活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.5.2点到直线的距离（有答案）.1

1．5.2　点到直线的距离(2)

1. 巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式．

2. 掌握点、直线关于点成中心对称(或关于直线成轴对称)的点、直线的求解方法．

3. 能运用点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式灵活解决一些问题．

例1　在y＝4x2的图象上求一点P，使得点P到直线y＝4x－5的距离最小，并求这个最小的距离．

数学中的最值问题，有两种常规解题途径：一是用代数的方法解决(转化为函数问题或利用基本不等式求最值)，二是用几何方法解决(借助几何性质解决)．

　已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为 (　　)

A. 　　B. 　　C. 1　　D.

例2　求直线l1：x＋2y＋15＝0关于直线l：x＋y＋4＝0对称的直线l2 的方程．

直线的对称问题，本质是点的对称问题．

　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：

(1) 点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2) 直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3) 直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．

例3　建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

用解析法解决平面几何中的问题，首先建立适当的直角坐标系，然后写出点的坐标和直线的方程，接着用直线中的有关知识解决，最后回到实际的问题中去．

1. 若平行直线x－y＝0与x－y＋m＝0间的距离等于，则实数m的值为(　　)

A. 2  B. －2  C. ±  D. ±2

2. 若点(4，t)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则实数t的取值范围是(　　)

A.   B. (0，10)  C. [0，10]  D. (－∞，0)∪(10，＋∞)

3. (多选)若两条平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕点P，Q旋转，但始终保持平行，则直线l1，l2之间的距离可能为 (　　)

A. 1  B. 3  C. 5  D. 7

4. 若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2：2x＋y－5＝0上移动，则AB的中点到原点的距离的最小值为________．

5. 光线沿直线l1：2x＋y－3＝0照射到直线l2：x＋y＋4＝0上后反射，求反射光线所在的直线l3的方程．

参考答案与解析

【活动方案】

例1　设点P(a，4a2)，则点P到直线的距离为d＝＝.当a＝，即点P的坐标为时，点P到直线y＝4x－5的距离最小，最小为.

跟踪训练　C　解析：(m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离d＝＝1.

例2　在直线l2上任取一点M(x，y)．设点M关于直线x＋y＋4＝0的对称点为M′(x′，y′)，

则解得

因为点M(x′，y′)在直线l1上，所以－y－4＋2(－x－4)＋15＝0，即2x＋y－3＝0.

跟踪训练　(1) 设点A′的坐标为(x，y)，

则

解得故点A′的坐标为.

(2) 在直线m上取一点，如点M(2，0)，则点M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则

可得点M′.

设直线m与直线l的交点为N，则由解得点N(4，3)．

又因为直线m′经过点N(4，3)，

所以直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.

(3) 方法一：在直线l：2x－3y＋1＝0上任取两点，

如M(1，1)，N(4，3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，

易得点M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由两点式，得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.

方法二：因为l∥l′，

所以设直线l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．

因为点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，

所以由点到直线的距离公式，得＝，解得C＝－9(C＝1舍去)，

所以直线l′的方程为2x－3y－9＝0.

例3　设△ABC是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴，过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)．

设点A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则点C(－a，0)．

直线AB的方程为＋＝1，

即bx＋ay－ab＝0.

直线BC的方程为＋＝1，

即bx－ay＋ab＝0.

设底边AC上任意一点为P(x，0)(－a≤x≤a)，

则点P到直线AB的距离PE＝＝，

点P到直线BC的距离PF＝＝，

点A到直线BC的距离h＝＝，

所以PE＋PF＝＋＝＝h，故原命题得证．

【检测反馈】

1. D　解析：由题意，得＝，解得m＝±2.

2. C　解析：由题意，得≤3，即|3t－15|≤15，所以－15≤3t－15≤15，解得0≤t≤10.

3. ABC　解析：当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2之间的距离最大，最大距离为PQ＝＝5，所以直线l1，l2之间的距离的取值范围是(0，5]．故选ABC.

4. 　解析：设AB的中点坐标为(x，y)．因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以又点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：2x＋y－7＝0和l2：2x＋y－5＝0上移动，所以两式相加得2(x1＋x2)＋(y1＋y2)－12＝0，所以4x＋2y－12＝0，即2x＋y－6＝0，即为AB的中点所在直线的方程，因此原点到直线2x＋y－6＝0的距离，即为AB的中点到原点的距离的最小值，由点到直线的距离公式，得距离最小值为＝.

5. 联立解得

所以直线l3过点P(7，－11)．

又显然Q(1，1)是直线l1上一点，设点Q关于直线l2的对称点为Q′(x0，y0)，

则解得

即点Q′(－5，－5)．

因为直线l3经过点P，Q′，

所以由两点式方程得直线l3的方程为x＋2y＋15＝0.