苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第5章导数及其应用5．2.2　函数的和、差、积、商的导数-导学案（含答案）

5．2.2　函数的和、差、积、商的导数

1. 了解函数的和、差、积、商的导数的运算法则，能利用导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求常见函数的导数．

2. 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发展思维能力.

C′＝________(C为常数)；

(xα)′＝________(α为常数)；

(ax)′＝________(a>0，且a≠1)；

(logax)′＝________＝________(a>0，且a≠1)；

(ex)′＝________；

(lnx)′＝________；

(sinx)′＝________；

(cosx)′＝________．

例1　利用定义求y＝x2＋x的导数．

思考1

试根据例1探求两个函数和的导数的求导法则．

思考2

试类比函数的和的求导法则探求函数的差、积、商的求导法则．

例2　求下列函数的导数：

(1) f(x)＝x2＋sinx；

(2) g(x)＝x3－x2－6x＋2；

例3　求下列函数的导数：

(1) h(x)＝xsinx；

(2) f(x)＝x2ex；

(3) S(t)＝；

(4) f(x)＝tanx.

思考3

例3(3)是否还有其他解法？

求解函数的导数，可先化简表达式，再利用公式去求导，从而简化运算．

例4　求满足下列条件的函数f(x)．

(1) f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；

(2) f(x)是二次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.

1. 若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为(　　)

A. (0，＋∞)  B. (－1，0)∪(2，＋∞)

C. (2，＋∞)  D. (－1，0)

2. 若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)的值为(　　)

A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

3. (多选)下列结论中，正确的是(　　)

A. 若y＝cos，则y′＝0  B. 若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3

C. 若y＝－＋x，则y′＝－＋1  D. 若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx

4. 已知f(x)＝2x3＋ax2－2x－3，若f′(－1)＝4，则a的值为________．

5. 求下列函数的导数：

(1) y＝3x2＋cosx；

(2) y＝(x＋1)lnx；

(3) y＝x－sincos；

(4) y＝；

(5) y＝(2x2－1)(3x＋1)．

参考答案与解析

【活动方案】

0　αxα－1　axlna　logae　

ex　　cosx　－sinx

例1　因为＝＝2x＋Δx＋1，

所以 ＝2x＋1，即y′＝2x＋1.

思考1：因为(x2)′＝2x，x′＝1，

所以(x2＋x)′＝(x2)′＋x′，

所以一般地，我们有(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)．

思考2：(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)，

(Cf(x))′＝Cf′(x)(C为常数)，

(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，

′＝(g(x)≠0)．

例2　(1) f′(x)＝(x2＋sinx)′＝2x＋cosx.

(2) g′(x)＝′＝3x2－9x－6.

例3　 (1) h′(x)＝(xsinx)′＝x′sinx＋x(sinx)′＝sinx＋xcosx.

(2) f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex.

(3) S′(t)＝′＝＝＝.

(4) f′(x)＝(tan x)′＝′＝＝＝.

思考3：因为S(t)＝t＋，

所以S′(t)＝′＝t′＋′＝1－.

例4　(1) 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，

则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

由f(0)＝3，得d＝3；由f′(0)＝0，得c＝0；

由f′(1)＝－3，f′(2)＝0，得

解得故f(x)＝x3－3x2＋3.

(2) 设函数f(x)＝mx2＋nx＋t(m≠0)，

则f′(x)＝2mx＋n.

由题意，得x2(2mx＋n)－(2x－1)(mx2＋nx＋t)＝1，则解得故f(x)＝2x2＋2x＋1.

【检测反馈】

1. C　解析：由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2－，则令2x－2－>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．

2. C　解析：由题意，得f(1)＋g(1)＝12－1＝0，则g(1)＝－1.对f(x)＋xg(x)＝x2－1两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，所以f′(1)＋g′(1)＝3.

3. ABC　解析：对于A，若y＝cos＝，则y′＝0，故A正确；对于B，若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(x)＝6x－f′(1)．令x＝1，得f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确；对于C，若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确；对于D，若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx－sinx，故D错误．故选ABC.

4. 0　解析：由题意，得f′(x)＝6x2＋2ax－2，则f′(－1)＝6－2a－2＝4－2a＝4，解得a＝0.

5.  (1) y′＝6x－sinx.

(2) y′＝lnx＋.

(3) 因为y＝x－sincos＝x－sinx，

所以y′＝1－cosx.

(4) y′＝＝.

(5) 因为y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，所以y′＝18x2＋4x－3.