高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式学案设计

2.3：二次函数与一元二次方程、不等式

知识点1：一元一次不等式及其解法    

  一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，称为一元一次不等式.

一元二次不等式的一般形式是，其中均为常数，.

例：           

知识点2：一元二次不等式及其解法（重点）

1.一元二次不等式的定义

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

一元二次不等式的一般形式是，其中均为常数，.

2.一元二次不等式的解集

满足一元二次不等式的实数组成的集合叫做一元二次不等式的解集，即或.

3.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的一般步骤是：方法一：

（1）对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零，即标准形式（或＜0或≥0或≤0），.

（2）计算相应方程的根的判别式；

（3）当时，求出相应的一元二次方程两根.

（4）根据一元二次不等式解的结构，写出解集.

当时，设方程的两根分别为，且，利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集，也就是（）的解集是，即大于大根或小于小根，（）的解集为，即大于小根且小于大根.

当时，则可结合二次函数的图像和不等号方向来确定不等式的解集.

其求解过程（以（）为例）用框图表示如下：

方法二：穿根引线法   其解题步骤如下：

①分解因式，将不等式化为一端为0，另一端为若干个因式（一次因式或二次不可约因式）乘积的形式（各因式中最高次数的项的系数符号化为“+”）.

②求出相应方程的根，并在数轴上表示出来.

③ 若最高次数的系数为正，用光滑曲线从上往下，从右往左依次穿过数轴上的各根；

   若最高次数的系数为负，用光滑曲线从下往上，从右往左依次穿过数轴上的各根；

④若不等式（最高次数的项的符号化为“+”后）“＞0”，则找“线”在数轴上方对应的的取值范若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方对应的的取值范围.

例1-1：解下列不等式；

（1）      （2）  ；        （3）  ；          （4）

（5）.               （6）  .

知识点3：二次函数与一元二次方程、不等式的关系

题型1：一元二次不等式的解法

1.不含参数的一元二次不等式的解法

例1：解下列不等式：

例2.已知一元二次方程不等式的解集，求参数问题

例7：若不等式的解集为，则不等式的解集为           .

变式训练：

1．若不等式的解集是，则（     ）

A．-6 B．-5 C． D．6

2. 关于的不等式的解集为，求不等式的解集

3．若关于的不等式的解集为或，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

例3.  含参数的一元二次不等式的解法

例8：（1）解关于的不等式：.

变式训练

1：若，则关于的不等式的解集是          .

2：已知，关于的一元二次不等式的解集为（   ）

A.                 B.

C.                 D.

3．若，.

（Ⅰ）若的解集为，求的值；

（Ⅱ）求关于的不等式的解集.

题型2：一元二次不等式恒成立问题

1.在R上恒成立问题

例1：若对任意实数，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为           .

变式训练：

1. 已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是           .
2. 已知关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（     ）.

A.                      B.

C.                  D. 

知识点4. 分式不等式的解法

例1：不等式的解集为             .

变式训练：

1. 解关于的不等式：（1）                （2）

知识点5. 含绝对值不等式的解法

例1：的解集为         .

例2．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

变式训练：

1．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．或

2．若关于的不等式的解集为，则实数（    ）

A． B． C． D．

3．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

4．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．且

5．不等式的解集为（    ）．

A． B． C． D．

基础巩固：

1.设集合，则（   ）.

A.                 B.

C.                   D.

2.不等式组的解集为（    ）.

A.                 B.

C.                   D.

3.若，式子都有意义，则实数的取值范围为（   ）.

A.                 B.

C.               D.

4.已知方程有两个不等正实数根，则实数的取值范围是（   ）.

 A.          B.

 C.          D.

5.不等式的解集为         .

6.若不等式的解集为，则=         .

7.不等式的解集为         .

能力提升

9.下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（   ）.

A.                 B.

C.                D.

10.若，则不等式的解集为（   ）.

A.                  B.

C.                D.

11.不等式的解集为则（   ）.

 A.             B.           C.           D.

12.若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为        .

13.不等式对一切都成立，则的取值范围为       .

14.若不等式成立时，不等式也成立，则实数的取值范围为         .

15.若不等式对一切非负的恒成立，则实数的取值范围为         .

16.已知集合，集合.

（1）求集合A，B；

（2）若，求实数的取值范围.

17.解关于的不等式.

参考答案

1.   D
2.   C
3.   D
4.   C
5.  
6.   3
7.  

9. A

10. A

11. C

12.

13.

14.

15.

16.（1）   （2）

17.当时，解集为;

当时，解集为∅;

当时，解集为;

当时，解集为;

当时，解集为;