高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 简单随机抽样教学设计

简单随机抽样

【教学目标】

1．知识与技能

理解统计学需要解决的问题、抽样的必要性，简单随机抽样的概论，掌握简单随机抽样的两种方法。

2．过程与方法

通过对生活中的实例分析、解决，体验简单随机抽样的科学性及其方法的可靠性，培养分析问题，解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观

通过身边事例研究，体会抽样调查在生活中的应用，培养抽样思考问题意识，养成良好的个性品质。

【教学重难点】

重点：掌握简单随机抽样常见的两种方法(抽签法、随机数法)

难点：理解简单随机抽样的科学性，以及由此推断结论的可靠性

【教学过程】

【问题导思】 

1．某月某种商品的销售量、电视剧的收视率等这些数据是如何得到的？

【提示】  一般是从总体中收集部分个体数据得出结论。

2．要判断一锅汤的味道需要把整锅汤都喝完吗？应如何判断？

【提示】  不需要，只要将锅里的汤“搅拌均匀”品尝一小勺就知道汤的味道。

  在抽取样本的过程中，要保证每个个体被抽取到的概率相同。这样的抽样方法叫作简单随机抽样。这是抽样中一个最基本的方法。

简单随机抽样：抽签法、随机数法

【例1】  下面抽取样本的方式是简单随机抽样吗？为什么？

(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。

(2)箱子里共有100个零件，今从中选取10个零件进行检验，在抽样操作时，从中任意地拿出一个零件进行质量检验后再把它放回箱子里。

(3)从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本。

【思路探究】  要判断所给的抽样方式是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的特点。

【自主解答】  (1)不是简单随机抽样。因为被抽取样本的总体的个体数是无限的而不是有限的。

(2)不是简单随机抽样。因为它是放回抽样，简单随机抽样，可分为不放回抽样和放回抽样，而本章定义中规定的是不放回抽样，所以它不是简单随机抽样。

(3)不是简单随机抽样。因为它是一次性抽取，而不是“逐个”抽取。

【规律方法】

简单随机抽样具备以下四个特点：①总体的个体数较少，②逐个抽取，③不放回抽样，④等可能抽样。判断抽样方法是否是简单随机抽样，只需看是否符合上述四个特点，若有一条不符合就不是简单随机抽样。

【变式训练】

下列问题中，最适合用简单随机抽样方法的是(    )

A．某电影院有32排座位，每排40个，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈

B．从10台冰箱中抽取3台进行质量检查

C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人。教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本

D．某乡镇有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，要抽取田地480亩估计全乡田地平均产量

【解析】  根据简单随机抽样的特点进行判断：A的总体容量较大，用简单随机抽样的方法比较麻烦；B的总体容量较小，用简单随机抽样的方法比较简单、方便；C中由于学校各类人员对这一问题的看法的差异可能很大，不宜采用简单随机抽样；D总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不易采用简单随机抽样。

【答案】  B

【例2】  怎样用抽签法从某班50位学生中随机选出5位作为参加校学生会的代表？

【思路探究】  抽签法的执行步骤为：第一步编号，第二步写号签，第三步搅匀，第四步抽取。

【自主解答】  第一步，编号。用正整数1，2，3，…，50来给总体中所有的50个个体编号。

第二步，写号码标签。把号码写在形状、大小相同的号签上，号签形式可不限，如小球、卡片等。

第三步，均匀搅拌。把上述号签放在同一个容器(箱、包、盒等)内进行均匀搅拌。

第四步，抽取。从容器中逐个连续地抽取5次，得到一个容量为5的样本。(如2，41，7，29，18．)

另外如果该班同学已有学号，可以直接利用学号不必再编号，直接从第二步进行。

【规律方法】

1．抽签法的实施步骤是：①编号，②制签，③搅匀，④抽签。

2．一个抽样试验能否用抽签法，关键是看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否容易被搅匀。

【变式训练】

要从10双运动鞋中抽取4双进行质量检验，若用抽签法，怎样设计方案？

【解】  (1)将10双运动鞋编号为0，1，2，…，9；

(2)将号码分别写在相同的十张纸条上，揉成团，制成号签；

(3)将得到的号签放入一个不透明的袋子中并充分搅均；

(4)从袋子中依次抽取4个号签，每次抽取后再次搅匀，并记录上面的编号；

(5)所得号码对应的4双运动鞋就是要抽取的对象。

【例3】  假设我们要检验某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，需从800袋袋装牛奶中抽取50袋进行检验。利用随机数法抽取样本，写出抽样过程。

