高考二轮课程数学 全国通用版 平面向量 教案

高考二轮复习 平面向量
教材版本
全国通用
课时说明（建议）
2课时
知识点
1.平面向量的有关概念和线性运算；
2.平面向量基本定理及坐标运算；
3.平面向量的数量积及向量的应用。
复习目标
1.理解向量的几何表示；
2.掌握向量数乘运算及其几何意义；
3.了解向量线性运算的性质和几何意义，了解平面向量的基本定理及其意义；
4.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算；
5.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
6.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
复习重点
1. 向量数乘运算；
2. 数量积的坐标表达式。
复习难点
1. 向量数乘运算；
2. 数量积的坐标表达式。
一、高考回顾
向量主要以客观题形式出现,属于基础题，解决此类问题一要准确记忆公式，二要准确计算。主要考察的内容为向量的数量积运算以及坐标运算，涉及到模长问题牢记先平方后开方的思路，便能直捣黄龙，一举破题。另外，虽然近几年高考题中平面向量较难知识以及能力考察题型相对较少，但是备考方面还是应当提高训练难度，对如常规的模型化问题，套路化问题要做到考必会，会比拿分的水平。如建系解决棘手数量积问题，再如解析几何中的夹角问题，垂直(平行问题)等都要做到烂熟于胸。至于等和线、奔驰定理、“四心”问题、极化恒等式等进阶知识则引人因地因时制宜。



二、知识清单
数量积
共线(平行)
垂直——
加、减、数乘几何意义及运算
平面向量基本定理
基本定理
平面向量

几何意义——投影
夹角公式——
零向量、单位向量、模
线性运算
基本概念
共线与垂直
1.思维导图
2.知识再现
一、平面向量的线性运算与有关定理
1．向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：；
结合律：

减法
求与的相反向量的和的运算叫作与的差


数乘
实数与向量的积的运算
(1)；
(2)当0时，与的方向相同；
当时，与的方向相反；
当时，
结合律：
；
第一分配律：
；
第二分配律：

特别提醒：
1).关于向量的模的两个关系式：对于任意两个向量，都有：
①.；
②．
2).当不共线时：
①的几何意义是三角形中任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；
②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．
2．向量中的有关定理
(1)向量共线的判定定理和性质定理
①判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数使得，则向量与共线．
②性质定理：若向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，使得.
③是平面上三点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，则存在实数，使得(如图所示)．

(2)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，其中是一组基底．
特别提醒：
(1).零向量不能作为基底向量，基底不是唯一的，只要是同一个平面内不共线的向量均可作为一组基底．
(2).由平面向量基本定理可知，如果对于一组基底，有，则可以得到.



3．平面向量的坐标表示与坐标运算
(1)平面向量运算的坐标表示
运算
坐标表示
和(差)
已知;
则，.
数乘
已知，则，其中是实数
任一向量的坐标
已知，，则.
(2)平面向量共线的坐标表示：若，则（交叉相乘相等）.
提醒：当且仅当时，与等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
二、平面向量的数量积及其应用
1．向量的夹角
(1)夹角的定义和范围
图示
定义
范围

向量夹角
已知两个非零向量和，作
,则叫做与的夹角.
与夹角的范围，
与同向时，,反向时；
当时,两向量垂直,记作：。

(2)两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件：
①.与的夹角是锐角且与不共线．
②.与的夹角是钝角且与不共线.
特别提醒：
只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是与的夹角，才是与的夹角．

2．平面向量数量积的有关概念
(1)数量积的定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫作与的数量积，记作，即.规定：.
(2)数量积的几何意义：数量积等于的模与在的方向上的投影的乘积．
特别提醒：
两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值确定.
3．平面向量数量积的性质
设都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
(1)..
(2)..
(3).当与同向时，；当与反向时，.特别地，或.
(4)..
(5)..
特别提醒：
当时，由不一定推出，这是因为对任意一个与垂直的向量，都有
当时，也不一定推出，因为由，得，即与垂直．也就是向量的数量积运算不满足消去律．
4．平面向量数量积的坐标表示
设，的夹角为，则
(1)..
(2).若，，则.
(3)..
(4)..

三、平面向量的综合应用
1．向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的充要条件：.
(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：
(3)求夹角问题，常用公式：.
(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模.

2．向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
3．“奔驰”定理，与三角形的“四心”问题
(1)：三角形的“四心”定理的平面向量表达式：
.点是的重心；
.点是的垂心；
.点是的外心；
.点是的内心,（其中是的三边长）；
(2)若是内的一点，且,则.




