高考二轮课程】数学 全国通用版 函数的图像与性质 教案

高考二轮复习 函数的定义与性质
教材版本
全国通用
课时说明（建议）
2课时
知识点
函数的概念、函数的定义域、值域、函数的三种表示法、分段函数、
函数的单调性与最值、函数的奇偶性和周期性、函数的零点、指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质、幂函数的图像与性质
复习目标
1. 掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域；
2. 掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念；
3. 掌握函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用
4. 掌握指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质
5. 掌握函数零点的概念和二分法
复习重点
掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域；掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念；函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用
掌握指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质
复习难点
求函数的值域和求抽象函数的定义域、分段函数的概念，求函数的解析式、函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值、函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用、利用指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质解决问题

一、高考回顾
函数是高中数学的核心内容，自然也是高考的重点。近几年对函数的考查，一般是一大一小。小题往往考查函数性质，函数的图像或者幂、指、对数大小的比较，偶尔跟导数结合，难度中等偏上。大题主要考查函数曲线切线的求法，单调性的讨论，函数的零点个数探求，导数与不等式，恒成立、能成立、恰成立问题，此类题综合性比较强，难度也较大。高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。



二、知识清单
1.思维导图

核心方法
思维特征
转化
分类
指数函数图象性质
对数函数图象性质
幂函数图象性质
核心知识
函数性质
变更主元
构造函数
分离变量
函数的概念
函数的图像
函数思想
思维载体

2.知识再现
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为
(2)函数的定义域、值域
在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则
2．映射的概念
设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为
3、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
4、分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
函数的单调性定义：
设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间
如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间
如果用导数的语言来，那就是：
设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；
如果在某区间上，那么为区间上的减函数；
5.函数的最大（小）值
设函数的定义域为
如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；
如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。
6．函数的奇偶性的定义：
①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
7.函数的周期性命定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足
，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
8.指数式与对数式
（a）．幂的有关概念
(1)零指数幂； (2)负整数指数幂
(3)正分数指数幂；
(4)负分数指数幂
(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(b)．有理数指数幂的性质

(c)．根式 根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则
(d)．对数
(1)对数的概念:如果,那么b叫做以a为底N的对数,记

(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ② ③

(3)对数的运算性质
① ②
对数换底公式：
对数的降幂公式：
（4）三个常用结论：①；②；③.
9、指数函数与对数函数
1、 指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax (a>0且a≠1)
y=logax (a>0 , a≠1)
定义域
(-∞,+ ∞)
(0,+ ∞)
值域
(0,+ ∞)
(-∞,+ ∞)
过定点
（０，1）
（1，０）
图象
指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称


单调性
a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数
a>1,在(0,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数
值分布
y>1 ? y<1?
y>0? y<0?

指数函数图像分布规律：时，越大函数图像在y轴右侧越靠近y轴；
时，越小函数图像在y轴左侧越靠近y轴；
对数函数图像分布规律：时，越大函数图像在x轴上方越靠近x轴；
时，越小函数图像在x轴下方越靠近x轴；














2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同
2、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）
3.研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
4.指数函数与对数函数中的绝大部分？问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径
10.幂函数：一般地，形如的函数称为幂函数，其中n为常数.
图像及性质：
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；所有的幂函数在第四象限没有图像.
（2）n＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当时，图像下凸，当时，图像上凸；
（3）n＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.
在第一象限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.

11.函数零点问题：对于函数，把使的实数叫做函数的零点.
零点存在性定理：如果函数在区间上是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在使，这个c也就是方程的根.
（1） 利用函数图像解决函数零点问题（转化为函数交点问题）；
利用零点性质求参数取值范围.
三、例题精讲
题型一 求函数的定义域、值域

例1 （1）函数的定义域为( )
A.;B.；C. ;D.
（2）设，则的定义域为（ ）
A. ；B. ；C. ；D.

【答案】（1）D；（2）B
【解析】（1）欲使函数有意义，必须并且只需
，故应选择
（2）由得，的定义域为，故
解得。故的定义域为.选B.
【易错点】抽象函数的定义域
【思维点拨】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。
例2. 已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
【答案】（1）在区间上的最小值为
（2）
【解析】（1）当时，
，。在区间上为增函数。
在区间上的最小值为。
（2）在区间上恒成立；
在区间上恒成立；
在区间上恒成立；
函数在区间上的最小值为3，
即
【易错点】不会求函数的值域。
【思维点拨】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到
而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时
所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；



题型二 函数图像
例1(1)函数的图象大致是( )









(2)设函数的集合
，
平面上点的集合
，
则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
(3)如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 ( )



A B C D


【答案】(1) D；
(2)答案 B
(3)答案 B

【解析】(1)当时，，可以排除A和C；又当时，，可以排除B
(2)当时，，可以排除A和C；又当时，，可以排除B
(3)解析 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.
【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。
【思维点拨】可以从特殊点、极限、定义域、值域、函数的性质角度思考
例2求函数的最小值．

【答案】
【解析】由于 …①
令，此为抛物线方程，其焦点为，准线方程为，记点，则①可以改写为
，它表示为抛物线上的点到点与到焦点的距离之和：，注意点在抛物线的上方，由于点到焦点的距离等于其到准线的距离：，故当点移至使在垂线上时，的值最小，为，即，所以．

【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。
【思维点拨】因数配形。

题型三 函数的性质
例1（1）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C. D.是奇函数
（2）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是 ( )
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则
D．若，，且，则
（3）给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网
②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；
③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。
其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②

【答案】（1） D；（2） C ；（3）C
【解析】（1） 与都是奇函数，
，
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D
（2） 对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．
（3） 考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。

