活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.1.2直线的斜率与倾斜角（有答案）

1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)

1. 理解直线的倾斜角的定义、知道直线的倾斜角的范围．

2. 掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．

3. 通过直线倾斜角的概念和直线倾斜角与斜率的关系的学习，提高学生观察、探索的能力，运用数学语言表达的能力，数学交流与评价的能力．

1. 直线的斜率是如何定义的？

2. 如何证明三点共线？

背景：

(1) 过原点并且与x轴正方向所成的角为45°的直线l1在平面直角坐标系中的位置是确定的．

(2) 过点P(－2，0)并且与x轴正方向所成的角为120°的直线l2在平面直角坐标系中的位置是确定的．

思考1

刻画直线的倾斜程度除了斜率之外还可以借助其他的量吗？

1. 如何刻画直线的倾斜角？试从形和数两个角度给出说明．

2. 直线的倾斜角的定义：

(1) 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．

(2) 规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

思考2

直线的倾斜角α的取值范围是什么？

例1　(1) 经过两点A(2，3)，B(1，4)的直线的斜率为________，倾斜角为________；

(2) 经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为120°，则y＝________.

例2　已知过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值．

　　探究：

(1) 直线的倾斜角与斜率存在怎样的关系？

当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率的符号为正，此时k＝tan α.

当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率的符号为负，此时k＝tan α.

当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在．

因此，当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足k＝tan α.

(2) 直线的倾斜角的变化对直线的斜率的变化有怎样的影响？

当倾斜角α∈时，k≥0，且k随α的增大而增大．

当倾斜角α∈时，k<0，且k随α的增大而增大．

当倾斜角α＝时，k不存在．

例3　已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)．

(1) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？

(2) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？

(3) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？

思考3

根据两点如何判断直线的倾斜角是锐角、直角或钝角？

例4　若直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为__________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为__________．

例5　已知两点A(－2，－3)，B(3，0)，过点P(－1，2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.

思考4

若将点P(－1，2)变为点Q(4，－4)，结果如何？将点P(－1，2)变为点T(－3，3)，结果又如何？

1. 已知直线l经过两点O(0，0)，A(1，)，直线m的倾斜角是直线l的倾斜角的两倍，则直线m的斜率是(　　)

A. －  B. －  C.   D.

2. 过点A(2，1)，B(m，3)的直线的倾斜角α的取值范围是，则实数m的取值范围是(　　)

A. [0，2)  B. (2，4]

C. [0，2)∪(2，4]  D. [0，4]

3. (多选)(2021·厦门湖滨中学期中)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)

A. (－∞，－4]  B.   C.   D.

4. 若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝________．

5. 如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．

参考答案与解析

【活动方案】

1. 已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为k＝(x1≠x2)．

2. 如果已知三点A，B，C，可以取AB，BC，AC分别算出两点斜率，若三个斜率相等，则三点共线．

思考1：刻画直线的倾斜程度亦可借助直线与x轴正方向所成的角，即直线的倾斜角．

1. 略

思考2：[0，π)

例1　(1) －1　135°　(2) －2－

例2　由题意，得＝tan45°＝1，

解得m＝－1或m＝－2.

当m＝－1时，点A，B重合，舍去，所以m＝－2.

例3　由题意，得kMN＝＝.

(1) 当倾斜角为锐角时，则kMN＝>0，

解得m>1或m<－5.

(2) 当倾斜角为钝角时，则kMN＝<0，

解得－5<m<1.

(3) 当倾斜角为直角时，则kMN不存在，

此时m＝－5.

思考3：当斜率大于0时，倾斜角为锐角；当斜率小于0时，倾斜角为钝角；当直线垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角．

例4　k1>k2>k3　α3>α1>α2　

例5　由题意，得直线PA的斜率是k1＝5，直线PB的斜率是k2＝－.

当直线l由PA变化到与y轴平行的PC位置时，它的倾斜角由锐角α(tanα＝5)增至90°，斜率的变化范围是[5，＋∞)；当直线l由PC变化到PB位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是，

所以斜率k的取值范围是∪[5，＋∞)．

思考4：当点P(－1，2)变为点Q(4，－4)时，

由题意，得kAQ＝－，kBQ＝－4.

因为－4<－<0，

所以斜率k的取值范围是.

同理可得当点P(－1，2)变为点T(－3，3)时，斜率k的取值范围是.

【检测反馈】

1. A　解析：由题意，得kOA＝＝，所以直线l的倾斜角为，所以直线m的倾斜角为，所以直线m的斜率为tan＝－.

2. D　解析：当m＝2时，直线的倾斜角为，满足题意；当m≠2时，直线AB的斜率为≥1或≤－1，所以≥0或≤0，所以2<m≤4或0≤m<2.综上，实数m的取值范围是[0，4]．

3. AB　解析：kPM＝＝－4，kPN＝＝，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则k≤kPM或k≥kPN，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－4]∪.故选AB.

4. －3　解析：由于直线AB的倾斜角为，故该直线的斜率为tan＝－1.由斜率公式，得＝y＋2＝－1，解得y＝－3.

5. 因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan60°＝.

又因为DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率都为0.

由菱形的性质，得∠COB＝30°，∠OBD＝60°，

所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan30°＝，

直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan120°＝－.

1．2　直线的方程