高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第一课时导学案

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时 解一元二次不等式

【课程标准】

1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．

2．掌握图象法解一元二次不等式．

3．通过解不等式，体会数形结合、分类讨论的思想方法．

【知识要点归纳】

1.　一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有    未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是         或            ，其中a，b，c均为常数，a≠0.

2．二次函数的零点

一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的       叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．

注意：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．

(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．

3．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系

注意：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．

(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．

【经典例题】

解一元二次不等式的一般步骤

(1)调整系数.

(2)解相应方程（首选十字相乘，不行再用求根公式）

(3)画相应二次函数图像.

(4)由图像写解集.

例1 解下列不等式：

例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0 (a∈R)．

例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．

注意：由x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可求出a，b的值，从而得解．

[跟踪训练] 已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．不等式的解集是　　

A． B． C．或 D．或

2．不等式的解集为，则，的值为　　

A．， B．， C．， D．，

3．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为　　

A．，， B．，， 

C．， D．

4．已知不等式的解集为，则的取值范围是　　

A．， B． 

C．，， D．，，

二．解答题（共3小题）

5．已知关于的不等式．

（1）当时，求此时不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为，求实数，的值．

6．关于的不等式．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，求不等式的解集．

7．求下列关于的不等式的解集：

（1）；

（2）；

（3）．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．不等式的解集是　　

A． B． C．或 D．或

【分析】求出不等式对应方程的实数解，把不等式化为，

写出不等式的解集即可．

【解答】解：不等式对应的方程为，

解方程得或．

由不等式可化为，

即，

所以不等式的解集为或．

故选：．

【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根据一元二次不等式的解法即可求解，是基础题．

2．不等式的解集为，则，的值为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值．

【解答】解：不等式的解集为，

所以对应方程的解是2和3，

由根与系数的关系知，

解得，．

故选：．

【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．

3．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为　　

A．，， B．，， 

C．， D．

【分析】利用△，列出不等式求得的取值范围．

【解答】解：关于的不等式的解集为空集，

所以△，

解得；

所以实数的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查了利用判别式判断一元二次不等式解集的问题，是基础题．

4．已知不等式的解集为，则的取值范围是　　

A．， B． 

C．，， D．，，

【分析】利用判别式△，列出不等式求得的取值范围．

【解答】解：不等式的解集为，

所以△，

解得；

所以的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查了利用判别式判断一元二次不等式恒成立问题，是基础题．

二．解答题（共3小题）

5．已知关于的不等式．

（1）当时，求此时不等式的解集；

（2）若此不等式的解集为，求实数，的值．

【分析】（1）时不等式为，求出解集即可．

（2）由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出、的值．

【解答】解：（1）时，不等式为，

可化为，

解得；

所以不等式的解集为，．

（2）若不等式的解集为，

则对应方程的实数根为和；

由根与系数的关系知，，

解得，．

【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，也考查了运算与求解能力，是基础题．

6．关于的不等式．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，求不等式的解集．

【分析】（1）时不等式为，求出解集即可；

（2）不等式化为，讨论的取值，从而求出不等式的解集．

【解答】解（1）当时，此不等式为，可化为，

化简得，解得或，

所以不等式的解集为或；

（2）不等式，化为，

当时，不等式化为，

若，则，解不等式得；

若，则，解不等式得；

若，则，解不等式得；

综上所述：

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．

7．求下列关于的不等式的解集：

（1）；

（2）；

（3）．

【分析】（1）不等式化为，求出解集即可；

（2）不等式化为，利用判别式求出不等式的解集；

（3）讨论的取值，从而求出不等式的解集．

【解答】解：（1）不等式可化为，

解得或，

所以不等式的解集为或；

（2）不等式可化为，

△，

所以不等式的解集为；

（3）当时，解不等式，得；

当时，不等式无解；

所以，时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

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日期：2020/11/18 8:00:16；用户：郭天军；邮箱：wcdezx37@xyh.com；学号：26222372