【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型23 6类圆锥曲线离心率问题解题技巧（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）

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技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率
技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率
技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率
技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率
技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率
技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率
技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率
定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习
知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形，双曲线公式1:，公式
例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
，所以，．
例1-2．（2023·江苏模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
.
1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知椭圆C：的右焦点为，P为椭圆的左顶点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意列式解得，进而可得.
【详解】由题意可得：，解得，
所以C的离心率为.
故选：A.
2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】根据已知可知：，再代入离心率公式即可.
【详解】由题知：，即.
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.
3．（2023·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C：，其右焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可.
【详解】由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为2，
由题可知，过一三象限的渐近线为，即，
所以右焦点到渐近线的距离为，
又，∴，
∴．
故答案为: .
4．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆经过点和，则椭圆的离心率为 .
【答案】/0.5
【分析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率.
【详解】将两个点代入椭圆方程得：，解得，故.
故答案为：
技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率
焦点三角形中求离心率方法较多，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，难度较小，需强化练习
知识迁移
已知棚圆方程为,两焦点分别为,
设焦点三角形,,则椭圆的离心率
公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则
例2．（全国·高考真题）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，
∠=，则C的离心率为
A．B．C．D．
【法一】 离心率e＝
【法二】计算即可
已知是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为)
A. B. C. D.
2．（全国·高考真题）设是等腰三角形，，则以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题设条件可知，由正弦定理可得，再由双曲线的定义可得，最后由离心率公式进行计算即可得解.
【详解】双曲线的焦点为，，则，
是等腰三角形，，
，，
由正弦定理即，解得，
双曲线过点，由双曲线的定义可得，
解得离心率，
3．（2023·北京·首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知，分别是双曲线C：（，）的两个焦点，P为双曲线C上一点，且，那么双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值.
【详解】设双曲线的半焦距为，则，
由题意可得：，
因为，整理得.
故选：D.
4．（天津红桥·高二统考期末）已知F1，F2是双曲线 (a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若线段MF1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．＋1B．4＋2
C．D．－1
【答案】A
【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点的坐标可得，进而求得边的中点的坐标，代入双曲线方程求得，和的关系式化简整理求得关于的方程求得．
【详解】解：依题意可知双曲线的焦点为，，，
三角形高是，，
边的中点，，代入双曲线方程得：，
整理得：，
，，
整理得，求得，
，.
故选：A.
技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率
已知斜率乘积求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习
例3．（2023·吉林·高三阶段练习）已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
，求解即可
1．（2022秋·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知双曲线的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率为，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意设设，根据题意得到，进而求得离心率．
【详解】根据题意得到设，因为，所以，
所以，则
故选：C.
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
3．（2022·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线与椭圆：()相交于
､两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，由点差法运算可得，再由离心率公式即可得解.
【详解】设，则， ，
所以，作差得，
所以，即，
所以该椭圆的离心率.
故选：A.
技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率
已知定比分点求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习
知识迁移
点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则
当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
例4．（全国·高考真题）已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为
A．B．C．D．
计算即可
1．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意知，，设，由解得点坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.
【详解】设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，
设，由，且，
故，，
由点在椭圆上，故，整理得，
故离心率，
故选：B.
2．（全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1B．C．D．2
【答案】B
【详解】因为，所以，从而，则椭圆方程为．依题意可得直线方程为，联立可得
设坐标分别为，则
因为，所以，从而有 ①
再由可得，根据椭圆第二定义可得，即 ②
由①②可得，所以，则，解得．因为，所以，故选B
3．（2023·山东烟台·统考三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出的坐标，根据得出的坐标，根据在椭圆上列方程求解即可.
【详解】
不妨设在第一象限，由题意，的横坐标为，
令，解得，即.
设，又，，，
由可得：，解得，
又在椭圆上，即，
整理得，解得.
故选：A
技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率
用余弦定理求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习
例5．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交双曲线的右支于、两点．点满足，且，者，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【详解】如下图所示，取线段的中点，连接，

因为，则，
因为为的中点，则，且，
由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为.
1．（2023·山东烟台·校联考三模）双曲线的左､右焦点分别为，以1．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点的直线与椭圆交于两点，设椭圆的右焦点为，已知，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设椭圆的左焦点为，连接，得到四边形为平行四边形，设，在中，利用余弦定理，求得，结合椭圆离心率的定义，即可求解.
【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，
由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，
设，则，，
由余弦定理得：．
因为，，
所以椭圆的离心率.
故选：D．
2．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由、结合正弦定理可得，又，故，再结合余弦定理计算即可得离心率.
【详解】由椭圆定义可知，由，故，，
点满足，即，则，
又，，
即，又，
故，则，即，
即平分，又，故，
则，则，
，
，
由，
故，
即，即，又，故.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题关键在于由、，得到平分，结合，从而得到.
3．（2023·四川成都·统考一模）已知圆经过椭圆的两个焦点，圆和椭圆在第二象限的交点为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据圆与轴的交点求出椭圆的焦点，然后利用圆周角的性质求出，进而根据余弦定理及椭圆的定义可求出，则离心率可得.
【详解】对于圆，
即，圆心为，半径为
当时，，当时，，
即如图点
即椭圆的两个焦点为，即，
又圆和椭圆在第二象限的交点为，
由圆周角的性质可得，
则
又由
得，
又得，解得，
所以离心率.
故选：C.
技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率
构造其次方程求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习
例6．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点且与椭圆的长轴垂直，直线过椭圆的上顶点与右顶点且与交于点，若（为坐标原点），且，则椭圆的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【详解】设椭圆的焦距为，
则直线，直线，
联立，解得，即，
因为，故．
因为，所以点在椭圆上，
将代入椭圆的方程得，即，
即，解得或（舍去）.
1．（2024上·浙江宁波·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立，求得点B的坐标，再根据求解.
【详解】由题意得，
则直线的方程为，
联立方程，消去y得，
则，
所以，
因为，则，
因为，化简得，
即，可得，所以.
故选：B.
2．（2024·广东茂名·统考一模）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线，交于A，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可知直线：，结合方程可得，进而求离心率.
【详解】因为，且直线垂直于轴，可知直线：，
将代入椭圆方程可得，解得，所以，
又因为，则，即，
可得，则，解得.
故选：A.
3．（2024上·广东·高三统考期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点在上，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用焦点三角形得面积表示出，借助找到斜率之间得关系，计算即可.
【详解】设，，
由，解得，
又因为在椭圆上，
所以，解得，
因为，
可得，即，
记直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,
因为,所以,
即，
即，
整理得：，解得,
故选:B.