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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质一课一练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质一课一练，文件包含专题32函数基本性质解析版docx、专题32函数基本性质原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
专题3.2 函数的基本性质
知识点一：函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数的定义域为A，区间
如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是增函数.
如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是减函数.
知识点诠释：
(1)属于定义域A内某个区间上；
(2)任意两个自变量且；
(3)都有；
(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
知识点诠释：
①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
3.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
4.函数单调性的判断方法
(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。
(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。
(3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。
(4)记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
5．复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性。一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数。
列表如下：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减。
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间。
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数。
知识点诠释：
（1）单调区间必须在定义域内；
（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性。
（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数。
6．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值。常用到下面的结论：
（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值。
（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值。
若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值。
（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是。
（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是。
7．利用函数单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解。
（1）在上恒成立在上的最大值。
（2）在上恒成立在上的最小值。
实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题。
知识点二：基本初等函数的单调性
1．正比例函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
2．一次函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
3．反比例函数
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.
4．二次函数
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
知识点三：函数的最大值
(1)定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
①，都有；
②，使得.
那么，称M是函数的最大值．
(2)几何意义：函数的最大值是图象最高点的纵坐标．
知识点四：函数的最小值
(1)定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
①，都有；
②，使得.
那么，称M是函数的最小值．
(2)几何意义：函数的最小值是图象最低点的纵坐标．
知识点五：函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数.
知识点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）的等价形式为：，
的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；
（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
知识点六：判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
知识点七：关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间和上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间和上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是减函数（增函数）.
题型一：函数单调区间的确定
1．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为定义域为，函数在和上单调递减，故函数的单调递减区间为和；故选：A
2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的单调递增区间是，依题意，，
所以，即实数的取值范围是.故选：D
3．已知函数对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】山东省潍坊市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】由题可得，函数为单调递减函数，
当时，若单减，则对称轴，得：,
当时，若单减，则，在分界点处，应满足，即，
综上： 故选：B
4．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省凉山州2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C【解析】因为，所以由
，
构造函数，由，
因为，所以函数是上的增函数，
当时，函数是上的增函数，符合题意；
当时，函数的对称轴为：，
当时，显然函数是上的增函数，符合题意；
当时，要想函数是上的增函数，只需，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围是，故选：C
5．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安高新第一中学2021-2022学年高一下学期月考2数学试题
【答案】C
画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，由可得；由可得，综上可得.故选：C.
6．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省咸阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
7．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数．
(1)若函数的值域为，求a的取值集合；
(2)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵函数的值域为，∴，
解得；
(2)由题意可知
对于函数在上是减函数，∴，
函数图象开口向上，对称轴为直线．
①当时，函数在上为增函数，，
∴此时；
②当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
∴此时；
③当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
∴此时；
④当时，函数在上是减函数，∴，
∴此时；综上所述，实数a的取值范围是．
题型二：利用函数单调性求最值、求参数
1．（2022·辽宁·高一期末）已知函数，则的最小值（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】对于函数，
任取，，
其中，所以，
所以在上递增.
，
令，
则，
由于在上递增，
当时有最小值为，
所以的最小值为.
故选：A
2．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】时，满足题意；
时，，解得，
综上，故答案为：．
3．（2022·浙江浙江·高一期中）若函数在区间上是单调函数，则实数t的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，
时，时，，满足题意，
时，时，，单调，则
，，
时，时，，单调，则
，，
时，，
，因此在是单调递增，
要使得在上单调，则在上是增函数，
因此，即，无解，
综上，的范围是．
故答案为：．
4．（2022·湖北·黄石一中高一期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】当时，在上单调递增，故在区间上单调递增，不合题意；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，；
综上，实数的取值范围为.故答案为：.
5．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
6．（2022·重庆·高一期末）设函数，其中.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若，求函数的最大值.
【答案】(1)1和(2)答案见解析
【解析】(1)当时，
当时，由得；
当时，由得（舍去）
当时，函数的零点为1和
(2)①当时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递减
②当即时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递增
③当时，
在上递增，在上的最大值为
当时在递增，在上递减，
在上的最大值为
，当时
当时在上递增，
在上的最大值为
，当时
综上所述：
当时，
当时，
当时，
当时，
7．（2022·江西·临川一中高一阶段练习）已知函数，．
(1)若的值域为，求a的值．
(2)证明：对任意，总存在，使得成立．
【答案】(1)2(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为的值域为，所以，解得．
(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以．
设在上的值域为M，
当，即时，在上单调递增，因为，，所以；
当，即时，在上单调递减，因为，，所以；
当，即时，，，所以；
综上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立，
所以对任意总存在，使得成立.
