第16讲 等差、等比数列（原卷版+解析版）-2023年高考数学必考考点二轮复习讲义（新高考专用）

第十六讲：等差、等比数列【考点梳理】1.数列的前项和为与通项公式为若数列的前项和为，通项公式为，则注意：根据求时，不要忽视对的验证．2.等差数列（1）如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．（2）通项公式的推广：．（3）等差中项若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．（4）等差数列的性质在等差数列中，当时，．特别地，若，则．（5）等差数列的前项和公式设等差数列的公差为，其前项和．（6）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值．3.等比数列（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式：（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项 ⇔，，成等比数列 ⇒ ．（3）等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，．（4）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为【典型题型讲解】考点一：等差、等比数列基本量运算【典例例题】例1．（2022·广东汕头·一模）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，，，成等差数列，则（    ）A． B． C． D．5例2．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（   ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【方法技巧与总结】等差、等比数列基本运算的常见类型及解题策略：（1）求公差公比或项数．在求解时，一般要运用方程思想．（2）求通项．和或是等差数列的两个基本元素．（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．【变式训练】1.（2022·广东深圳·一模）已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的公差_________．2．（2022·广东中山·高三期末）已知为正项等比数列，且，设为该数列的前项积，则（    ）A．8 B．16 C．32 D．643．（2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前n项和，若的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·广东汕头·高三期末）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ）A． B． C． D．5．（2022·广东中山·高三期末）在数列中，，，则数列的通项公式为________．6.（2022·广东揭阳·高三期末）在等差数列中，分别是方程的两个根，则__________.7.（2022·广东潮州·高三期末）设是首项为2的等比数列，是其前n项和．若，则_________．8.（2022·广东汕尾·高三期末）已知等差数列的前n项和是，且，则______．9．（2022·广东珠海·高三期末）等差数列前n项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若，求n的最小值．10．（2022·广东揭阳·高三期末）在各项均为正数的等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前项和.11．（2022·广东潮州·高三期末）设等差数列的前n项和为．(1)求数列的通项公式及前n项和；(2)若 ，求数列的前n项和．在这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．(注意:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)12．（2022·广东东莞·高三期末）设等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)在任意相邻两项和之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求数列的前200项的和.13．（2022·广东汕尾·高三期末）已知等比数列满足是的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.14．（2022·广东汕头·高三期末）已知正项等比数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，当时，，求数列的前n项和15．（2022·广东惠州·一模）已知数列满足，且数列是等差数列.(1)求数列的通项公式：(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和..考点二：等差、等比数列的判定或证明【典例例题】例1．（2022·广东·一模）已知正项数列，其前n项和满足.(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；(2)数列中是否存在连续三项，，，使得，，构成等差数列？请说明理由.例2．（2022·广东茂名·一模）已知数列，满足，，且，(1)求，的值，并证明数列是等比数列；(2)求数列，的通项公式．【方法技巧与总结】1.等差、等比数列的定义证明数列是等差、等比数列；2.等差、等比中项证明数列是等差、等比数列。【变式训练】1．（多选）（2022·广东·金山中学高三期末）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（    ）A．为等比数列 B．为等差数列C．为等比数列 D．若，则2．（多选）（2022·广东深圳·高三期末）已知d为等差数列的公差，为其前n项和，若为递减数列，则下列结论正确的为（    ）A．数列为递减数列 B．数列是等差数列C．，，依次成等差数列 D．若，，则3．（多选）（2022·广东佛山·高三期末）数列中，.则下列结论中正确的是（    ）A． B．是等比数列C． D．4.（2022·广东汕头·一模）已知数列的前n项和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；(2)设，证明：.5．（2022·广东深圳·一模）已知数列的首项，且满足．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．6．（2022·广东深圳·高三期末）已知数列满足，，且（）．(1)证明：数列是等比数列；(2)记的前n项和为，若，均有，求实数的最小值．7．（2022·广东佛山·高三期末）设为等比数列的前项和，、、成等差数列.(1)求证：、、成等差数列；(2)若，是数列的前项积，求的最大值及相应的值.8.已知数列{an}满足(1)问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；(2)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式.考点三：等差、等比综合应用【典例例题】例1.在①，②这两个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答．已知正项等差数列满足，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)已知正项等比数列的前n项和为，，_________，求．注：如果选择两个条件并分别作答，按第一个解答计分．【方法技巧与总结】（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．【变式训练】1.已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（       ）A． B． C． D．2.已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（       ）A． B． C． D．3．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．4．已知数列是公差为2的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且．设数列满足，其中，其前n项和为．(1)求的值．(2)若，求证：．5．已知公差为正数的等差数列，与的等差中项为，且．(1)求的通项公式；(2)从中依次取出第项、第项、第项、…、第项，按照原来的顺序组成一个新数列，求数列的前项和．【巩固练习】一、选择题：1．若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（       ）A． B． C． D．2．已知数列是首项为1的正项等差数列，公差不为0，若、数列的第2项、数列的第5项恰好构成等比数列，则数列的通项公式为（       ）A． B． C． D．3．已知数列的前项和为．若，，则（       ）A． B． C． D．4．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（       ）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列满足，，，则下列选项不正确的是（       ）A．是等比数列 B．C．是等比数列 D．选择题：6．若数列是等比数列，则（       ）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列7．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（       ）A． B． C． D．8．数列{an}的前n项和为Sn，，则有（       ）A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列C．an＝2·3n－1 D．三、填空题：9．在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．10．设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.四、解答题：11.已知公比大于1的等比数列满足，，数列的前n项和为，．(1)求，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．12.已知数列{}满足，．(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；(2)求数列的前n项和．13.已知数列和，其中，，数列的前项和为．(1)若，求；(2)若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式．14.设是各项为正的等比数列的前项的和，且，，.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入（）个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.15.（2022·广东茂名·二模）已知是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求证：．