高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教学演示课件ppt
展开1.函数奇偶性的概念(1)偶函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的____一个x,都 有____________,那么称函数y=f(x)是偶函数.(2)奇函数的定义如果对于函数f(x)的定义域内的_____一个x,都 有_____________,那么称函数y=f(x)是奇函数.
f(-x)=-f(x)
1.奇、偶函数的图象(1)偶函数的图象关于____对称.(2)奇函数的图象关于____对称.2.函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系(1)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最 大值M,则f(x)在[-b,-a]上是______,且有 ___________.(2)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x) 在(0,+∞)上是______.
解析: 由偶函数定义,f(-x)=f(x)知,f(x)=-x2,f(x)=x2是偶函数,又在(0,+∞)上是减函数,∴f(x)=-x2符合条件,故选B.答案: B
2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=( )A.-2 B.2C.-98 D.98解析: ∵f(x+4)=f(x),∴f(7)=f(3+4)=f(3)=f[4+(-1)]=f(-1).又∵f(-x)=-f(x),∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,∴f(7)=-2,故选A.答案: A
3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式为________.
4.函数y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上为增函数,试比较f(-2)与f(1)的大小.解析: ∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(-1)又∵f(x)在(-∞,0]上为增函数,-2<-1∴f(-2)<f(-1)=f(1)即f(-2)<f(1)
[解题过程] 利用奇函数图象的性质,画出函数在[-5,0]上的图象,直接从图象中读出信息.由原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图象,知它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
[题后感悟] 本题利用奇函数图象的特点,作出函数在区间[-5,0]上的图象,利用图象求出满足条件的自变量x的取值集合.数形结合是研究函数的重要方法,画函数图象是学习数学必须掌握的一个重要技能,并能利用函数图象理解函数的性质.
解析: 因为函数y=f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故保留y=f(x)在(-∞,0]上的图象,在[0,+∞)上作y=f(x)关于y轴对称的图象,如图所示,即得函数y=f(x),x∈R的图象.由图象知f(3)=-2,f(1)=-1,所以f(1)>f(3).
[题后感悟] 此类问题的一般解法是:(1)“求谁则设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
[题后感悟] 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)
(3)由于奇函数、偶函数图象的对称性,我们可以由此得到作函数图象的简便方法,如作函数y=|x|的图象,因为该函数为偶函数,故需先作出x≥0时的图象,利用函数图象关于y轴对称即可作出x≤0时的图象.
◎已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,求函数f(x)的解析式.
【错因】 忽略了定义域为R的条件,漏掉了x=0的情况.
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