高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 简单随机抽样学案及答案

§2　抽样的基本方法

第1课时　简单随机抽样

课前篇·自主梳理知识

【主题】　简单随机抽样

1．简单随机抽样

(1)一般地，从N(N为正整数)个不同个体构成的总体中，________地抽取n(1≤n<N)个个体组成样本，并且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的可能性________，这样的抽样方法叫作简单随机抽样．

(2)方法：________和________．

2．抽签法与随机数法

(1)抽签法：先把总体中的N(N为正整数)个个体________，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条卡片或小球等)，再将这些号签放在同一个不透明的箱子里搅拌均匀．每次随机地从中抽取________，然后将箱中余下的号签摇均匀，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本容量．

(2)随机数法：先把总体中的N个个体依次编码为0,1,2，…，N－1，然后利用工具(转盘或摸球、________、科学计算器或计算机)产生0,1,2，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选第几号个体，直至选到预先设定的________．

3．抽签法的步骤

(1)________________________________________________________________________；

(2)________________________________________________________________________．

4．随机数表法的步骤

(1)________________________________________________________________________；

(2)________________________________________________________________________；

(3)________________________________________________________________________．

答案：

1．(1)逐个不放回　相等　(2)抽签法　随机数法

2．(1)编号　一个　(2)随机数表　样本容量

3．(1)给总体中的每个个体编号　(2)抽签

4．(1)给总体中的每个个体编号

(2)在随机数表中随机抽取某行某列作为抽样的起点，并规定读取方法

(3)依次从随机数表中抽取样本号码，凡是抽到编号范围内的号码，就是样本的号码，并剔除相同的号码，直至抽满为止

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)简单随机抽样就是随便抽取样本．(　　)

(2)使用抽签法抽签时，后抽签的人占优势．(　　)

(3)利用随机数表抽样时，开始位置和读数方向可以任意选择．(　　)

答案：(1)　(2)　(3)√

2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性(　　)

A．与第几次抽样有关，第1次的可能性要大些

B．与第几次抽样无关，每次的可能性都相等

C．与第几次抽样有关，最后1次的可能性要大些

D．以上都不正确

答案：B　

解析：在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关．

3．抽签法中确保样本代表性的关键是(　　)

A．抽签       B．搅拌均匀

C．逐一抽取       D．抽取不放回

答案：B　

解析：逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，不是确保样本代表性的关键，抽签时一次抽取与有放回抽取也不影响样本的代表性．

4．为了了解某校高一200名学生的爱好，将这200名学生按001号至200号编号，并打算用随机数表法抽出5名同学，根据给出的随机数表，要求从本数表的第6列开始顺次向后读数，则抽出的5个号码中的第二个号码是________．

随机数表：84 42  17  53  31  57  24  55  00  88  77  04  74  17  67  21  76  33  50  25  83  92  12  06  76

答案：176　

解析：根据随机数表进行简单随机抽样的方法得，抽取的第一个号码为088，第二个号码为176.

课堂篇·重难要点突破

研习1　简单随机抽样的概念

[典例1]　下面的抽样方法是简单随机抽样吗？ 为什么？

(1)某班45名学生，指定个子最高的5名学生参加学校组织的某项活动；

(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验；

(3)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩完后放回再拿出一件，连续玩了5件．

解：(1)不是简单随机抽样，因为这不是等可能抽样．

(2)不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．

(3)不是简单随机抽样，因为这是有放回抽样．

[延伸探究]　在简单随机抽样过程中，每个个体被抽到的可能性一样吗？怎样计算这个可能性的大小？

答案：一样．计算公式为.

简单随机抽样的判断方法

判断所给抽样是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的四个特点，即总体的个数有限；逐个抽取；不放回抽取；等机会抽样．

