苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第5章导数及其应用5．2.3　简单复合函数的导数-导学案（含答案）

5．2.3　简单复合函数的导数

1. 了解复合函数的概念．

2. 会求简单的复合函数的导数．

1. 定义：由几个基本初等函数复合而成的函数称为复合函数．

2. 已知函数y＝f(φ(x))(令u＝φ(x))，则函数由________和________复合而成的．

3. 指出下列函数可以看作是由哪两个基本初等函数复合而成的：

(1)  y＝ln(x2＋1)；

(2) y＝e3x＋1；

(3) y＝sin(2x＋3)．

思考1

如何将复合函数拆分？

　　思考2

怎样求下列函数的导数？

(1) y＝(3x－1)2；

(2) y＝sin2x.

4. 复合函数求导公式：

例1　求下列函数的导数：

(1) y＝(2x－3)3；

(2) y＝ln(5x＋1)．

　求下列函数的导数：

(1) y＝sin2x－cos2x；

(2) y＝e3x＋1.

例2　求下列函数的导数：

(1) y＝；

(2) y＝cos(1－2x)．

对于复合函数的导数只要求掌握基本初等函数与一次函数的复合函数的导数，然后利用复合函数的求导法则去解决．

1. 函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)

A. ln(2x＋5)－  B. ln(2x＋5)＋ 

C. 2xln(2x＋5)  D.

2. 已知f(x)＝cos2x＋e2x，则f′(x)等于(　　)

A. －2sin2x＋2e2x  B. sin2x＋e2x  C. 2sin2x＋2e2x  D. －sin2x＋e2x

3. (多选)下列函数求导正确的是(　　)

A. 若f(x)＝，则f′(x)＝

B. 若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x

C. 若f(x)＝，则f′(x)＝

D. 若f(x)＝cos，则f′(x)＝－sin

4. 曲线f(x)＝ln(2x－1)－x在点(1，－1)处的切线方程是____________．

5. 已知函数f(x)＝求f′·f′(0)的值．

参考答案与解析

【活动方案】

2. y＝f(u)　u＝φ(x)

3. (1) y＝ln(x2＋1)可由y＝ln u，u＝x2＋1复合而成．

(2) y＝e3x＋1可由y＝eu，u＝3x＋1复合而成．

(3) y＝sin(2x＋3)可由y＝sinu，u＝2x＋3复合而成．

思考1：从左向右，从外向内折分．

思考2：(1) 一方面，y′x＝[(3x－1)2]′＝(9x2－6x＋1)′＝18x－6＝6(3x－1)．

另一方面，将y＝(3x－1)2看成由y＝u2和u＝3x－1复合而成，则y′u＝2u，u′x＝3，则y′x＝6(3x－1)＝2(3x－1)×3＝2u×3，即y′x＝y′u·u′x.

(2) 一方面，y′x＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.

另一方面，将y＝sin2x看成由y＝sinu和u＝2x复合而成，则y′u＝cosu，u′x＝2，则y′x＝y′u·u′x.

4. 若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.

例1　(1) y＝(2x－3)3可由y＝u3及u＝2x－3复合而成，所以y′x＝y′u×2＝3u2×2＝6u2＝6(2x－3)2.

(2) y＝ln(5x＋1)可由y＝lnu及u＝5x＋1复合而成，所以y′x＝y′u×5＝×5＝.

跟踪训练　(1) y＝sin2x－cos2x可由y＝sinu－cosu及u＝2x复合而成，则y′x＝y′u·u′x＝(cosu＋sinu)×2＝2(cos2x＋sin2x)．

(2) y＝e3x＋1可由y＝eu及u＝3x＋1复合而成，

则y′x＝y′u·u′x＝eu×3＝3e3x＋1.

例2　(1) y＝可由y＝及u＝3x－1复合而成，

所以y′x＝y′u×3＝－×3＝－.

(2) y＝cos(1－2x)可由y＝cosu及u＝1－2x复合而成，所以y′x＝y′u×(－2)＝(－sin u)×(－2)＝2·sin(1－2x)．

【检测反馈】

1. B　解析：y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.

2. A　解析：由题意，得f′(x)＝－sin2x·2＋e2x·2＝－2sin2x＋2e2x.

3. AC　解析：对于A，f′(x)＝＝，故A正确；对于B，f′(x)＝e2x·2＝2e2x，故B错误；对于C，f′(x)＝·(2x－1)－·2＝，故C正确；对于D，f′(x)＝·2＝－2sin，故D错误．故选AC.

4. x－y－2＝0　解析：由题意，得f′(x)＝－1，则f′(1)＝1，故切线方程为y＋1＝x－1，即x－y－2＝0.

5.  当x>0时，f(x)＝，f′(x)＝·＝.当x≤0时，f′(x)＝－e－x，

所以f′·f′(0)＝×(－1)＝－.