【思路探究】  已知总体中的个体数为800，是三位数。用随机数法进行抽样时，给总体编号为000，001，…，799，采用教材中表1－2抽取50个不重复且在编号内的三位数，号码对应的个体组成样本。

【自主解答】  第一步：将800袋袋装牛奶编号为000，001，…，799；

第二步：从随机数表中任意一个位置，例如从教材表1－2中第1行的第8列，第9列和第10列开始选数，向右读，抽得第1个样本号码208，依次得到样本号码：026，314，070，243，…，其中超出000～799范围的数和前面已出现的数舍去，一直到选出50个样本号码为止；

第三步：所选出的50个号码对应的50袋袋装牛奶即为所要抽取的样本。

【规律方法】

1．此题中共800个个体，故编号为三位数，然后借助于随机数表进行样本抽取。

2．在用随机数法抽取样本时，应注意以下几点：

(1)编号位数一致，一是为了方便在随机数表中找到，二是要保证每个个体被抽取的概率相等；(2)抽样时所需的随机数表可临时产生，也可以沿用已有的随机数表。

【变式训练】

  欲从某单位45名职工中随机抽取10名职工参加一项社区服务活动，试用随机数法确定这10名职工，请写出抽样过程。现将随机数表部分摘录如下：

16 22 77 94 39  49 54 43 54 82  17 37 93 23 78

87 35 20 96 43  84 42 17 53 31  57 24 55 06 88

77 04 74 47 67  21 76 33 50 25  63 01 63 78 59

16 95 55 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07

【解】  第一步：将45名职工编号为01，02，03，…，44，45；

第二步：从随机数表中任意一个位置，例如从所给数表中第1行的第1列和第2列的数字开始向右读，首先取16，然后取22；77，94大于45，跳过；继续向右读数得到39；49，54大于45，跳过；继续可以得到43，然后同样跳过大于45及与前面重复的数字可以得到17，37，23，35，20，42．

第三步：确定编号为16，17，20，22，23，35，37，39，42，43的10名职工作为参加该项社区服务活动的人选。

1．下列说法正确的是(    )

A．抽签法中可一次抽取两个个体

B．随机数法中每次只取一个个体

C．简单随机抽样是放回抽样

D．抽签法中将号签放入箱子中，可以不搅拌直接抽取

【解析】  由随机数法的特点知，B正确。

【答案】  B

2．下列抽样方法是简单随机抽样的是(    )

A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验

B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验

C．从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性

D．运动员从8个跑道中随机地抽取一个跑道

【解析】  A错在“一次性”抽取；B错在“有放回地”抽取；C错在总体容量无限。

【答案】  D

3．用随机数表法从1 000名学生(男生25人)中抽选20人参加某项运动，某男学生被抽到的概率是________。

【解析】  根据简单随机抽样的特点，每个个体被抽到的概率相同，所以某男生被抽到的概率为＝。

【答案】 

4．现要从20名学生中抽取5名进行问卷调查，写出抽取样本的过程。

【解】  (1)先将20名学生进行编号，从1编到20.(2)把号码写在形状、大小均相同的号签上。(3)将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，力求均匀，然后依次从箱子中抽取5个号签，按这5个号签的号码取出对应的学生，即得样本。

【课堂检测】

一、选择题

1．下列关于简单随机抽样的叙述不正确的是(    )

A．一定要逐个抽取

B．它是一种最简单、最基本的抽样方法

C．总体中的个数必须是有限的

D．先被抽取的个体被抽到的可能性要大

【解析】  由简单随机抽样的特点可以得出判断。A、B、C都正确，并且在抽样过程中，每个个体被抽到的可能性都相等，不分先后。

【答案】  D

2．一个总体中有6个个体，用抽签法从中抽取一个容量为3的样本，某个个体a前两次未被抽到，则第三次被抽到的机会占(    )

A．      B．      C．      D．

【解析】  按照简单随机抽样的特点，每个个体被抽到的机会均等，机率相同，均是＝，所以某个体a尽管前两次未被抽到，但第三次被抽到的机会仍然为。

【答案】  D

3．下面的抽样方法是简单随机抽样的个数是(    )

