人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀教学设计及反思

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

【素养目标】

1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)

2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)

3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)

4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算)

5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)

6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)

【学法解读】

在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．

2.3.1  二次函数与一元二次方程、不等式

一、必备知识·探新知

基础知识

知识点1：一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________________.

一元二次不等式的一般形式是：

_________________________或_________________________.

知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

思考2：如何用图解法解一元二次不等式？

提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：

(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)；

(2)求Δ＝b2－4ac；

(3)若Δ<0，根据二次函数的图象直接写出解集；

(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．

基础自测

1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　　)

(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)

(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x1<x2，则一元二次不等式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}．(　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．(　　)

[解析]　

(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．

(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.

(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}．

(4)当Δ<0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．

2．不等式2x≤x2＋1的解集为(　　)

A．∅　　　　　　　 B．R

C．{x|x≠1} D．{x|x>1或x<－1}

[解析]　将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，

∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．

3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为_____________________.

二、关键能力·攻重难

题型探究

题型一　解一元二次不等式

例题1：解下列不等式．

(1)2x2－3x－2>0；

(2)x2－4x＋4>0；

(3)－x2＋2x－3<0；

(4)－3x2＋5x－2>0.

[分析]　根据三个二次之间的关系求解即可．

[归纳提升]　解一元二次不等式的步骤

(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式．

(2)计算相应的判别式．

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．

(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．

【对点练习】❶ 不等式6x2＋x－2≤0的解集为______________________.

题型二　三个“二次”的关系

例题2：已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．

[分析]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．

【对点练习】❷ 若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．

题型三　解含有参数的一元二次不等式

例题3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.

[分析]　二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．

②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，

∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．

③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，

∴原不等式的解集为{x|x≠1}．

④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，故原不等式的解集为R.

[归纳提升]　在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：

(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0；

(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)；

(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.

【对点练习】❸ 解关于x的不等式ax2－x>0.