人教版九年级下册26.1.2 反比例函数的图象和性质第2课时教学设计及反思

26.1  反比例函数
26.1.2反比例函数的图象与性质（第2课时）

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中；

2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题．

【过程与方法】

深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法．

【情感态度与价值观】

在参与数学活动的过程中，体会探索创新的乐趣，养成乐于探索的习惯．

二、课型

新授课

三、课时

第2课时 共2课时

四、教学重难点

【教学重点】 

用反比例函数的图象和性质解决数学中的简单问题.

【教学难点】 

数形结合思想在解题中的应用.

五、课前准备 

教师：课件、直尺、三角板等.

学生：直尺、三角板、铅笔.

六、教学过程

（一）导入新课（出示课件2）

教师问：正比例函数和反比例函数的区别是什么？

学生口答后教师整理：

（二）探索新知

知识点1 利用待定系数法确定反比例函数解析式

已知反比例函数的图象经过点A(2，6).

(1)这个函数的图象分布在哪些象限?y随x的增大如何变化?

(2)点B(3，4)、C(）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？（出示课件4、5）

师生共同分析：反比例函数的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号，因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k，这样解析式也就确定了.

解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.

⑵设这个反比例函数为y=，

因为点A(2，6)在其图象上，所以有6=.

解得k=12.

所以反比例函数的解析式为y=.

因为点B，C的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点B，C在这个函数的图象上，点D不在这个函数的图象上.

教师问：已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上?（出示课件6）

学生讨论后，教师总结：

已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在.

出示课件7～9，学生独立思考后自主解答，一生板演后，教师订正.

知识点2 反比例函数的综合性题目

出示课件10、11：如图是反比例函数的图象一支，根据图象回答下列问题：

（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？

（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a′，b′），如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？

学生自主思考后，教师板演：

解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限．

∵函数的图象在第一、第三象限，

∴m－5＞0，

解得m＞5．

（２）∵m－5＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小，

∴当a＞a′时，b＜b′．

教师问：根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围?

学生思考后，教师强调：

由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误.

出示课件12，学生独立思考后口答，教师订正.

知识点3 反比例函数中k的几何意义

出示课件13、14：在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：

学生观察图象，计算并填表.

出示课件15：若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：

教师总结：（出示课件16）

由前面的探究过程，可以猜想：

若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.

出示课件17：教师引导给出证明：

我们就k＜0的情况给出证明：

设点P的坐标为(a，b)，

∵点P(a，b)在函数的图象上，

∴，即ab=k.

若点P在第二象限，则a＜0，b＞0，

∴S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；

若点P在第四象限，则a＞0，b＜0，

∴S矩形 AOBP=PB·PA=a·(－b)=－ab=－k.

综上，S矩形 AOBP=|k|.

出示课件18：师生共同归纳：

对于反比例函数，

点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.

推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是：.

出示课件19，学生独立思考后口答，教师订正.

考点1 通过图形面积确定k的值（出示课件20）

例 如图，点A在反比例函数的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．

师生共同分析后教师板演：

解：设点A的坐标为(xA，yA)，

∵点A在反比例函数的图象上，

∴xA·yA＝k，，

∴k＝4，

∴反比例函数的表达式为.

出示课件21，学生独立思考后口答，教师订正.

考点2 利用k的性质判断图形面积的关系（出示课件22）

例 如图，P，C是函数(x＞0)图象上的任意两点，PA，CD垂直于x轴.设△POA的面积为S1，则S1=________；梯形CEAD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1________S2；△POE的面积S3和S2的大小关系是S2________ S3.

师生共同分析后解答.

出示课件23，学生独立思考后口答，教师订正.

考点3 根据k的几何意义求图形的面积（出示课件24）

例 如图，点A是反比例函数(x＞0)的图象上任意一点，AB//x轴交反比例函数(x＜0)的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中点C，D在x轴上，则S四边形ABCD=___.

师生共同分析后解答.

出示课件25，学生独立思考后口答，教师订正.

知识点4 一次函数与反比例函数的组合图形（出示课件26～27）

教师问：在同一坐标系中，函数和y=k2x+b的图象大致如下，则k1、k2、b各应满足什么条件？

学生小组讨论后，教师订正.

考点1 根据k的值识别函数的图形（出示课件28）

例 函数y=kx－k与（k≠0）的图象大致是(    )

师生共同分析后解答.

出示课件29，学生独立思考后口答，教师订正.

考点2通过函数图形确定字母的取值范围（出示课件30）

例 如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围为_______.

师生共同分析：y1＞y2即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察图形，可知－2＜x＜0或x＞3.

教师强调：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.

出示课件31，学生独立思考后口答，教师订正.

考点3 利用函数的交点解答问题（出示课件32～33）

例 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.

师生共同分析后一生板演，教师订正.

解：设y=k1x和.

由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P的坐标分别满足这两个解析式.

所以，.

解得，.

则这两个函数的解析式分别为和，

它们的图象如图所示.

教师问：这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？

学生小组讨论后口答.

出示课件34，学生独立思考后一生板演，教师订正.

（三）课堂练习（出示课件35-44）

引导学生练习35-44页题目，约用时20分钟。

（四）课堂小结（出示课件45）

本节课你有哪些收获？你还有什么困惑吗？（引导学生思考答复）

师生一起提炼本节课的重要知识和必须掌握的技能：

若点P是图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.

（五）课前预习

预习下节课（26.2第1课时）的相关内容.

能应用反比例函数的图象及性质解决简单的实际问题.

七、课后作业

教材第8页练习第1,2题.

八、板书设计

26.1.2 反比例函数的图象和性质（第2课时）

1.面积不变性

2.反比例函数与一次函数的综合问题

九、教学反思

本节课结合面积、函数等相关知识点去拓展应用，从而更好的理解反比例函数，并且会应用函数图像解决一些问题，渗透数形结合的思想.课堂上充分留给学生动脑、动手、动口的机会，让每个学生都有进步的机会和展示自己的舞台.