苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.2.1双曲线的标准方程(2)-导学案（有答案）

3．2.1　双曲线的标准方程(2)

1. 能根据已知条件求双曲线的标准方程．

2. 能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．

例1　(1) 若动圆M恒过定点B(－3，0)，且与定圆C：(x－3)2＋y2＝4外切，求动圆圆心M的轨迹方程；

(2) 在△ABC中，已知AB＝4，且2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．

例2　在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．

例3　已知A，B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2 s，设声速为340 m/s.

(1)  爆炸点在什么曲线上？

(2)  求这条曲线的方程．

思考

利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置，要有几个观测点才能确定爆炸点的位置？

例4　过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则MF2＋NF2－MN＝________；若MN＝5，则△MNF2的周长为________.

例5　已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线上的任意一点，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．

1. 若动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是(　　)

A. 双曲线的一支  B. 圆

C. 椭圆  D. 双曲线

2. 已知P是双曲线－＝1上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF1＝3，则PF2的长为(　　)

A. 1或5  B. 6  C. 7  D. 9

3. (多选)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下列命题中错误的是(　　)

A. 若曲线C为椭圆，则1<t<3  B. 若曲线C为双曲线，则t>3或t<1

C. 曲线C可能是圆  D. 若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则1<t<2

4. 已知P是双曲线－＝1上的一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且PF1＝17，则PF2＝________．

5. 如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝30 km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，点A接收到信号的时间比点B接收到信号的时间早 s(注：信号传播速度为V0km/s)．

(1) 以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；

(2) 若监测点C信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？

参考答案与解析

【活动方案】

例1　(1) 因为圆M与圆C外切，

所以MC＝MB＋2，即MC－MB＝2.

因为0<MC－MB<BC＝6，

所以由双曲线定义，知点M的轨迹为以B，C为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，

其中a＝1，c＝3，

所以b2＝c2－a2＝8，

故所求轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．

(2) 以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A(－2，0)，B(2，0)．

因为2sin A＋sin C＝2sin B，

所以由正弦定理，得2BC＋AB＝2AC，

所以AC－BC＝AB＝2<AB，

所以由双曲线的定义，知点C的轨迹是以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的右支(除去与x轴的交点)，

所以a＝，c＝2，则b＝，

所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．

例2　设点A的坐标为(x，y)(y≠0)．

由题意，得kAB·kAC＝，即·＝，

化简，得－＝1(y≠0)，

所以顶点A的轨迹是双曲线(除去与x轴的交点)，轨迹方程为－＝1(y≠0)．

例3　(1) 由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差，可知爆炸点离A处比离B处距离更远，所以爆炸点应位于以A，B为焦点的双曲线上，且靠近B处的双曲线的一支上．

(2) 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，

设A(－400，0)，B(400，0)，M(x，y)为曲线上的任意一点，

则MA－MB＝2×340＝680<800，

所以2a＝680，即a＝340.

又c＝400，

所以b2＝c2－a2＝44 400，

所以点M的轨迹方程为 －＝1.

又因为该曲线是靠近点B的双曲线的一支，

所以这条曲线的方程为－＝1(x≥340)．

思考：需要三个观测点才能确定爆炸点的位置．

例4　8　18　解析：由双曲线的定义，得MF2－MF1＝2a，NF2－NF1＝2a，两式相加，得MF2＋NF2－MN＝4a＝8.△MNF2的周长为MF2＋NF2＋MN＝MF2＋NF2－MN＋2MN＝8＋10＝18.

例5　由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos ，即PF＋PF－PF1·PF2＝100.

又|PF2－PF1|＝8，

所以PF＋PF＝64＋2PF1·PF2，

所以64＋PF1·PF2＝100，即PF1·PF2＝36，

所以S△F1PF2＝·PF1·PF2·sin ＝×36×＝9.

【检测反馈】

1. A　解析：设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2.由两圆外切的充要条件，得MO1＝r＋1，MO2＝r＋2，所以MO2－MO1＝1.又O1O2＝4>1，所以动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近点O1)．

2. C　解析：由题意，得a＝2，所以|PF1－PF2|＝4.又PF1＝3，所以PF2＝7.

3. AD　解析：若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2<t<3，则0<3－t<t－1，故方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；若1<t<2，则0<t－1<3－t，故方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆；若t＝2，方程＋＝1，即为x2＋y2＝1，它表示圆．综上，故选AD.

4. 33　解析：由双曲线方程－＝1，得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象，得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为|PF1－PF2|＝16，PF1＝17，所以PF2＝1(舍去)或PF2＝33.

5. (1) 设观察员可能出现的位置的所在点为P(x，y)．

因为点A接收到信号的时间比点B接收到信号的时间早 s，

所以PB－PA＝·V0＝40<AB＝60，

故点P的坐标满足双曲线的定义，

设双曲线方程为－＝1(x<0)．

由题可知2a＝40，2c＝60，解得b2＝c2－a2＝500，

故点P的轨迹方程为－＝1(x<0)．

(2) 设轨迹上一点为P(x，y)，

则PC＝＝.

又由－＝1，得x2＝y2＋400，

代入可得PC＝＝≥＝20，

当且仅当y＝时，取得最小值20.

故为保证有救援希望，扫描半径r至少是20 km.