高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法教学设计

第二章  等式与不等式

2.2.3 一元二次不等式的解法教学设计

教材分析

本节内容为一元二次不等式的解法。教材主要给出了因式分解法、配方法。

教学目标：

1.使学生会用因式分解和配方法解一元二次不等式;

2.使学生会运用转化的方法解简单分式不等式;

3.向学生渗透化归和转化的数学思想方法;

4.培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养.

【教学重点】

1.掌握用因式分解法解决一元二次不等式.

2.掌握用配方法解决一元二次不等式.

【教学难点】

1.对特殊的一元二次不等式进行变形

回顾所学的一元二次方程的解法。

教学过程

【情境与问题】

不难看出，要判断甲、乙两车是否超速，就是要得到它们车速的取值范围，也就是要解不等式

即

一般地，形如ax2+bx+c>0

的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等

如何求一个一元二次不等式的解集呢？

让我们从简单的一元二次不等式开始探讨.首先来看一元二次不等式

x（x一1）>0.              ①

【尝试与发现】

注意到只有两个同号的数相乘，结果才能是正数，也就是说，ab>0当且仅当

a>0， 或   a<0，

b>0       b<0.

因此，不等式①可以转化为两个不等式组

x>0，      或     x<0，

x-1>0             x-1<0.

解得x>1或x<0，因此，不等式①的解集为

（一∞，0）∪（1，+∞）.

用类似的方法可以求得不等式

（x+1）（x-1）<0            ②

的解，但此时的依据是：ab<0当且仅当

a<0， 或   a＞0

b>0        b＜0

因为不等式②可以转化为两个不等式组

x+1<0， 或  x+1>0，

x-1>0       x-1<0.

不难解得x∈∅或-1＜x＜1，因此不等式②的解集为

                            （-1，1）

一般地，如果x1<x2，则不等式（x-x1）（x-x2）<0的解集是

（x1，x2），

不等式（x-x1）(x-x2)>0的解集是（一∞，x1）∪（x2，+∞）

【典型例题】

例1   求不等式x2-x-2>0的解集.

解  因为

x2-x-2=（x+1）（x-2），

所以原不等式等价于（x+1）（x-2）>0，因此所求解集为

（一∞，一1）U（2，+∞）.

回到情境与问题中的不等式，v2-10v-600>0可以化为

（v+20）（v-30）>0，

因此甲车的车速v>30；而v2-10v-2000>0可以化为

（v+40）（v-50）>0，

因此乙车的车速v＞50.由此可见，乙车肯定超速了.

上述我们介绍的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解.当然，这种方法只有在一元二次不等式是特殊类型时才比较方便，那么一般情况该怎么办呢？

【尝试与发现】

因为任何一个实数的平方一定是一个非负数，因此上述尝试与发现中（1）的解集为∅，（2）的解集为R

对于x2<9.来说，两边同时开根号可得，即

|x|<3，

因此-3<x<3，从而得到（3）的解集为（-3，3）.

这就是说，一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集.

例2 求下列不等式的解集：

（1）x2+4x+1≥0；（2）x2-6x-1≤0；

（3）-x2+2x-1<0；（4）2x2+4x+5>0.

解（1）因为

x2+4x+1=x2+4x+4-4+1=（x+2)2-3，

所以原不等式可化为（x+2)2-3≥0，即

（x+2)2≥3，

两边开平方得|x+2|≥，从而可知

x+2≤ -或x+2≥，

因此x≤ -2-或x≥-2+，所以原不等式的解集为

（一∞，-2-]∪[-2+，+∞）.

（2）因为

x2-6x-1=x2-6x+9-9-1=(x-3)2-10，

所以原不等式可化为(x-3)2-10≤0，即

(x-3)2≤10，

两边开平方得|x-3|≤，从而可知

-≤ x-3 ≤，

因此3-≤x≤3+，所以原不等式的解集为

[3-，3+].

（3）原不等式可化为

x2-2x+1>0，

又因为x2-2x+1=（x-1)2，所以上述不等式可化为

（x-1)2>0.

注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集为

（一∞，1）U（1，+∞）.

（4）原不等式可以化为

因为

所以原不等式可以化为       

即

不难看出，这个不等式恒成立，即原不等式的解集为R.

由上可知，一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）通过配方总是可以变为

(x-h)2>k或(x-h)2<k

的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集。

例3 求不等式          的解集.

解  由题意知x-2≠0，因此（x-2)2>0，原不等式两边同时乘以(x-2)2可得

(2x+1)(x-2)≥(x-2)2且x-2≠0，

即(x+3)(x-2)≥0且x≠2，因此所求不等式的解集为

（-∞，-3]U（2，+∞）.

例3说明，有些不等式通过变形之后，可以借助于一元二次不等式的解法来解，请读者自行总结其中的规律。

教学反思

本节内容需要学生掌握因式分解法、配方法，对学生的运算能力有一定要求。