【易错点】函数性质掌握不够透彻
【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证
例2.已知函数，．
．当时，求的单调区间；
．对任意正数，证明：．


【答案】在中单调递增，而在中单调递减．
【解析】、当时，，求得 ，
于是当时，；而当 时，．
即在中单调递增，而在中单调递减．
（2）.对任意给定的，，由，
若令 ，则 … ① ，而 … ②
（一）、先证；因为，，，
又由 ，得 ．所以

．
（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则
（ⅰ）、当，则，所以，因为 ，
，此时．
（ⅱ）、当 ……③，由①得 ,，，
因为 所以 ……④
同理得 …… ⑤ ，于是
……⑥
今证明 …… ⑦, 因为 ，
只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ．
综上所述，对任何正数，皆有．
【易错点】函数性质掌握不够透彻
【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证


四、成果巩固
题型一 求函数的定义域和值域

1.设表示不超过的最大整数（如,）,对于给定的N*,定义,
求当时，函数的值域

【答案】
【解析】 ；当时，，，因为函数在上是减函数，得；当时，，，因为，由单调性得，故当时，函数的值域是
2.设函数，则函数的定义域是

【答案】
【解析】由得，的定义域为。故
解得或。

3.求函数的最大值．

【答案】最大值．
【解析】，则定义域为．
为了从两个根式中移出相同的常数，注意，即
，令，，为锐角，
又由，即，
令，，为锐角；
所以，
，于是，
，当时等号成立，此时，于是
，，，而；
即当，取得最大值．
解二：利用，
（因为，即，
两边开方便得上式，其中取等号当且仅当）；
因此
，其中取等号当且仅当，即．


题型二 函数图像问题
1.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
【答案】-8
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间[0,2]上是增函数,所以在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以

2.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
A
B
C
D
M
N
P
A1
B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O


【答案】B；
【解析】过点作垂直于平面的直线，当点运动时，线与正方体表面相交于两点形成的轨迹为平行四边形，可以看出与的变化趋势是先递增再递减，并且在的中点值时取最大

3.证明：满足不等式的实数的集合可以表为一些互不相交的开区间之并，试求出这些区间长度的总和．

【答案】
【解析】考虑函数，由于当时，，故在区间内，不存在使的实数；
对于集中的任一个，由于当时，，而当
时，，且当时，，所以方程在区间
内各有一个解；依次记这个解为，
于是函数的图像大致如下：









今构作多项式，由于是一个次多项式，故方程至多有个互异根，显然每个使的都是的根（注意
都不是的根，因为每个均使无意义）．
因此便是的全部根．这表明,每个是其所在区间
,及中的唯一根．
从而不等式的解集是，故得所有区间长度的总和为
…… ①
注意 … ②
如将展开，其最高项系数为，设
…… ③
又有 …… ④
据③④得， （其中为的的系数）
下面由②直接计算的系数:
由于在中，的系数是，（这是因为，在中，的系数为，．）
所以中的的系数是，即；
从而．由①得，.

题型三 函数的性质

1.设函数，且在闭区间上，只有
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.

【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）方法一：若是偶函数，则

于是有，这与在闭区间上，只有矛盾
故不是偶函数；
若是奇函数，则，这与在闭区间上，只有矛盾，故若不是奇函数
所以既不是偶函数，也不是奇函数
方法二：因为在闭区间上，只有故，即不是奇函数
又由知，，而，所以，又
所以，可见不是偶函数
所以既不是偶函数，也不是奇函数
（Ⅱ）方法一：因为

所以，即
所以，即
又，所以和都是方程的根
由和及得到

故方程在闭区间上的根至少有802个
如果存在使得，则
但，这与在闭区间上，只有矛盾
故在上只有两个根，即和
设是方程在闭区间上任意一个根，则存在整数，使得
，且
由上可知或，所以或（）
所以故方程在闭区间上仅有802个根
方法二：由
知是周期为10的函数，
由知的图象关于直线对称
又因为在上仅有所以在上没有根
即在上只有两个根，即和
于是，在内只有400个根，在上仅有2个根，在内仅有400个根，在上没有根。
所以故方程在闭区间上仅有802个根

2.定义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式。

【答案】
【解析】⑴当时，
又为奇函数，，
当时，由有最小正周期4，

综上，
3.已知函数的图象在上连续不断，定义：
，，
其中表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.
若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”.
（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；
（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.

【答案】最大值．
【解析】（Ⅰ）由题意可得，，，.
（Ⅱ），，
，
当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
当时，，解得，故，
综上所述，.
即存在，使得是上的4阶收缩函数.
（Ⅲ），令，得或.
函数，的变化情况如下：
x

0

2


-
0
+
0
-

减
极小值0
增
极大值4
减
令，解得或3.
（ⅰ）时，在上单调递增，
因此，，.
因为是上的2阶收缩函数，
所以，①对恒成立；
②存在，使得成立.
①即：对恒成立，
由，解得：或，
要使对恒成立，需且只需.
②即：存在，使得成立.
由得或，
所以需且只需.
综合①②可得：.
（ⅱ）当时，，，
此时，
若是上的2阶收缩函数，
则对恒成立，
则对恒成立，
即在上恒成立，
而解，得或，
故在上不可能恒成立，
故时不符合条件.
（ⅲ）当时，，，
此时，
若是上的2阶收缩函数，
则对恒成立，
则对恒成立，
即在上恒成立，
而解，得或，
故在上不可能恒成立，
故时不符合条件.
综合以上，可得：.





五、 课堂小结
1.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
注：如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
2.奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.
注：对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.
注：若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.
3.多项式函数的奇偶性
多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线对称
.
(2)函数的图象关于直线对称
.
4.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象