题型三：利用函数奇偶性求值、求表达式、求参数
1．（江苏省徐州市第三十六中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以，
又为奇函数，所以，
所以当时，.故选：B.
2．（陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高二下学期期末数学（文）试题）已知是上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，设，则，则，
因为函数为上的奇函数，则，
得，
即当时，.
故选：B.
3．（河南省林州市2021-2022学年高一上学期期末考试理科数学试题）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】时，，是奇函数，此时
故答案为：
4．（四川省攀枝花市第七高级中学校2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】(1)
解：因为函数，恒成立，
所以，则，
此时，所以，
解得，所以；
(2)证明：设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数是增函数．
(3)，，是定义在上的增函数，，得，所以不等式的解集为．
题型四：函数单调性与奇偶性的综合问题
经典例题：
1．下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
【来源】2.4.4 函数的奇偶性 （分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接
【答案】B
【解析】
奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，
如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误．
故选：B
2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意得：
对于选项A：函数是偶函数，故不符合题意；
对于选项B：函数是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；
对于选项C：函数是非奇非偶函数，故不符合题意；
对于选项D：根据幂函数的性质可知函数是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合题意；
故选：B
3．已知函数是偶函数，的图象关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考理科数学试题
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，
向左平移两个单位可得的图象关于直线对称.
故选：A
4．若偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】为偶函数，；
在上是减函数，，
即.
故选：B.
5．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【解析】A选项：设，，则为偶函数，A错误；
B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；
C选项：设，则，则为奇函数，C正确；
D选项：设，则，则为偶函数，D错误．
故选：C.
6．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，则，
则，即，
所以，即，则，
所以的周期是4.
故选：C.
7．已知函数的定义域是R，为偶函数，，成立，，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【来源】安徽省池州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以，则，
所以，则，
所以，所以是周期为4的函数，
因为，，
所以.
故选：C.
8．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】安徽省阜阳市界首中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：由题得.
因为在上单调递减，并且，
所以，所以或.
故选：D
9．已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【来源】河北省秦皇岛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】因为为偶函数，所以，解得.
在上单调递减，且.
因为，所以，解得或.
故选：D
10．设奇函数在上是增函数，．若函数对所有的都成立，则当时，t的取值范围是（ ）
A． B．
C．，或，或 D．，或，或
【来源】陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】C
【解析】因奇函数在上是增函数，，则，
依题意，，恒成立，
则有，解得或或，
所以t的取值范围是或或.
故选：C
11．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：由题可知，在区间上单调递减，
又为奇函数，则，且，故，
设，则，故为偶函数，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，所以的解集为，
即的解集为.
故选：D.
12．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】北京一零一中学2021-2022 学年高一下学期期末考试数学模拟试题（一）
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
二、多选题
13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
【来源】广东省深圳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】ACD
【解析】：函数是定义在上的偶函数，当时，，
设，则，所以，因为是偶函数，所以，
所以，所以，
函数图象如下所示：
可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；
在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；
由，，即存在实数满足，故D正确；
故选：ACD．
14．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A．图象关于直线对称 B．
C．的最小正周期为4 D．对任意都有
【来源】湖南省邵阳市第二中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】ABD
【解析】由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，A、D正确，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期为4，则，B正确；
但不能说明最小正周期为4，C错误；
故选：ABD
四、解答题
15．已知函数对任意，都有，且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1)证明见解析(2)(3)详见解析
【解析】(1)依题意，且时，，
令，则，
，
任取，
，
由于，所以，
所以，所以在上递增.
(2)
由（1）知，在上递增，
，
.
(3)
依题意，在上递增，.
，，
，
当时，不等式的解集为空集.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
16．已知函数，（）．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．
【来源】北京市朝阳区2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1)或(2)(3)
(1)当时，由得，
即，解得或．
所以不等式的解集为或．
(2)由得，
即不等式的解集是．
所以，解得．
所以的取值范围是．
(3)当时，．
又．
①当，即时，
对任意，．
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，．
所以2
对任意，．
所以此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
一、单选题
1．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数是奇函数，在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（ ）
A． B． C． D．
5．若定义在上的函数满足，函数在上单调递减且，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数对任意，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
9．已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，不等式恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．在是增函数 B．在是增函数
C．不等式的解集为 D．函数只有一个零点
10．已知定义域为的偶函数在上单调递减，且，则满足的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数是单调增函数
B．函数的值域为
C．函数为偶函数
D．函数的定义域为
13．若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
14．函数是定义在上的奇函数，下列说法①；
②若在上有最小值，则在上有最大值；
③若在上为增函数，则在上为减函数．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
15．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则（ ）
A． B．当时，单调递减
C．当时， D．，
18．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（ ）
A．为奇函数 B．周期为2
C． D．是奇函数
19．已知定义在R上的偶函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．4是函数的一个周期
B．直线，是函数的一条对称轴
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上有26个零点
20．若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数图象关于点对称 B．函数的周期为1
C． D．
21．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（ ）
A．的最小值为-1
B．在上单调递减
C．的解集为
D．存在实数x满足
22．已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（ ）
A． B．函数为周期函数
C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象既有对称轴又有对称中心
三、填空题
23．已知定义在R上的函数满足：函数的图象关于点中心对称，函数是偶函数，且，则_________.
