苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第5章导数及其应用5．3.2　极大值与极小值(2)-导学案（有答案）

5．3.2　极大值与极小值(2)

1. 能熟练、准确地求函数的极值．

2. 初步掌握解决与极值有关的求参、恒成立、方程根、函数图象等问题的方法．

例1　已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1.

(1) 若函数在x＝－1处取得极大值，求实数a的值；

(2) 若函数f(x)在x1与x2处取得极值，其中x1<0，x2>0，求实数a的取值范围．

例2　已知函数f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝1处有极大值4，在x＝－1处有极小值0，求实数a，b，c的值．

　已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1仅在x＝±1处有极值，且极大值比极小值大4.求：

(1) 实数a，b的值；

(2) f(x)的极值．

例3　设函数f(x)＝x3－12x＋5，x∈R.

(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；

(2) 若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

例4　已知f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．

(1) 试确定实数a，b的值；

(2) 讨论函数f(x)的单调区间；

(3) 若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围．

1. 若函数f(x)＝x3－3bx＋3在区间(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是(　　)

A. (0，4)  B. [0，4)  C. [1，4)  D. (1，4)

2. 已知函数f(x)＝sin2x－2sinx，x∈(0，2π)，则下列结论中正确的是(　　)

A. f(x)是增函数  B. f(x)在x＝处有极大值

C. f(x)是减函数  D. f(x)在x＝处有极小值

3. (多选)若函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)

A. 函数y＝f(x)在区间(3，5)上单调递增

B. 当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值

C. 函数y＝f(x)在区间(1，2)上单调递增

D. 当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值

4. 已知f(x)＝(x2＋2x＋a)ex，若f(x)存在极小值，则实数a的取值范围是________．

5. 已知函数f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求实数m的值．

参考答案与解析

【活动方案】

例1　(1) 由题意，得f′(x)＝x2－2x＋a，

且f′(－1)＝1＋2＋a＝0，

解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知f(x)在x＝－1处取得极大值，故实数a的值为－3.

(2) 由题意，得方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根x1，x2，则x1x2＝a<0，

故实数a的取值范围是(－∞，0)．

例2　由题意，得f′(x)＝5ax4－3bx2，

解得

故实数a，b，c的值分别为－3，－5，2.

跟踪训练　(1) 由题意，得f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.

因为当x＝±1时有极值，

所以5＋3a＋b＝0，即b＝－3a－5.①

将①代入f′(x)，得f′(x)＝5x4＋3ax2－3a－5＝5(x4－1)＋3a(x2－1)＝(x2－1)[5(x2＋1)＋3a]＝(x＋1)(x－1)[5x2＋(3a＋5)]．

又f(x)仅在x＝±1处有极值，

所以5x2＋(3a＋5)≠0对任意x恒成立，

即Δ＝0－20(3a＋5)<0，解得a>－.

又当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；

当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，

所以当x＝－1时取得极大值；当x＝1时取得极小值，

所以f(－1)－f(1)＝4，即a＋b＝－3.②

由①②解得a＝－1，b＝－2.

(2) 由(1)，得a＝－1，b＝－2，

所以f(x)＝x5－x3－2x＋1，

所以极大值f(－1)＝3，极小值f(1)＝－1.

例3　(1) 由题意，得f′(x)＝3x2－12.

令f′(x)>0，得x>2或x<－2；

令f′(x)<0，得－2<x<2，

故函数f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调减区间为(－2，2)，

所以当x＝－2时，取得极大值f(－2)＝21；

当x＝2时，取得极小值f(2)＝－11.

(2) 由(1)可作出函数f(x)的草图，方程f(x)＝a有三个不同的实根即为y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，故实数a的取值范围为(－11，21)．

例4　(1) 由题意，得b－c＝－3－c，则b＝－3.

f′(x)＝4ax3ln x＋ax3＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)，则f′(1)＝a＋4b＝0，解得a＝12.

(2) 由(1)，得f′(x)＝48x3ln x(x>0)．

令f′(x)＝0，解得x＝1.

当0<x<1时，f′(x)<0，此时f(x)为单调减函数；

当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为单调增函数；

故函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)．

(3) 根据(2)的结论，可画出函数f(x)的图象，

所以f(x)min＝f(1)＝－3－c.

因为f(x)≥－2c2在区间(0，＋∞)上恒成立，

所以－3－c≥－2c2，解得c≥或c≤－1，

故实数c的取值范围为(－∞，－1]∪[，＋∞)．

【检测反馈】

1. A　解析：令f′(x)＝3x2－3b＝0，得x2＝b.因为f(x)在(－1，2)内有极值，所以0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故实数b的取值范围是(0，4)．

2. D　解析：由f′(x)＝2cos2x－2cosx＝4cos2x－2cosx－2＝(4cosx＋2)(cosx－1)>0，解得cosx<－.又x∈(0，2π)，所以<x<.由f′(x)<0，得0<x<或<x<2π，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以函数f(x)在x＝处有极小值，在x＝处有极大值，故A，B，C不正确，D正确．

3. CD　解析：结合函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－2时，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当－2<x<2时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数；当2<x<4时，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当x>4时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，所以当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，故A，B错误，C，D正确．故选CD.

4. (－∞，2)　解析：f′(x)＝(2x＋2)ex＋(x2＋2x＋a)ex＝ex(x2＋4x＋a＋2)，若f(x)存在极小值，则f′(x)＝0有两个不相等的实数根，即x2＋4x＋a＋2＝0有两个不等的实根，所以Δ＝16－4(a＋2)>0，解得a<2，故实数a的取值范围是(－∞，2)．

5. 由题意，得f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(3x－2m)(x＋m)．令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－m.

因为m>0，所以 >－m.

列表如下：

所以函数y＝f(x)在x＝－m处取得极大值，即f(－m)＝m3－4＝－，解得m＝1，

故实数m的值为1.