①某班45名同学，学校指定个子最高的5名同学参加学校的一项活动；

②从20个被生产线连续生产的产品中一次性抽取3个进行质检；

③一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件玩，玩完放回再拿一件，连续玩了5次。

A．1  B．2  C．3  D．0

【解析】  ①不是，因为它不是等可能；②不是，因为它是“一次性”抽取；③不是，因为它是有放回的。

【答案】  D

4．(2013·江西高考)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(    )

A．08  B．07  C．02  D．01

【解析】  由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02，14，07，01，所以第5个个体的编号是01．

【答案】  D

5．从某批零件中抽取50个，然后再从这50个中抽取40个进行合格检查，发现合格产品有36个，则该产品的合格率为(    )

A．36%  B．72%  C．90%  D．25%

【解析】  ×100%＝90%。

【答案】  C

二、填空题

6．一个总体的60个个体编号为00，01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽样取本的号码是________。

95 33 95 22 00  18 74 72 00 18  38 79 58 69 32  81 76 80 26 92

82 80 84 25 39  90 84 60 79 80  24 36 59 87 38  82 07 53 89 35

96 35 23 79 18  05 98 90 07 35  46 40 62 98 80  54 97 20 56 95

15 74 80 08 32  16 64 70 50 80  67 72 16 42 79  20 31 89 03 43

38 46 82 68 72  32 14 82 99 70  80 60 47 18 97  63 49 30 21 30

【解析】  即从18起向右读，可依次得到号码18，00，38，58，32，26，25，39．

【答案】  18，00，38，58，32，26，25，39

7．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样从中抽出一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为________。

【解析】  总体中带有标记的比例是，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为。

【答案】 

8．在下列各种说法中：

①在简单随机抽样中采取有放回抽取个体的方法；

②抽签法抽样时，由于抽签过程中是随机抽取的，所以每次抽取时每个个体不可能有相同的机会被抽到；

③如何抽取样本，直接关系到对总体估计的准确程度，因此抽样时要保证每一个个体都等可能地被抽取到；

④随机数表中每个位置出现各数字的可能性相同，因此随机数表是唯一的；

⑤当总体容量较大时，不可用简单随机抽样的方法来抽取样本。

其中正确的是________。(填上你认为正确结论的所有序号)

【解析】  简单随机抽样是无放回抽样；抽签法中每个个体被抽到的概率相等；随机数表不是唯一的；容量较大时也可采用简单随机抽样，只是工作量很大。所以只有③正确。

【答案】  ③

三、解答题

9．在2013年的高考中，A省有40万名考生，为了估计他们的数学平均成绩，从中逐个抽取2 000名考生的数学成绩作为样本进行统计分析，请回答以下问题：

(1)本题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么？

(2)本题中采用的抽样方法是什么？

(3)假定考生甲参加了这次高考，那么他被选中的可能性有多大？

【解】  (1)总体是指在该年的高考中，A省40万名考生的数学成绩，个体是指在该年的高考中，A省40万名考生中每一名考生的数学成绩，样本是指被抽取的2 000名考生的数学成绩，样本容量是2 000.

(2)采用的抽样方法是简单随机抽样。

(3)甲被选中的可能性为＝。

10.上海某中学从40名学生中选1人作为上海世博会志愿者成员，采用下面两种选法：

法一  将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选；

法二  将39个白球与1个红球混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为志愿者成员。

试问这两种选法是否都是抽签法？为什么？这两种选法有何异同？

【解】  法一是抽签法，选法二不是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而法二中39个白球无法相互区分。这两种选法相同之处在于每名学生被选中的可能性都相等，等于。不同的是选法一简单易行；法二过程比较麻烦，不易操作。

11．某校为了解毕业班阶段复习情况，准备在模拟考试后从参加考试的500名学生的试卷中抽取20名学生的试卷，进行详细的试卷分析，请问选择哪种抽样方法为宜？并设计出具体的操作步骤。

【解】  将500名学生的试卷看成一个总体，从中抽取一个n＝20的样本，宜采用随机数法抽取。

第一步：编号：000，001，002，…，499；

第二步：从随机数表中的某行某列对应数字起，以三个数字为一组，向右连续读取数字，遇到大于499或重复的舍弃，得到20个号码即可。