活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.5.2点到直线的距离（有答案）

1．5.2　点到直线的距离(1)

1. 探索并掌握点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离并能运用它们解决一些简单的问题．

2. 通过公式推导，渗透化归思想．

3. 渗透数形结合的思想．

　　问题1：已知点P(2，4)和直线l：5x＋4y－7＝0，你有几种方法求点P到直线l的距离？

思考1

怎样求点到直线的距离呢？

问题2：已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)外一点P(x0，y0)，求点P到直线l的距离．

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.

例1　求点P(－1，2)到下列直线的距离：

(1) 2x＋y－10＝0；　　(2) y＝3x＋2；

(3) 3x＝2;            (4) y＝－1.

1. 用点到直线的距离公式时，直线方程必须是一般式．

2. 当A＝0或B＝0时，此公式也同样成立，但我们一般不用此公式，直接画图利用图形性质求解．

　求过点P(－1，2)，且与原点的距离等于的直线方程．

本题设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在，体现数学思维的严密性与分类的思想.

例2　求两条平行直线x＋3y－4＝0和2x＋6y－9＝0之间的距离．

思考2

如何求两条平行直线之间的距离？

探究：任意两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离如何表示？

结论：对于任意两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，它们之间的距离为d＝.(两条平行直线之间的距离公式的使用注意点：只有两条直线方程中x，y前面的系数相同时才能使用上面的公式)

　若直线l1与直线l2：3x－4y－20＝0平行且距离为3，求直线l1的方程．

思考3

由直线l1与l2平行，如何设直线l1的方程能简化运算？

1. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，6)，B(－4，3)，C(2，－3)，则点A到边BC的距离为 (　　)

A.   B.   C.   D. 4

2. 两条直线y＝x，6x－4y＋13＝0之间的距离为(　　)

A.   B.   C.   D. 13

3. (多选)已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程可以是(　　)

A. 2x＋3y－18＝0  B. 2x－y－2＝0

C. 3x－2y＋18＝0  D.  2x－y＋2＝0

4. 若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为____________．

5. 求经过点A(－1，－2)，且到原点的距离为1的直线方程．

参考答案与解析

【活动方案】

问题1: 如图，过点P作PE⊥l，垂足为E，则点P到直线l的距离就是线段PE的长．

方法一：通过求点E的坐标，用两点间距离公式求PE.

由PE⊥l，可知PE所在直线的斜率为，

所以PE所在直线的方程为y－4＝(x－2)，即4x－5y＋12＝0.

联立方程组解得垂足E的坐标为.

由两点间距离公式，得点P到直线l的距离

PE＝＝.

方法二：通过构造三角形，利用面积关系求点P到直线l的距离．

如图，过点P分别作y轴、x轴的垂线，交直线l于点M，N，

则M，N，

则PM＝|－－2|＝，PN＝|－－4|＝.

由勾股定理，得MN＝＝＝.

由三角形面积公式可知

PE＝＝＝.

思考1：运用数形结合的思想，将求点到直线的距离转化为求水平或垂直线段的长度，进而通过面积关系加以解决．

问题2：如图，过点P作PQ⊥l，垂足为Q.过点P分别作y轴、x轴的平行线，交l于点M(x1，y0)，N(x0，y2)．　

由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0，

得x1＝，y2＝，

所以PM＝|x1－x0|＝，

PN＝|y2－y0|＝.

因为PQ是Rt△PMN斜边上的高，所以由直角三角形面积公式可知PQ＝＝＝，即点P到直线l的距离为.

例1　(1) d＝＝＝2.

(2) y＝3x＋2化为一般式为3x－y＋2＝0，

则d＝＝.

(3) 因为直线3x＝2平行于y轴，

所以d＝＝.

(4) d＝＝3.

跟踪训练　当直线斜率不存在时，直线方程为x＝－1，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意，得＝，解得k＝－1或k＝－7，所以所求的直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0.

例2　在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离，

所以d＝＝＝.　

思考2：只要在其中一条直线上任意取一个点，求出该点到另一条直线的距离即可，从而将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离．

探究：d＝

跟踪训练　设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意，得＝3，解得m＝－5或m＝－35，所以所求的直线方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.

思考3：设直线l1的方程时，直线l1方程中x，y的系数与直线l2方程中x，y的系数相同．

【检测反馈】

1. B　解析：边BC所在直线的方程为＝，即x＋y＋1＝0，则d＝＝.

2. B　解析：两条直线的方程分别为3x－2y＝0，3x－2y＋＝0，所以两条直线之间的距离d＝＝.

3. AB　解析：若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝3，不符合题意，故直线l的斜率存在．设所求直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y－3k＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式，得＝，解得k＝2或k＝－，即所求直线方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.故选AB.

4. (1，2)或(2，—1)　解析：由于点P在直线3x＋y－5＝0上，故设点P(a，5－3a)．又点P到直线x－y－1＝0的距离为，所以＝，即|4a－6|＝2，解得a＝1或a＝2，故点P的坐标为(1，2)或(2，－1)．

5. 当过点A(－1，－2)的直线的斜率不存在，即垂直于x轴时，它到原点的距离为1，满足题意，其方程为x＝－1.

当过点A的直线的斜率存在时，

设所求的直线方程为y＋2＝k(x＋1)，

即kx－y＋k－2＝0.

因为原点到该直线的距离等于1，

所以＝1，解得k＝.

故所求的直线方程为y＋2＝(x＋1)，即3x－4y－5＝0.

综上所述，所求直线的方程为x＝－1或3x－4y－5＝0.