三、例题精讲
题型一 平面向量的线性运算
例1：(2014·浙江，8)记设为平面向量，则(　　)
A． B．
C． D．
【答案】：D
【解析】
方法一：对于平面向量与表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有,故选项D正确，选项C错误．
方法二：若同向，令，这时；若令，这时，而，显然对任意，与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取，则，这时，而＝5，不可能有，故选C项错．
【易错点】平面向量加减法线性运算性质。
【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．
题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用
例1.(2012·全国文,9)中,边的高为,若则＝(　　)
A.　　　　B. C. D.
【答案】 D
【解析】方法一：


方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得又因为，所以可求得,于是,而,若设，则有即,故
【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；
【思维点拨】根据题设条件确定出三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决.
例2. 若点是所在平面内一点,且满足: 设.
（1）求与的面积之比.
（2）若为中点,与交于点,设,求的值.
【答案】 见解析；
【解析】（1）由可知三点共线

如图令；
.即面积之比为
（2）由;
由三点共线及三点共线.
【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；
【思维点拨】.利用共线性质得出AB与AC的线段长度之比，即可得到面积之比；
第二问中利用三点共线及三点共线性质进行解决即可；

例3.【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】设双曲线的右焦点为,过点与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的其中一个交点为,设坐标原点为,若,且,则该双曲线的渐近线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知,代入，得,代入双曲线方程中,整理的；又因为,可得,所以该双曲线的渐近线为，故B为正确答案.
【易错点】三点坐标的确定，离心率的概念。
【思维点拨】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.
题型三 平面向量数量积的概念与计算
例1. 【2015四川绵阳市高三一诊】如图,正六边形的边长为1,则＝（ ）
A. B. C. D.

【答案】 D
【解析】根据正六边形性质,有,于是向量与所成角为150°;
且,所以＝,选D．
【易错点】正六边形的性质及平面向量的加减法运算法则的应用；
【思维点拨】利用定义求两个非零向量数量积,关键要搞清向量的数量积和模,尤其在求向量夹角时,要判断其起点是否共点．
例2.在中,内角的对边分别为点P是边AB上的一个三等分点,则( )
A.0 B.6 C.9 D.12
【答案】 B
【解析】过点作,垂足为．如图所示,

.
取点P靠近点B的三等分点．则.．
同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6．．
【易错点】坐标系的建立，点坐标的确定；
【思维点拨】用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程,坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键．
例3.如图,是半径为1的圆的两条直径,,则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】故选B.
【易错点】平面向量线性运算性质的应用，共线性质的应用；
【思维点拨】利用线性运算将待求量转化到利用共线的向量表示,利用同向或是反向解决问题；
题型四 平面向量的夹角与模的计算
例1.若非零向量满足,且,则与的夹角为(　　)
A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　　　D．
【答案】 A
【解析】设，则.


.故选A.
【易错点】垂直关系的转化，比例关系的应用，夹角的范围；
【思维点拨】利用垂直得出的等式关系，借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决;
题型五 平面向量中的范围、最值问题
例1.在边长为2的等边三角形中,是的中点,为线段上一动点,则的取值范围为
【答案】见解析；
【解析】由题意可得，的夹角是，是的中点，设,
∴
=;
由于为线段上的一动点，故，令;
∴当时，；当时,，∴的取值范围为
【易错点】线性转化，函数关系的构造，取值范围的确定；
【思维点拨】将用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性.
例2.已知向量满足:的夹角为,,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】设;以所在直线为为坐标原点建立空间直角坐标系,
∵的夹角为,则,设,∵,
∴,即表示以(3,1)为圆心，以1为半径的圆,表示点的距离，即圆上的点与点的距离；∵圆心到的距离为：,
∴的最大值为，故选:D．
【易错点】题干条件的转化，几何意义的应用；
【思维点拨】夹角已知向量模已知的情况下，即可将线性运算转化为坐标运算，将问题具体化.
例3. 已知向量与的夹角为在时取得最小值,当时,夹角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】由题意知,;
∴;
;
由二次函数图像及其性质知,当上式取得最小值时,.
由题意可得,，求得,所以，故应选C.
【易错点】转化方向的确定，函数关系的建立；
【思维点拨】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解.
例4.已知,且与的夹角为锐角,则的取值范围是
【答案】
【解析】由于与的夹角为锐角,,且与不共线同向,由,解得,当向量与共线时,得,得,因此的取值范围是．
【易错点】忽略夹角为锐角的条件及其需要满足的条件；
【思维点拨】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是,而三角形内角范围是,向量夹角是锐角,则且,而三角形内角为锐角,则．
题型六 平面向量在三角函数中的应用
例1.在平面直角坐标系中，已知向量,
①若，求的值；
②若与的夹角为,求的值.
【答案】 见解析；
【解析】①∵，，.
∴，即，∴.
②由题意知，，＝1，
.
而，
又∵，，∴，∴.
【易错点】运算出错，角度范围不明确；
【思维点拨】利用平面向量坐标运算性质及垂直关系建立等式即可得出结果。