24．对，函数满足，.当时，.设，，，则，，的大小关系为____________
25．函数，若，则实数m的取值范围是____________．
26． 已知函数，若是的最大值，则实数t的取值范围是______．
27．已知定义在上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为___________.
四、解答题
28．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
29．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
30．已知函数
(1)证明：为偶函数；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
31．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.
32．已知定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
33．已知函数为定义在上的奇函数．
(1)若当时，，求在上的解析式；
(2)若在上单调递增，，且，求实数m的取值范围．．
34．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
专题3.2 函数的基本性质
知识点一：函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数的定义域为A，区间
如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是增函数.
如果对于内的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在区间上是减函数.
知识点诠释：
(1)属于定义域A内某个区间上；
(2)任意两个自变量且；
(3)都有；
(4)图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
知识点诠释：
①单调区间与定义域的关系：单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
3.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
4.函数单调性的判断方法
(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断。
(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性。
(3)直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间。
(4)记住几条常用的结论
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
5．复合函数单调性的判断
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性。一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
（1）若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
（2）若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数。
列表如下：
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减。
因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：
（1）将复合函数分解成基本初等函数：，；
（2）分别确定各个函数的定义域；
（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间。
若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则为增函数；若为一增一减或一减一增，则为减函数。
知识点诠释：
（1）单调区间必须在定义域内；
（2）要确定内层函数的值域，否则就无法确定的单调性。
（3）若，且在定义域上是增函数，则都是增函数。
6．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值。常用到下面的结论：
（1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值。
（2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值。
若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值。
（3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是。
（4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是。
7．利用函数单调性求参数的范围
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解。
（1）在上恒成立在上的最大值。
（2）在上恒成立在上的最小值。
实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题。
知识点二：基本初等函数的单调性
1．正比例函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
2．一次函数
当k>0时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数.
3．反比例函数
当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间；
当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间.
4．二次函数
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
知识点三：函数的最大值
(1)定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
①，都有；
②，使得.
那么，称M是函数的最大值．
(2)几何意义：函数的最大值是图象最高点的纵坐标．
知识点四：函数的最小值
(1)定义：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
①，都有；
②，使得.
那么，称M是函数的最小值．
(2)几何意义：函数的最小值是图象最低点的纵坐标．
知识点五：函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数.
知识点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）的等价形式为：，
的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；
（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；
若=，则是偶函数；
若，则既不是奇函数，也不是偶函数；
若且，则既是奇函数，又是偶函数
知识点六：判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
知识点七：关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间和上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间和上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间上是增函数（减函数），则在区间上也是减函数（增函数）.
题型一：函数单调区间的确定
1．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为定义域为，函数在和上单调递减，故函数的单调递减区间为和；故选：A
2．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的单调递增区间是，依题意，，
所以，即实数的取值范围是.故选：D
3．已知函数对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】山东省潍坊市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】由题可得，函数为单调递减函数，
当时，若单减，则对称轴，得：,
当时，若单减，则，在分界点处，应满足，即，
综上： 故选：B
4．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省凉山州2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题
【答案】C【解析】因为，所以由
，
构造函数，由，
因为，所以函数是上的增函数，
当时，函数是上的增函数，符合题意；
当时，函数的对称轴为：，
当时，显然函数是上的增函数，符合题意；
当时，要想函数是上的增函数，只需，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围是，故选：C
5．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安高新第一中学2021-2022学年高一下学期月考2数学试题
【答案】C
画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，由可得；由可得，综上可得.故选：C.
