高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式精品第1课时练习题

2.3  第1课时  二次函数与一元二次方程、不等式

 基  础  练                                                                                  

      巩固新知    夯实基础

1.（多选）下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是 (  )

A.3x+4<0              B.x2+mx-1>0

C.ax2+4x-7>0              D.x2<0

2.已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为(　　)

A．{x|－4≤x<－2或3<x≤7}           B．{x|－4<x≤－2或3≤x<7}

C．{x|x≤－2或x>3}                 D．{x|x<－2或x≥3}

3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解(　　)

A．{x|x<－1或x>2}                 B．{x|x≤－1或x≥2}

C．{x|－1<x<2}                     D．{x|－1≤x≤2}

4．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　)

A.                  B．{x|－1<x<3}

C．{x|1<x<3}                       D．{x|x<1或x>3}

5．若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为(　　)

6. 不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．

7.方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根都是负数，则m的取值范围为________．

8. 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.

 能  力  练                                                                                

综合应用   核心素养

9.若0<t<1，则关于x的不等式(t－x)(x－)>0的解集是 (　　)

A.         B.

C.        D.

10.不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　)

A.  　 B．R       C.  　　　 D．∅

11.不等式x2－px－q<0的解集是{x|2<x<3}，则不等式qx2－px－1>0的解是(　　)

A.            B.

C.                   D.

12. (多选)已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是(   )

A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m<1或m>9}

B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}

C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m|0<m≤1}

D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m|m>1}

13.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________．

14.若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a＝________，m＝________.

15.若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．

16.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.

【参考答案】

1.BD解析：根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是，C不一定是，B，D一定是.

2.A 解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，

∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或3<x≤7}．

3. D 解析：由方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，知函数y＝ax2＋bx＋c的零点为2，－1，又∵a<0，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象是开口向下的抛物线，∴不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－1≤x≤2}．

4. A 解析：由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．

5. B 解析：因为不等式的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，排除C、D；又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.

6. {x|－3≤x<－2或0<x≤1} 解析：　∵∴－3≤x<－2或0<x≤1.

7.{m|m≥9} 解析：∵∴m≥9.

8. 解：方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以

(1)当a<－1时，原不等式解集为{x|a<x<－1}；

(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；

(3)当a>－1时，原不等式解集为{x|－1<x<a}．

9.D 解析：∵0<t<1，∴>1，∴>t.∴(t－x)(x－)>0⇔(x－t)(x－)<0⇔t<x<.

10.A 解析：因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.

11. B 解析：易知方程x2－px－q＝0的两个根是2,3.由根与系数的关系得解得

不等式qx2－px－1>0为－6x2－5x－1>0，解得－<x<－.

12. BCD 解析：在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得解得0<m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确，故选BCD．

13.k≤2或k≥4解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.

14.　－3　－3 解析：在A中，由Δ＝(m－3)2－4m≥0得m≤1或m≥9，故A错误；在B中，当x＝0时，函数y＝x2＋(m－3)x＋m的值为m，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B正确；在C中，由题意得解得0<m≤1，故C正确；在D中，由Δ＝(m－3)2－4m<0得1<m<9，又{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故D正确，故选BCD．

可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0，

∴解得或(舍去)．

15.解　由ax2＋bx＋c≥0的解集为，知a<0，

且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，∴，∴b＝－a，c＝－a.

所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.

又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为.

16.解　(1)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}．

(2)当a>0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)>0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2.

①当0<a<1时，>2，所以原不等式的解集为；

②当a＝1时，＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；

③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为.

(3)当a<0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)<0，对应方程的两个根为x1＝，x2＝2，则<2，所以原不等式的解集为.

综上，a<0时，原不等式的解集为；

a＝0时，原不等式的解集为{x|x<2}；

0<a≤1时，原不等式的解集为；

当a>1时，原不等式的解集为.