人教版第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质优秀教案

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人教版数学八年级上册
第十二章 全等三角形
12.3.2 角平分线的性质
1. 理解角平分线判定定理；
2. 掌握角平分线判定定理的证明方法并应用其解题；
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
1. 如图，在∠AOB内，PE⊥OB，PD⊥OA，PD＝3cm， 当PE＝____cm时，OC为∠AOB的平分线.
3
2. 如图，△ABC的周长为16cm，点O为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD⊥BC，OD＝1.5cm，则△ABC的面积是 cm2.
12
E
F
OE＝OF＝ OD＝1.5cm
 
 
 
＝12(cm2)
3. 如图所示，点P是△ABC内一点，PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PD＝PE，则点P在________的平分线上．
∠C
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是 ( )A．1 B．2 C．3 D．4
B
2
E
2
O
D
P
P 到OA的距离
P 到OB 的距离
角平分线上的点
几何语言：
∵ OC 平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD＝ PE.
A
C
B
E
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等. 那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
证明：
作射线 OP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
(全等三角形的对应角相等).
OP＝OP(公共边)，
PD＝ PE(已知 )，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL).
∴∠AOP＝∠BOP
结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
(1)位置关系：点在角的内部；
(2)数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
角平分线的判定
例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处(比例尺为1︰20000)？
S
O
例1 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处(比例尺为1︰20000)？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD＝2.5cm ，
O
D即为所求.
根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两条直线形成的夹角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
例2. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD＝PE.
同理PE＝PF.
∴ PD＝PE＝PF.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
结 论
如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.(1)求点O到△ABC三边的距离和；(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：(1)过点O作OE ⊥AB， ON ⊥BC.
∵AP平分∠BAC
∴OE＝OM.
∵ OM＝4
∴ O到△ABC三边的距离和为12.
同理ON＝OE.
∴ON＝OE＝OM
E
N
解：(2)连接OC.
 
 
 
 
 
角的平分线的性质
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD＝PE
OP平分∠AOB
PD＝PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
A
O
B
M
N
作角平分线
解：AD平分∠BAC. 理由如下：
∵点D到PE的距离与到PF距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，
∴AD平分∠BAC．
证明：
过点F 作FG⊥AE 于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F 在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F 在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
4. 如图， 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
5. 如图，在四边形ABCD中， ∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC. 求证：AM平分∠DAB.
E
证明：过M作ME⊥AD于E.
∵M为BC的中点，∴CM＝BM
∵∠B＝90°，∴MB⊥AB
∵DM平分∠ADC，∠B＝∠C＝90°
∴MC＝ME
∴MB＝ME
∵ME⊥AD，ME＝MB
∴AM平分∠DAB

见角平分线就作两边垂线段.
课程结束
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