活动单导学课程苏教版高中数学选择性必修第一册 1.4两条直线的交点（有答案）

1．4　两条直线的交点

1. 会求两条直线的交点．

2. 理解两条直线的三种位置关系(平行、相交、重合)与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解(无解、有唯一解、有无数个解)的对应关系．

3. 会运用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所满足的条件．

4. 通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．

　　问题1：判断直线x＋y＝2与直线x－y＝0的位置关系，若不平行，求出其交点坐标．

思考1

如何求两相交直线的交点坐标？

思考2

如果直线l1和l2相交，那么交点的坐标是这两个方程组成的方程组的解，反之，以两个二元一次方程组成的方程组的解为坐标的点是否为两直线的交点？

问题2：如果方程组只有一个公共解，那么对应的两条直线的位置关系如何？如果方程组无解、有无数组解，那么两直线的位置关系又如何？

1. 利用求交点坐标的方法(即解方程组)可以判断两直线的位置关系．

2. 两个二元一次方程所组成的方程组解的情况与两方程所表示的两条直线的位置关系之间的对应关系：

例1　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们交点的坐标.

(1) l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0；

(2) l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0；

(3) l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.

例2　设a为实数，直线l1：2x＋3y－1＝0，l2：x＋(a－1)y＋2＝0.若l1∥l2，求a的值．

两条直线的位置关系

例3　已知直线l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程．

思考3

如何求直线方程？需要哪些条件？

思考4

经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点的直线有多少条？它们的方程有什么共同特征？例3还有其他解法吗？

　　 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，那么过两条直线的交点的直线方程可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)(不包括直线l2)．

　求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．

1. 过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)

A. x－3y＋7＝0  B. x－3y＋13＝0  C. x－3y＋6＝0  D. x－3y＋5＝0

2.  (2021·渭南临渭区月考)若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.   B.   C.   D.

3. (多选)已知直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0，l3：x－ay－3＝0不能围成三角形，则实数a的取值可能为(　　)

A. 1  B.   C. －2  D. －1

4. 已知直线l：x＋y－2＝0，一束光线从点P(0，1＋)以120°的倾斜角投射到直线l上，经l反射，则反射光线所在的直线方程为______________．

5. 在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x－2y＋1＝0，角A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)．

(1) 求点A的坐标；

(2) 求直线BC的方程；

(3) 求点C的坐标．

参考答案与解析

【活动方案】

问题1：不平行，联立方程组解得所以其交点坐标为(1，1)．

思考1：先判断两直线的位置关系，若两直线不平行，则解相应的直线方程所组成的二元一次方程组，方程组的解即为交点的坐标．

思考2：不是，当且仅当这两个二元一次方程只有一个公共解时，以这个解为坐标的点是直线l1和l2的交点．

问题2：如果方程组只有一组解，那么对应的两条直线相交；如果方程组无解，那么对应的两条直线平行；如果方程组有无数组解，那么对应的两条直线重合．

小结：略

例1　(1) 因为方程组的解为

所以直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)．

(2) 因为方程组有无数组解，

所以直线l1和l2重合．

(3) 因为方程组无解，

所以直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.

例2　方法一：因为l1∥l2，

所以方程组

无解．

由②×2－①，得(2a－5)y＝－5.③

从而③无解，即2a－5＝0.

解得a＝.

方法二：由直线l1的方程可知，它的斜率k1＝－.

因为l1∥l2，所以直线l2的斜率存在，设为k2，则k2＝－.

又由直线l2的方程可知，它的斜率k2＝－，

所以－＝－，解得a＝.

小结：略

例3　方程组的解为则由直线的两点式方程，得＝，

即直线l的方程为2x－y＝0.

思考3：略

思考4：无数条，它们的方程可表示为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ为任意实数)．

设经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点的直线方程为(2x＋3y＋8)＋λ(x－y－1)＝0，又直线l过原点，将点(0，0)代入，得8＋λ×(－1)＝0，解得λ＝8，所以直线l的方程为(2x＋3y＋8)＋8(x－y－1)＝0，即2x－y＝0.

跟踪训练　由方程组

解得

因为所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，

所以直线l的斜率为－3.

根据直线的点斜式方程可得所求直线方程为

y－＝－3，

即15x＋5y＋16＝0.

【检测反馈】

1. B　解析：由可得直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为(－1，4)，与直线3x＋y－1＝0垂直的直线的斜率为.由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0.

2. C　解析：由可得因为两直线的交点位于第一象限，所以解得k>1.设直线l的倾斜角为α，则k＝tanα>1.因为0≤α<π，所以<α<，所以直线l的倾斜角的取值范围是.

3. BCD　解析：因为直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为－，所以直线l1，l2一定相交，交点坐标是方程组的解，解得交点坐标为(1，2)．当a＝0时，直线l3与x轴垂直，直线l3：x＝3不经过点(1，2)，所以三条直线能构成三角形；当a≠0时，直线l3的斜率为.当直线l1与直线l3的斜率相等时，即＝3，解得a＝，此时这两条直线平行，因此这三条直线不能构成三角形；当直线l2与直线l3的斜率相等时，即＝－，解得a＝－2，此时这两条直线平行，因此这三条直线不能构成三角形；当直线l3过直线l1，l2的交点(1，2)时，三条直线不能构成三角形，即有1－2a－3＝0，解得a＝－1.故选BCD.

4. x＋y－(1＋)＝0　解析：如图，设入射光线与l交于点Q，反射光线与x轴交于点P′，由入射光线的倾斜角为120°，得入射光线所在直线的斜率为－.又入射光线过点P(0，1＋)，所以入射光线所在的直线方程为y－(1＋)＝－x，即x＋y－(1＋)＝0.解方程组 得所以点Q的坐标为(1，1)．过点Q作垂直于直线l的直线l′，显然l′的方程为y＝x.由反射原理知，点P(0，1＋)关于l′的对称点P′(＋1，0)必在反射光线所在的直线上，所以反射光线所在直线P′Q的方程为＝，即x＋y－(1＋)＝0.

5.  (1) 直线x－2y＋1＝0和直线y＝0的交点是(－1，0)，即点A的坐标为(－1，0)．

(2) 因为直线x－2y＋1＝0为BC边上的高，则由垂直关系，得kBC＝－2，

所以直线BC的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.

(3) 因为角A的平分线所在直线的方程为y＝0，点A(－1，0)，B(1，2)，所以kAC＝－kAB＝－1.

设点C的坐标为(a，b)，则＝－1，＝－2，解得a＝5，b＝－6，即点C的坐标为(5，－6)．

1．5　平面上的距离