高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法导学案及答案

2.2.3　一元二次不等式的解法

素养目标·定方向

必备知识·探新知

基础知识　　

1．一元二次不等式的概念

一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．

思考1：不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？

提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式．

2．一元二次不等式的解法

(1)因式分解法

如果x1<x2，则不等式__(x－x1)(x－x2)<0__的解集是(x1，x2)；不等式__(x－x1)(x－x2)>0__的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)．

(2)配方法：

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为__(x－h)2>k或(x－h)2<k__的形式，再由k值情况，可得原不等式的解集，如下表：

思考2：用配方法解一元二次不等式的关键是什么？

提示：用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．

基础自测　　

1．不等式6－x－2x2<0的解集是(　D　)

A．{x|－<x<2}　 B．{x|－2<x<}

C．{x|x<－或x>2}　 D．{x|x>或x<－2}

解析：不等式变形为2x2＋x－6>0，即(2x－3)(x＋2)>0，∴不等式的解集为{x|x<－2或x>}．故选D．

2．不等式≥0的解集是(　B　)

A．{x|－≤x≤}　 B．{x|－≤x<}

C．{x|x>或x≤－}　 D．{x|x≥或x≤－}

解析：原不等式可化为

解得－≤x<，

故其解集为{x|－≤x<}．故选B．

3．①x2＋x＋1<0，②－x2－4x＋5≤0，③x＋y2＋1>0，④mx2－5x＋1>0，⑤－x3＋5x≥0，⑥(a2＋1)x2＋bx＋c>0(m，n∈R)．其中关于x的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(请把正确的序号都填上)

解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x2的系数含有字母，但a2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥.

4．不等式组0≤x2－2x－3<5的解集为__(－2，－1]∪[3,4)__.

解析：由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；

由x2－2x－3<5得－2<x<4.∴－2<x≤－1或3≤x<4.

∴原不等式的解集为(－2，－1]∪[3,4)．

5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，则k的取值范围是__(2,4)__.

解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，把x＝1代入不等式，得k2－6k＋8<0，解得2<k<4.

关键能力·攻重难

类型　解不含参数的一元二次不等式

┃┃典例剖析__■

典例1　解下列不等式：

(1)x2＋x＋1>0；

(2)(3x－1)(x＋1)>4.

思路探究：(1)用配方法解不等式即可；(2)利用因式分解法求解．

解析：(1)由题意，可得x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，

所以不等式的解集为R.

(2)由不等式(3x－1)(x＋1)>4，可化为3x2＋2x－5>0，即(x－1)(x＋)>0，

所以不等式的解集为{x|x<－或x>1}．

归纳提升：一元二次不等式的解题策略

1．因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适应于解决一类特殊的不等式．

2．配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总可以化为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集．

┃┃对点训练__■

1．解下列不等式：

(1)2x2＋5x－3<0；(2)4x2－12x＋9>0.

解析：(1)原不等式可化为(2x－1)(x＋3)<0，

∴原不等式的解集为(－3，)．

(2)原不等式可化为x2－3x＋>0，

因为x2－3x＋＝(x－)2，

所以原不等式可化为(x－)2>0，

所以只要x≠，不等式即成立，

所以原不等式的解集为(－∞，)∪(，＋∞)．

类型　分式不等式的解法

┃┃典例剖析__■

典例2　解下列不等式：

(1)≥0；(2)>1.

思路探究：(1)解分式不等式的关键是把分式不等式等价转化为整式不等式求解，特别注意不能直接去分母．(2)当分式不等式的右边不为0时，要先移项、通分、合并同类项，再进行等价转化．

解析：(1)∵≥0，∴

∴即x<－或x≥.

∴原不等式的解集为{x|x<－或x≥}．

(2)原不等式可化为>0，

即<0，

∴(2x＋1)(x＋3)<0，∴－3<x<－.

∴原不等式的解集为{x|－3<x<－}．

归纳提升：解分式不等式的关注点

(1)根据是实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下：

①>0⇔f(x)g(x)>0；

②<0⇔f(x)g(x)<0；

③≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0；

④≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)<0或f(x)＝0.