[练习1]下列抽取样本的方式是简单随机抽样吗？ 为什么？

(1)在机器传送带上每隔10个抽取一件产品作为样本；

(2)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；

(3)箱子里共有100个零件，从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱里；

(4)从50个个体里一次性抽取5个个体作为样本．

解：(1)不是，因为传送带上的产品数量不确定．

(2)不是，因为个体的数目无限．

(3)不是，因为是有放回的抽样．

(4)不是，因为它是一次性抽取，与逐个抽取含义不一样．

研习2　抽签法的应用

[典例2]　某单位支援西部开发，现从报名的18名志愿者中选取6名组成志愿小组到西藏工作3年．请设计一种抽取方法．

解：按抽签法的一般步骤进行设计．

第一步　将18名志愿者编号，号码为1，2，…，18；

第二步　将号码分别写在一张形状、大小相同的纸条上，制成号签；

第三步　将所有号签放入一个箱子中，充分搅匀；

第四步　依次取出6个号码，并记录其编号；

第五步　将对应编号的志愿小组成员选出．

[延伸探究]　从哪几个方面可判断一个抽样方法是抽签法？

答案：一是编号，二是搅拌均匀，三是依次不放回抽取．

抽签法抽样的步骤

一般地，用抽签法从容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本的步骤为：

(1)把总体中的N个个体编号(号码可以从1到N)；

(2)将这N个号码写在形状、大小相同的签上(签可以是小球、卡片或纸条)；

(3)将这些号签放在同一个箱子里均匀搅拌；

(4)从箱子中每次随机地抽出一个号签不放回，并记录其编号，连续抽取n次；

(5)将总体中与抽到的号签的编号相一致的n个个体取出．

[练习2]从40件产品中要抽取10件进行检查，写出抽取样本的过程．

解：(1)编号：将40个个体进行编号：1,2，3，…，40；

(2)制签：将号码分别写在形状大小相同的均匀硬纸片上，制成号签；

(3)将号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌；

(4)从容器中不放回依次抽取10个号签，并记录号码，这样，所得的号码对应的个体组成样本．

研习3　随机数法的应用

[典例3]　总体由90个个体组成，利用随机数法随机地抽取10个样本．试写出具体做法．

解：第一步　将总体中的每个个体进行编号：00,01，02，…，89；

第二步　由于总体是一个两位数的编号，每次要从随机数表中选取两列组成两位数．从随机数表中任意一个位置，比如，从表中第二行的第5列和第6列这两列开始选数，由上至下，分别是92,34,98,85,79,49,61,01,70,46,77,66，…，其中92,98超过90，不能选取．这样，选取的10个样本的编号分别为34,85,79,49,61,01,70,46,77,66.

[延伸探究]　用随机数表法抽样时，如何确定开始位置？ 如何读数？

答案：在随机数表中选一个数字作为开始位置，按照一定的顺序和要求取样本，取满为止．

1．随机数表法抽样的步骤

(1)将总体中的所有个体编号(每个号码位数一致)；

(2)在随机数表中任选一个数字作为初始数字；

(3)从初始数字开始按照一定的顺序和要求获取样本号码(重复号码和不在编号范围内的号码跳过，直到取满为止)；

(4)按所得号码抽取样本．

2．抽签法和随机数法的优点和缺点

(1)抽签法的特点

优点：抽签法简单易行，当总体中的个体数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时每个个体有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．

缺点：当总体中的个体数较多时，将总体“搅拌均匀”就比较困难，用抽签法产生的样本代表性差的可能性很大．

(2)随机数法的特点

优点：简单易行，它很好地解决了用抽签法时，当总体中的个体数较多时制签难的问题．

缺点：当总体中的个体数很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本仍不方便．

[练习3]欲从某单位45名职工中随机抽取10名职工参加一项社区服务活动，试用随机数法确定这10名职工，请写出抽样过程．现将随机数部分摘录如下：

16 22 77 94 39　49 54 43 54 82　17 37 93 23 78　87 35 20 96 43

84 42 17 53 31  57 24 55 06 88   77 04 74 47 67  21 76 33 50 25

63 01 63 78 59  16 95 55 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07

解：第一步　将45名职工编号为00,01,02,03，…，44.

第二步　从随机数表中任意一个位置，例如从所给数表中第1行的第3列和第4列的数字开始向右读，首先取22，然后取77,94均大于44，跳过；继续向右读数得到39；49,54大于44，跳过；继续可以得到43，然后同样跳过大于44及与前面重复的数字可以得到17,37,23,35,20,42,31.

第三步　确定编号为17,20,22,23,31,35,37,39,42,43的10名职工作为参加该项社区服务活动的人选．

课后篇·演练提升方案

1．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：C　

解析：明确是简单随机抽样且每个个体被抽到的可能性是相等的，问题的突破口就找到了．因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每一个个体被抽到的可能性为＝.故应选C.

2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性(　　)

A．与第n次有关，第一次可能性最大

B．与第n次有关，第一次可能性最小

C．与第n次无关，与抽取的第n个样本有关

D．与第n次无关，每一次可能性相等

答案：D

3．利用简单随机抽样的方法，从n个个体(n>13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为________．

答案：　

解析：由已知＝，解得n＝37.∵每个个体被抽到的概率相等，∴被抽到的概率为.

4．如果用简单随机抽样从个体数为10的总体中抽取一个容量为2的样本，那么每个个体被抽到的概率都等于________．

答案：　

解析：∵简单随机抽样是从个体总数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，每个个体被抽到的概率等于，∴当n＝2，N＝10时，＝.∴每个个体被抽到的概率都等于.

5．某班有50名学生，要从中随机抽出6名学生参加一项活动，请分别用抽签法和随机数法进行抽样并写出过程．

解：采用抽签法抽选过程：将这50名学生的学号写在形状、大小相同的号签上，然后将这些号签放在同一盒子里，进行均匀搅拌．抽签时，每次抽出1个号签不放回，然后将号签均匀搅拌，再进行下一次抽取，如此下去，连抽6次，再将所抽得的6个号签上的学号所对应的6个同学选出即可．

采用随机数法抽选过程：先将50名同学编号为00,01，02，…，49，再在教材所提供的随机数表中任选一数作为开始，如选第10行第3个数开始，由于79>49，故舍去，继续向右读数得70,76,26,94,29,27,43,99,55,19,81,06.又因为70>49,76>49,94>49,99>49,55>49,81>49，将它们去掉，至此6个样本已取满，于是抽取的样本号码是26,29,27,43,19,06.

[易错误区]　随机数表法抽样

[典例]　(2020·南阳高一检测)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________．

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

[错解]　由题意得，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则

选出的数字分别为：08,02,14,07,02，所以选出来的第5个个体的编号为02.故填02.

[错因分析]　分析解题过程，请找出错误之处．错误的根本原因是忽视了02前面已经出现，应舍掉．

[正解]　由题意得，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字分别为08,02,14,07,01，所以选出来的第5个个体的编号为01.

[答案]　01