活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.2.4直线的方程 习题课（有答案）

1．2.4　直线的方程习题课

1. 熟练掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式等形式的相互转化，及各种形式在解题中的灵活运用．

2. 理解直线的方程和直线之间的对应关系．

　　直线方程的各种形式及适用范围

　　练习　

(1) 直线l经过两点(1，－2)，(－3，4)，则该直线的方程是______________；

(2) 从直线l上的一点A到另一点B的纵坐标增量是3，横坐标增量是－2，则该直线的斜率是________；　

(3) 经过点A(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是__________________________________________________________；

(4) 过点P(4，3)作直线l，它与两坐标轴相交且与两坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为_____________________________________________.

例1　一条直线经过点M(2，1)，且在两坐标轴上的截距和是6，求该直线的方程．

例2　在△ABC中，已知点A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．

(1) 若AB，AC的中点分别为M，N，求直线MN的方程，并化为一般式方程；

(2) 求边BC上的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．

例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0(a∈R)．

(1) 求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；

(2) 若使直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

例4　在△ABC中，已知点A(1，1)，B(5，1)，A＝，B＝，且点C在第一象限．求：

(1) 边AB的方程；

(2) 边AC和边BC所在的直线方程.

例5　经过点A(1，2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．

例6　已知直线l的方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋(4－3m)＝0.

(1) 求证：不论m为何值，直线必过定点M；

(2) 过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形的面积最小，求直线l1的方程．

1. 已知直线m的倾斜角θ的余弦值等于 ，在y轴上的截距为－2，则直线m的方程为(　　)

A. y＝x－2  B. y＝x－2

C. y＝－x－2  D. y＝x＋2

2. 已知直线l在x轴上的截距比y轴上的截距大6，且过点(4，4)，则直线l的方程为(　　)

A. y－4＝2(x－4)  B. y－4＝2(x－4)或y－4＝－(x－4)

C. y＋4＝2(x＋4)  D. y＋4＝2(x＋4)或y－4＝－(x＋4)

3. (多选)直线l1：ax－y＋b＝0与直线l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图象可能是(　　)

A                  B                C               D

4. (2021·南阳桐柏县第一高级中学期中)已知直线l过点P(，－1)，并且倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，则直线l的方程是______________．

5. 已知点P(6，4)和直线l1：y＝4x，求过点P的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小．

参考答案与解析

【活动方案】

练习：(1) 3x＋2y＋1＝0

(2) －

(3) 3x－2y＝0或x＋y－5＝0

(4) 3x－2y－6＝0或3x－8y＋12＝0

例1　设所求直线的方程为＋＝1(ab≠0)，

由已知，得解得或

此时直线的方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.

例2　(1) 由题意，得AB，AC的中点坐标分别为M(，1)，N.由直线的两点式方程，得＝，所以直线的一般式方程为6x－8y－13＝0.

 (2) 由于边BC的中点坐标为(2，3)，故边BC上的中线所在直线的方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为＋＝1.

例3　(1) 将直线l的方程化为y－＝a，

所以直线l的斜率为a，且过定点A.

因为点A在第一象限，所以不论a为何值，直线l总经过第一象限．

(2) 由(1)知直线OA的斜率为k＝＝3.

因为直线l不经过第二象限，所以a≥3，

故实数a的取值范围为[3，＋∞)．

例4　(1) lAB：y＝1(1≤x≤5)．

(2) lAC：x－y－＋1＝0，lBC：x＋y－6＝0.

例5　当截距为0时，设直线方程为y＝kx.

又直线过点A(1，2)，故斜率k＝2，即y＝2x；

当截距不为0时，设直线方程为＋＝1或＋＝1.

又直线过点A(1，2)，则a＝3或a＝－1，

所以直线方程为x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.

故这样的直线有3条，分别为y＝2x，x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.

例6　(1) 原方程整理，得(x－2y－3)m＋2x＋y＋4＝0，

令解得

所以不论m为何值，直线必过定点M(－1，－2)．

(2) 设直线l1的方程为y＝k(x＋1)－2，k<0.

令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝k－2，

所以三角形的面积＝||·|k－2|＝≥4，当且仅当k＝－2时，等号成立，故当k＝－2时，三角形的面积取得最小值4，此时直线l1的方程为2x＋y＋4＝0.

【检测反馈】

1. A　解析：因为cosθ＝，0≤θ＜π，所以k＝tanθ＝，所以直线m的方程为y＝x－2.

2. B　解析：设直线l的方程为y－4＝k(x－4)，则直线l与x轴和y轴的交点坐标分别为，(0，4－4k)，所以4－＝4－4k＋6，解得k＝2或k＝－，所以直线l的方程为y－4＝2(x－4)或y－4＝－(x－4)．

3. BC　解析： 由题意，得l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a.在A中，由l1知a>0，b<0，则－b>0，与l2的图象不符，故A错误；在B中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符，故B正确；在C中，由l1知a<0，b>0，则－b<0，与l2的图象相符，故C正确；在D中，由l1知a>0，b>0，则－b<0，与l2的图象不符，故D错误．故选BC.

4. x＋y－2＝0　解析：因为直线y＝x的斜率为，所以直线y＝x的倾斜角为60°.因为直线l的倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍，所以直线l的倾斜角为120°，即直线l的斜率为tan120°＝－.因为直线l过点P(，－1)，所以直线l的方程为y－(－1)＝－(x－)，即y＝－x＋2，即x＋y－2＝0.

5. 设直线l与l1的交点为Q(x1，4x1)(x1＞1)，三角形的面积为S，

则直线l的方程为y－4＝(x－6)，

所以直线l与x轴的交点为R.

S＝××4x1＝＝＋＝10(x1＋1)＋＝10(x1－1)＋＋20≥2×10＋20＝40，当且仅当x1＝2时取等号，

所以直线l的方程为x＋y－10＝0.