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为用上述方法求解．

┃┃对点训练__■

2．(1)已知集合A＝{x|≤0}，B＝{0,1,2,3}，则A∩B＝(　A　)

A．{1,2}　 B．{0,1,2}

C．{1}　 D．{1,2,3}

(2)若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集为__(－∞，－1)∪(3，＋∞)__.

解析：(1)由已知得A＝{x|0<x≤2}，

又B＝{0,1,2,3}，∴A∩B＝{1,2}．

(2)由ax－b>0的解集为(1，＋∞)可得＝1，且a>0，

∴>0可化为>0.

解得x<－1或x>3.

类型　—元二次不等式与一元二次方程之间的关系

┃┃典例剖析__■

典例3　不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a>0的解集为(　A　)

A．{x|x<－1或x>}　 B．{x|－1<x<}

C．{x|－2<x<1}　 D．{x|x<－2或x>1}

思路探究：解答本题需从一元二次不等式的解集与不等式对应的一元二次方程根的情况的关系着手．

解析：方法一：由题设条件知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个实根．

由一元二次方程根与系数的关系，

知解得

则2x2＋x－1>0的解集是{x|x<－1或x>}．

方法二：由题设条件知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个实根．

分别把x＝－1，x＝2代入方程ax2＋bx＋2＝0中，

得解得

则2x2＋x－1>0的解集是{x|x<－1或x>}．

归纳提升：已知一元二次不等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集，则可知a的符号和ax2＋bx＋c＝0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系．

例如，若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|d<x<e}(d<e)，则说明a<0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝；若解集为{x|x<d或x>e}(d<e)，则说明a>0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝.

┃┃对点训练__■

3．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　A　)

A．　 B．　　

C．　 D．

解析：方法一：x2－2ax－8a2<0可化为(x＋2a)(x－4a)<0.∵a>0且解集为(x1，x2)，则x1＝－2a，x2＝4a，∴x2－x1＝6a＝15，故a＝.

方法二：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，结合a>0得a＝.

易混易错警示　忽略二次项系数为负

┃┃典例剖析__■

典例4　求一元二次不等式－x2＋5x－4>0的解集．

错因探究：解一元二次不等式时易忽略二次项系数的符号，特别是当二次项系数为负数，利用因式分解法解不等式时，容易写错解集．

解析：原不等式等价于x2－5x＋4<0，即等价于(x－1)(x－4)<0，所以原不等式的解集为{x|1<x<4}．

误区警示：若一元二次不等式的二次项系数为负数，通常先把二次项系数化为正数，再求解．将二次项系数化为正数时，可以将不等式两边同乘以－1，也可以移项，具体解题时，一定要注意不等号的方向．

二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，若认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况．

学科核心素养　用分类讨论思想解含参不等式

┃┃典例剖析__■

对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．

典例5　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．

思路探究：本题考查含参数的一元二次不等式的求解，可通过分解因式、分类讨论求解．

解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.

当a<0时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}；

当0<a<1时，a2<a，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；

当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；

当a>1时，a<a2，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}．

综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；

当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；

当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1，x∈R}；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0，x∈R}．

课堂检测·固双基

1．不等式3x2－2x＋1>0的解集为(　D　)

A．{x|－1<x<}　 B．{x|<x<1}

C．∅　 D．R

解析：由3x2－2x＋1>0得x2－x＋>0，所以(x－)2>－显然成立，所以原不等式的解集为R.

2．不等式<0的解集为(　C　)

A．{x|x>1}　 B．{x|x<－2}

C．{x|－2<x<1}　 D．{x|x>1或x<－2}

解析：原不等式等价于(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1.

3．不等式4－x2≥0的解集是__[－2,2]__.

解析：根据题意，4－x2≥0⇔x2≤4⇔|x|≤2⇔－2≤x≤2，即不等式4－x2≥0的解集是[－2,2]．

4．不等式≥0的解集为__(－2,1]__.

解析：由≥0，得

即解得－2<x≤1，所以不等式的解集是(－2,1]．

5．解下列不等式．

(1)x2－4x＋3≤0；

(2)≥0.

解析：(1)x2－4x＋3≤0，即(x－3)(x－1)≤0，

解得1≤x≤3.

所以不等式的解集为{x|1≤x≤3}．

(2)≥0等价于

解得x≤－2或x>，

故不等式的解集为{x|x≤－2或x>}．