第七章综合训练

第七章综合训练

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2019北京卷)已知复数z=2+i,则z=(　　)

A. B. C.3 D.5

答案D

解析∵z=2+i,∴=2-i.

∴z=(2+i)(2-i)=5.故选D.

2.(2021安徽舒城校级月考)若i为虚数单位,则在复平面上对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案C

解析∵=-i,∴在复平面上对应的点的坐标为-,-,位于第三象限.故选C.

3.(2019全国Ⅰ卷)设z=,则|z|=(　　)

A.2 B. C. D.1

答案C

解析∵z=,∴z=i,

∴|z|=.故选C.

4.(2021四川郫都期中)复数i+i2+i3+…+i2 021=(　　)

A.i-1 B.i C.-1 D.0

答案B

解析∵i4=1,i2 021=(i4)505·i=i,∴i+i2+i3+…i2 021==i.故选B.

5.(2021全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z=(　　)

A.-1-i B.-1+i

C.-+i D.--i

答案B

解析由题意得z==-1+i.

6.(2021甘肃靖远模拟)设复数z满足|-2i|=3,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)

A.(x-2)2+y2=9 

B.(x+2)2+y2=9

C.x2+(y-2)2=9 

D.x2+(y+2)2=9

答案D

解析因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以=x-yi,故-2i=x+(-y-2)i.因为|-2i|=3,所以=3,化简可得x2+(y+2)2=9.故选D.

7.已知z是复数,且p:z=i;q:z+∈R.则p是q的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析显然,当z=i时,z+i+i+=1∈R,但当z+∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+=a++b-i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=i.故p是q的充分不必要条件,选A.

8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是(　　)

A.3+4i B.4+3i

C.+3i D.3+i

答案B

解析设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是

解得因为13-2x≥0,故x≤,

所以x=不符合要求,故z=4+3i.

二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.

9.(2021湖南模拟)已知复数z=(1+2i)(2-i),为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　　)

A.z的虚部为3i

B.||=5

C.z-4为纯虚数

D.在复平面上对应的点在第四象限

答案BCD

解析因为z=(1+2i)(2-i)=4+3i,所以z的虚部为3,故A错误;由||=|z|==5,故B正确;z-4=3i为纯虚数,故C正确;=4-3i在复平面上对应的点(4,-3)在第四象限,故D正确.故选BCD.

10.已知复数z=a+bi(a,b∈R),且a+b=1,下列说法正确的是(　　)

A.z不可能为纯虚数

B.若z的共轭复数为,且z=,则z是实数

C.若z=|z|,则z是实数

D.|z|可以等于

答案BC

解析当a=0时,b=1,此时z=i为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且z=,则a+bi=a-bi,所以b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=得a2+b2=,又a+b=1,所以8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,无实数解,即|z|不可以等于,D错误.

11.(2021山东德州二模)已知复数z1=(i为虚数单位),下列说法正确的是(　　)

A.z1在复平面上对应的点在第三象限

B.z1的虚部为-1

C.=4

D.满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上

答案AB

解析复数z1==-=-=-1-i.z1在复平面上对应的点(-1,-1)在第三象限,故A正确;z1的虚部为-1,故B正确;(z1)4=(-1-i)4=(2i)2=-4,故C不正确;|z1|=,满足|z|=|z1|的复数z在复平面上对应的点在以原点为圆心,半径为的圆上,故D不正确.故选AB.

12.设f(θ)=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则f2(θ)=cos 2θ+isin 2θ,f3(θ)=cos 3θ+isin 3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于(　　)

A. B. C. D.

答案AC

解析f10(θ)=cos 10θ+isin 10θ,要使f10(θ)为实数,则sin 10θ=0,10θ=kπ(k∈Z),故θ=(k∈Z),当k=1时,θ=,当k=2时,θ=.

三、填空题

13.若=a+bi(i为虚数单位,a,b∈R),则a+b=　　　　　. 

答案2

解析因为=1+i=a+bi,所以a=b=1.故a+b=2.

14.(2021湖南天心校级期中)已知2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,则实数p=　　　　. 

答案12

解析∵2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,∴-2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的另一个根,则(2i-3)+(-2i-3)=-,得p=12.

15.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是　　　　,最大值是　　　　　. 

答案1　

解析由于|z+i|+|z-i|=2,则点Z在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上,|z+1+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.由图知最小值为1,最大值为.

16.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z-1|的取值范围是　　　　. 

答案[3,7]

解析设z=(x,y)(x,y∈R),

∵复数z满足|z+2-4i|=2,

∴=2,

即(x+2)2+(y-4)2=4.

∴z在复平面内对应的点Z的集合是以(-2,4)为圆心,r=2为半径的圆.

|z-1|表示的是点Z与(1,0)之间的距离.

圆心与点(1,0)之间的距离d==5,则|z-1|的取值范围是[d-r,d+r],即[3,7].

四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值.

解设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z,

∴-1-3i+a+bi=0,

即解得

∴z=-4+3i,

∴=3+4i.

18.当实数m为何值或何取值范围时,复数z=+(m2-2m)i为

(1)实数?

(2)虚数?

(3)纯虚数?

解(1)若z为实数,可得解得m=2.

∴当m=2时,z为实数.

(2)z为虚数,则虚部m2-2m≠0,且m≠0,解得m≠2,且m≠0.

∴当m的取值范围为(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)时,z为虚数.

(3)z为纯虚数,则解得m=-3.

∴当m=-3时,z为纯虚数.

19.(2021江苏连云港期末)在①z2=-7-24i,②=(|z|-1)+5i,③z+是实数这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成解答.

已知z是虚数,且　　　　,求|z|. 

解若选择①,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi=-7-24i,

由解得

∴z=-3+4i或z=3-4i,则|z|=5.

若选择②,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),

则=a-bi=(|z|-1)+5i=(-1)+5i,

由解得

∴z=12-5i,则|z|=13.

若选择③,设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则,

∵z+=a+bi+=a++b-i是实数,

∴b-=0.

又b≠0,∴a2+b2=1,则|z|=1.

20.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由.

解△ABC为等腰三角形或直角三角形.

理由如下:因为z1=a+bi,z2=cos A+icos B,所以z1z2=(acos A-bcos B)+i(acos B+bcos A).

又因为z1z2为纯虚数,

所以 ①

由①及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,

即sin 2A=sin 2B.因为A,B为△ABC的内角,

所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.

所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.即A=B或C=.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

21.已知复数z1=m+ni,z2=2-2i和z=x+yi,设z=i-z2,m,n,x,y∈R.若复数z1所对应的点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹C的方程.

解∵z1=m+ni,z2=2-2i,∴z=i-z2=(m-ni)i-(2-2i)=(n-2)+(m+2)i.

∴x+yi=(n-2)+(m+2)i.

∴x=n-2,y=m+2,即n=x+2,m=y-2.

又点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动,

∴x+2=[(y-2)+2]2+,整理上式,得点P(x,y)的轨迹C的方程为y2=2.

22.(2021安徽庐阳校级期中)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-3+i,a∈R.

(1)求z1的共轭复数;

(2)若|z1-z2|<|z1|,求a的取值范围.

解(1)∵(1+i)z1=-1+5i,

∴(1-i)(1+i)z1=(1-i)(-1+5i),

∴2z1=-1+5+6i,

∴z1=2+3i,

∴z1的共轭复数=2-3i.

(2)z1-z2=2+3i-(a-3+i)=5-a+2i,a∈R.

若|z1-z2|<|z1|,则,

化为(a-2)(a-8)<0,

解得2<a<8,

∴a的取值范围为(2,8).