)四点所得的四边形是梯形．

.

例2　判断下列各组直线是否平行，并说明理由：

(1) l1：y＝2x＋1，l2：y＝2x－1；

(2) l1：2x－y－7＝0，l2：x＋2y－1＝0.

对于两条不重合的直线，若斜率存在，则这两条直线平行的充要条件是斜率相等．

　已知点A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为__________.

例3　求过点A(2，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程.

一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线的方程可设为Ax＋By＋λ＝0，其中λ待定．

　过点(2，3)，且与直线y＝2x＋5平行的直线的方程为___________________________________________________________________．

1. 若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　)

A. 垂直  B. 平行  C. 重合  D. 平行或重合

2. (2021·怀仁大地学校月考)直线l1：(a－1)x＋y＋1＝0，l2：4x＋(a＋2)y－1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的(　　)

A. 必要不充分条件  B. 充分不必要条件

C. 充要条件  D. 既不充分又不必要条件

3. (多选)已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　)

A. 1  B. 0  C. 2  D. －1

4. (2021·遂宁射洪中学期中)经过点(1，2)且与直线2x＋y－1＝0平行的直线方程为_________________________________________________________．

5. 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：

(1) l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)；

(2)  l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5)．

参考答案与解析

【活动方案】

1. 略

2. (1) 能　(2) k1＝k2

思考1：成立的前提是两条直线的斜率都存在，反之也成立．

思考2：如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，所以l1∥l2.

例1　因为kAB＝＝－，

kCD＝＝－，

所以kAB＝kCD，

从而AB∥CD.

又因为kBC＝＝－，

kDA＝＝－，

所以kBC≠kDA，

从而直线BC与DA不平行．

因此，四边形ABCD是梯形．

例2　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.

(1) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2，

所以k1＝k2.

又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，

所以l1与l2不重合，

从而l1∥l2.

(2) 由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－，

所以k1≠k2，从而l1与l2不平行．

跟踪训练　0或1　解析：当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，故MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m≠－2且m≠－1时，kAB＝＝，kMN＝＝.因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1.当m＝0或m＝1时，由图形知，两直线不重合．综上，m的值为0或1.

例3　已知直线的斜率k＝－2，

因为两直线平行，所以所求直线的斜率为－2.

根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y＋3＝－2(x－2)，即2x＋y－1＝0.

跟踪训练　y＝2x－1

【检测反馈】

1. D　解析：因为直线l1的斜率为tan 135°＝－1，直线l2的斜率为＝－1，所以直线l1与l2平行或重合．

2. C　解析：①充分性：当a＝2时，l1：x＋y＋1＝0，l2：4x＋4y－1＝0，所以l1与l2斜率相等，且截距不相等，故l1∥l2，所以充分性成立；②必要性：l1：(a－1)x＋y＋1＝0，l2：4x＋(a＋2)y－1＝0，当l1∥l2时，则(a－1)(a＋2)－4＝0，解得a＝2或a＝－3.当a＝－3时，两直线重合，所以a＝－3舍去，当a＝2时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要性成立．综上，“a＝2”是“l1∥l2”的充要条件．

3. AB　解析： 当直线AB与CD的斜率均不存在时，m＝2m，m＋1＝1, 故m＝0，此时两直线平行，即AB∥CD；当kAB＝kCD时，即＝，解得m＝1，此时AB∥CD.故选AB.

4. 2x＋y－4＝0　解析：直线2x＋y－1＝0的斜率为k＝－2，所以与该直线平行的直线斜率也为k＝－2.又所求直线过点(1，2)，所以所求直线的方程为y－2＝－2×(x－1)，化简得2x＋y－4＝0.

5. (1) 因为k1＝＝1，k2＝＝，所以k1≠k2，所以l1与l2不平行．

(2) 由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.