6．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省咸阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】B
【解析】函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
7．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数．
(1)若函数的值域为，求a的取值集合；
(2)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵函数的值域为，∴，
解得；
(2)由题意可知
对于函数在上是减函数，∴，
函数图象开口向上，对称轴为直线．
①当时，函数在上为增函数，，
∴此时；
②当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
∴此时；
③当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
∴此时；
④当时，函数在上是减函数，∴，
∴此时；综上所述，实数a的取值范围是．
题型二：利用函数单调性求最值、求参数
1．（2022·辽宁·高一期末）已知函数，则的最小值（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】对于函数，
任取，，
其中，所以，
所以在上递增.
，
令，
则，
由于在上递增，
当时有最小值为，
所以的最小值为.
故选：A
2．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】时，满足题意；
时，，解得，
综上，故答案为：．
3．（2022·浙江浙江·高一期中）若函数在区间上是单调函数，则实数t的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，
时，时，，满足题意，
时，时，，单调，则
，，
时，时，，单调，则
，，
时，，
，因此在是单调递增，
要使得在上单调，则在上是增函数，
因此，即，无解，
综上，的范围是．
故答案为：．
4．（2022·湖北·黄石一中高一期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】当时，在上单调递增，故在区间上单调递增，不合题意；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，若在区间上单调递减，则，；
综上，实数的取值范围为.故答案为：.
5．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
6．（2022·重庆·高一期末）设函数，其中.
(1)当时，求函数的零点；
(2)若，求函数的最大值.
【答案】(1)1和(2)答案见解析
【解析】(1)当时，
当时，由得；
当时，由得（舍去）
当时，函数的零点为1和
(2)①当时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递减
②当即时，，，
由二次函数的单调性可知在上单调递增
③当时，
在上递增，在上的最大值为
当时在递增，在上递减，
在上的最大值为
，当时
当时在上递增，
在上的最大值为
，当时
综上所述：
当时，
当时，
当时，
当时，
7．（2022·江西·临川一中高一阶段练习）已知函数，．
(1)若的值域为，求a的值．
(2)证明：对任意，总存在，使得成立．
【答案】(1)2(2)证明见解析
【解析】(1)解：因为的值域为，所以，解得．
(2)证明：由题意，根据对勾函数的单调性可得在上单调递增，所以．
设在上的值域为M，
当，即时，在上单调递增，因为，，所以；
当，即时，在上单调递减，因为，，所以；
当，即时，，，所以；
综上，恒成立，即在上的值域是在上值域的子集恒成立，
所以对任意总存在，使得成立.
题型三：利用函数奇偶性求值、求表达式、求参数
1．（江苏省徐州市第三十六中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题）设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以，
又为奇函数，所以，
所以当时，.故选：B.
2．（陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高二下学期期末数学（文）试题）已知是上的奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】由题意，设，则，则，
因为函数为上的奇函数，则，
得，
即当时，.
故选：B.
3．（河南省林州市2021-2022学年高一上学期期末考试理科数学试题）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】时，，是奇函数，此时
故答案为：
4．（四川省攀枝花市第七高级中学校2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】(1)
解：因为函数，恒成立，
所以，则，
此时，所以，
解得，所以；
(2)证明：设，
则，
，
，且，则，
则，即，
所以函数是增函数．
(3)，，是定义在上的增函数，，得，所以不等式的解集为．
题型四：函数单调性与奇偶性的综合问题
经典例题：
1．下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
【来源】2.4.4 函数的奇偶性 （分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接
【答案】B
【解析】
奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，
如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误．
故选：B
2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：由题意得：
对于选项A：函数是偶函数，故不符合题意；
对于选项B：函数是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；
对于选项C：函数是非奇非偶函数，故不符合题意；
对于选项D：根据幂函数的性质可知函数是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合题意；
故选：B
3．已知函数是偶函数，的图象关于直线l对称，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考理科数学试题
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称，
向左平移两个单位可得的图象关于直线对称.
故选：A
4．若偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】为偶函数，；
在上是减函数，，
即.
故选：B.
5．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【解析】A选项：设，，则为偶函数，A错误；
B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；
C选项：设，则，则为奇函数，C正确；
D选项：设，则，则为偶函数，D错误．
故选：C.
6．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（ ）
A． B． C． D．
【来源】陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，则，
则，即，
所以，即，则，
所以的周期是4.
故选：C.
7．已知函数的定义域是R，为偶函数，，成立，，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【来源】安徽省池州市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以，则，
所以，则，
所以，所以是周期为4的函数，
因为，，
所以.
故选：C.
8．已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】安徽省阜阳市界首中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：由题得.
因为在上单调递减，并且，
所以，所以或.
故选：D
9．已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【来源】河北省秦皇岛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】因为为偶函数，所以，解得.
在上单调递减，且.
因为，所以，解得或.