四、成果巩固
题型一 平面向量的线性运算
1.设分别是的边上的点，.若为实数)，则的值为________．
【答案】：
【解析】：∵；
又∵.
2.已知为圆上的三点，若，则与的夹角为________．
【答案】：90°
【解析】：由可知为的中点，即为圆的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以，所以与的夹角为.
3.在中,点满足，若，则＝_____；＝________.
【答案】：
【解析】：如图，在中，

=；

题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用
1. 如图,在平行四边形中,,则（ ）(用表示)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
2. 已知是两个单位向量,且.若点在内,且,则，则（　　　　）
A. B.3 C. D.
【答案】
【解析】以原点,向量所在直线为轴,建立平面直角坐标系,因为,设点的坐标为,由,得,∴．
3.直线过抛物线的焦点,且交抛物线于两点,交其准线于点,已知,则（ ）
A.2 B. C. D.4
【答案】C
【解析】过分别作准线的垂线交准线于.因为，所以,且,设则,根据三角形的相似性可得:,即,解得,所以即,所以,选C.
4．在中,为边上任意一点,为AM中点,,则的值为(　　)
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】∵为边上任意一点,∴可设．
∵为AM中点,∴.
∴.
题型三 平面向量数量积的概念与计算
1. 【2015江西南昌】若等腰底边上的中线长为1,底角,则的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为等腰底边上的中线长为1,底角,所以,所以
∵∴, ∴,又，
∴,
又∵, ∴, ∴,
∴；
故答案为：．
2.已知是坐标原点,点,若点为平面区域上的一个动点,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】,作出不等式组表示的平面区域，如图内部(含边界),作直线,平移直线,直线过时,,过时，，所以的取值范围是，故选。

3.在边长为1的正中,且,则的最大值为 （ ）
A. B C． D．
【答案】D
【解析】由题意：

∴ ;
;∴当时,取得最大值。

题型四 平面向量的夹角与模的计算
1.已知向量与的夹角为,且.若,且，则实数的值为________．
【答案】
【解析】∵,∴,∴,即;∵向量与的夹角为,，
∴.
2.平面向量,且与的夹角等于与的夹角，则＝(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】:.由两向量的夹角相等可得：,即为，解得.
3.)在平行四边形中,，E为CD的中点．若＝1，则的长为________．
【答案】
【解析】方法一：由题意可知，，.因为＝1，所以(＝1，则 因为所以

因此式可化为.解得(舍去)或，所以的长为.
方法二：以为原点，为轴建立如图的直角坐标系，过作于点.

由，可知.设，则．.
因为E是CD的中点，所以.所以.
由，可得,即,所以(舍去)或. 故AB的长为.
题型五 平面向量中的范围、最值问题
1.已知,若点是所在平面内一点,且,则的最大值等于（ ）.
A．13 B．15 C．19 D．21
【答案】
【解析】以点为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则,
,即,所以,,
因此.由题可得,所以,
所以的最大值等于13,当,即时,等号成立．故选A．

2.已知是平面内互不相等的两个非零向量,且的夹角为,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如下图所示,,则,∵与的夹角，即；
∴，设则,在中,由正弦定理得,∴; ∴,故选C。

3. 非零向量满足,,则与的夹角的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意得, ,
整理得,即
;∴;夹角的最小值为.
4.设向量满足：,的夹角是,若与的夹角为钝角,则的范围是（ ）
A． B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题可知：,;
∴;
欲使夹角为钝角,需,得.
∴且，∴；∴,此时，即时，向量与的夹角为. ∴夹角为钝角时，的取值范围是.故选择B.
题型六 平面向量在三角函数中的应用
1. (2013·江苏，15，14分)已知.
(1)若，求证：；
(2)设，若，求的值．
【答案】见解析；
【解析】(1)证明：由题意得，即.
又因为,所以，即，故.
(2)因为，
所以 由此得，．由,得,又，
故.代入，得.又，所以.
2. (2016·山西太原质检，9)已知向量，若向量的夹角为,则有(　　)
A. B. C. D.
【答案】
【解析】依题意有,
由于，所以,而,于是有.
3. 已知其中．若，则的值等于(　　)
A．1 B．－1 C. D.
【答案】
【解析】由知，，所以,即,而x∈(0，π)，所以，故.



五、课堂小结
总结本次课的重点解题方法，解题规律