故选：D
10．设奇函数在上是增函数，．若函数对所有的都成立，则当时，t的取值范围是（ ）
A． B．
C．，或，或 D．，或，或
【来源】陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题
【答案】C
【解析】因奇函数在上是增函数，，则，
依题意，，恒成立，
则有，解得或或，
所以t的取值范围是或或.
故选：C
11．已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数，且，不等式恒成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】D
【解析】：由题可知，在区间上单调递减，
又为奇函数，则，且，故，
设，则，故为偶函数，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，所以的解集为，
即的解集为.
故选：D.
12．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【来源】北京一零一中学2021-2022 学年高一下学期期末考试数学模拟试题（一）
【答案】D
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
二、多选题
13．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
【来源】广东省深圳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】ACD
【解析】：函数是定义在上的偶函数，当时，，
设，则，所以，因为是偶函数，所以，
所以，所以，
函数图象如下所示：
可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；
在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；
由，，即存在实数满足，故D正确；
故选：ACD．
14．已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（ ）
A．图象关于直线对称 B．
C．的最小正周期为4 D．对任意都有
【来源】湖南省邵阳市第二中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
【答案】ABD
【解析】由的对称中心为，对称轴为，
则也关于直线对称且，A、D正确，
由A分析知：，故，
所以，
所以的周期为4，则，B正确；
但不能说明最小正周期为4，C错误；
故选：ABD
四、解答题
15．已知函数对任意，都有，且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值；
(3)在（2）的条件下，已知，解关于x的不等式．
【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1)证明见解析(2)(3)详见解析
【解析】(1)依题意，且时，，
令，则，
，
任取，
，
由于，所以，
所以，所以在上递增.
(2)
由（1）知，在上递增，
，
.
(3)
依题意，在上递增，.
，，
，
当时，不等式的解集为空集.
当时，不等式的解集为.
当时，不等式的解集为.
16．已知函数，（）．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．
【来源】北京市朝阳区2021-2022学年高一上学期期末数学试题
【答案】(1)或(2)(3)
(1)当时，由得，
即，解得或．
所以不等式的解集为或．
(2)由得，
即不等式的解集是．
所以，解得．
所以的取值范围是．
(3)当时，．
又．
①当，即时，
对任意，．
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，．
所以2
对任意，．
所以此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
一、单选题
1．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设函数是奇函数，在内是增函数，又，则的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则函数的周期是（ ）
A． B． C． D．
5．若定义在上的函数满足，函数在上单调递减且，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数对任意，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
9．已知是定义域为的奇函数，函数，，当时，不等式恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．在是增函数 B．在是增函数
C．不等式的解集为 D．函数只有一个零点
10．已知定义域为的偶函数在上单调递减，且，则满足的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数是单调增函数
B．函数的值域为
C．函数为偶函数
D．函数的定义域为
13．若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
14．函数是定义在上的奇函数，下列说法①；
②若在上有最小值，则在上有最大值；
③若在上为增函数，则在上为减函数．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
15．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则（ ）
A． B．当时，单调递减
C．当时， D．，
18．已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（ ）
A．为奇函数 B．周期为2
C． D．是奇函数
19．已知定义在R上的偶函数满足，且在区间[0，2]上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．4是函数的一个周期
B．直线，是函数的一条对称轴
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上有26个零点
20．若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数图象关于点对称 B．函数的周期为1
C． D．
21．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则（ ）
A．的最小值为-1
B．在上单调递减
C．的解集为
D．存在实数x满足
22．已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（ ）
A． B．函数为周期函数
C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象既有对称轴又有对称中心
三、填空题
23．已知定义在R上的函数满足：函数的图象关于点中心对称，函数是偶函数，且，则_________.
24．对，函数满足，.当时，.设，，，则，，的大小关系为____________
25．函数，若，则实数m的取值范围是____________．
26． 已知函数，若是的最大值，则实数t的取值范围是______．
27．已知定义在上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为___________.
四、解答题
28．定义在上的函数满足下面三个条件：
① 对任意正数，都有；② 当时，；③
(1)求和的值；
(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；
(3)求满足的的取值集合．
29．已知函数.
(1)求函数的解析式；
(2)设，若存在使成立，求实数的取值范围.
30．已知函数
(1)证明：为偶函数；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
31．已知函数的定义域为，且对一切，，都有，当时，总有.
(1)求的值；
(2)证明：是定义域上的减函数；
(3)若，解不等式.
32．已知定义在R上的偶函数，当时，．
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
33．已知函数为定义在上的奇函数．
(1)若当时，，求在上的解析式；
(2)若在上单调递增，，且，求实数m的取值范围．．
34．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
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