【培优分级练】人教版数学七年级上册 2.2.3《整式的加减（三）整体思想与探究规律》培优三阶练（含解析）

2.2.3 整式的加减（三）整体思想与探究规律
知识清单

1.整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题. 这种思想方法在解题中往往能起到意想不到的效果．学生如果能应用整体思想思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。
2. 探究规律主要题型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
3. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：

课后培优练级练

培优第一阶——基础过关练
1．（2021·北京七年级期末）在某学校庆祝建党“100周年”的活动上,宇阳同学用围棋棋子按照某种规律摆成如图所示的“100”字样．按照这种规律,第个“100”字样的棋子个数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形可知:第①个“100”字中的棋子个数是 ,
第②个“100”字中的棋子个数是 ,
第③个“100”字中的棋子个数是 ,
第④个“100”字中的棋子个数是 ,由此规律可得出答案．
【详解】第①个“100”字中的棋子个数是 ,
第②个“100”字中的棋子个数是 ,
第③个“100”字中的棋子个数是 ,
第④个“100”字中的棋子个数是 ,
第n个“100”字中的棋子个数是．故选C．
【点睛】本题考查了规律型:图形的变化类,是一道关于数字猜想的问题,解题的关键是通过总结与归纳,得到其中的规律．
2．（2021·重庆市渝北区实验中学校）一组按规律排列的式子：则第2020个式子是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先观察所给的前几个式子，找出分子a的指数的规律,分母的规律，即可得2020个式子．
【详解】观察所给的前几个式子，发现第n个式子的分子a的指数为2n，分母为(2n-1)，把n换成2020即
得第2020个式子的分子a的指数为2020×2=4040，分母为2020×2-1=4039，所以第2020个式子为．
故选：C．
【点睛】本题是找规律题也考查奇偶数的字母表示．其关键是仔细观察前几个式子的变化和联系，归纳作出猜想，进行验证，反复进行直到找规律．
3．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即可.
【详解】解：分析数据和图象可知，利用正方形的面积减去最后的一个小长方形的面积来求解面积和即为所求.最后一个小长方形的面积= 故
即故选B.
【点睛】本题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，通过数形结合看出前面所有小长方形的面积等于总面积减去最后一个空白的小长方形的面积是解答此题的关键.
4．（2021·重庆）如图，将整数按规律排列，若有序数对(a，b)表示第a排从左往右第b个数，则(9，4)表示的数是（　　）

A．49 B．﹣40 C．﹣32 D．25
【答案】B
【分析】根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可得规律，进而可求出（9，4）表示的数．
【详解】解：根据有序数对（m，n）表示第m行从左到右第n个数，
对如图中给出的有序数对和（3，2）表示整数5可知：
（3，2）：；（3，1）：；（4，4）：；…
由此可以发现，对所有数对（m，n）（n≤m）有，．
表示的数是偶数时结果为负数，奇数时结果为正数，
所以（9，4）表示的数是：．故选：B．
【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律．
5．（2021·辽宁葫芦岛市·七年级期中）如图在表中填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，的值是（ ）
　　　 　　　 　　　 　　　
A．216 B．147 C．130 D．442
【答案】A
【分析】分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的和乘以左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的奇数．因此，图中两个问号的数分别是左下是11，右上是13，由此解决问题．
【详解】∵右上和左下两个数的和乘以左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的奇数
∴图中左下是11，右上是13∴故选：A．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出问号部分的数．
6．（2021·重庆八年级期末）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，⋯，按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为（　　）

A．24 B．27 C．30 D．33
【答案】B
【分析】根据前三个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】解：第①个图形中小圆圈的个数为，
第②个图形中小圆圈的个数为，
第③个图形中小圆圈的个数为，
归纳类推得：第n个图形中小圆圈的个数为（其中，为正整数），
则第⑧个图形中小圆圈的个数为，故选：B．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
7．（2021·云南七年级模拟）有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第n个数．
【详解】解：一组数为∴这组数据第1个数为：，
第2个数为：，第3个数为：…
∴第n个数为：故选：C
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．
8.（2022•耿马县期末）若x﹣2y＝3，则2（x﹣2y）﹣x+2y﹣5的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【分析】直接利用合并同类项法则计算，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：∵x﹣2y＝3，
∴2（x﹣2y）﹣x+2y﹣5＝2（x﹣2y）﹣（x﹣2y）﹣5＝x﹣2y﹣5＝3﹣5＝﹣2．故选：A．
9.（2022•丹阳市期末）若代数式x2的值和代数式2x+y﹣1的值相等，则代数式9﹣2（y+2x）+2x2的值是（　　）
A．7 B．4 C．1 D．不能确定
【分析】由题意可得2x+y＝1+x2，代入所求的式子即可解决问题．
【解答】解：∵代数式x2的值和代数式2x+y﹣1的值相等，∴x2＝2x+y﹣1；∴2x+y＝1+x2；
∴9﹣2（y+2x）+2x2＝9﹣2（1+x2）+2x2＝9﹣2﹣2x2+2x2＝9﹣2＝7．故选：A．
10.（2021·江苏苏州草桥中学九年级一模）已知，那么代数式的值是（ ）
A． B．0 C．23 D．3
【答案】A
【分析】将8-3x+6y变形为8-3（x-2y），然后代入数值进行计算即可．
【详解】解：∵x-2y=5，∴8-3x+6y=8-3（x-2y）=8-3×5=-7；故选A．
【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，将x-2y=5整体代入是解题的关键．
11.（2022•海淀区校级期末）当x＝2时，整式ax3+bx﹣1的值等于﹣100，那么当x＝﹣2时，整式ax3+bx﹣1的值为（　　）
A．100 B．﹣100 C．98 D．﹣98
【分析】将x＝2代入整式，使其值为﹣100，列出关系式，把x＝﹣2代入整式，变形后将得出的关系式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵当x＝2时，整式ax3+bx﹣1的值为﹣100，∴8a+2b﹣1＝﹣100，即8a+2b＝﹣99，
则当x＝﹣2时，原式＝﹣8a﹣2b﹣1＝99﹣1＝98．故选：C．
12.（2021·江苏·七年级期末）已知，则（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【分析】已知两等式相减求出a-c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，∴，故选C．
【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

13．（2021·江苏南京市·七年级期中）观察下列各式：




根据上面各式的规律可得（ ）；
利用规律完成下列问题：
（1）______；
（2）求的值．
【答案】；（1）；（2）（或）
【分析】先观察给出的各运算式的特点，再总结出规律，再表示即可；（1）直接利用规律写出结果即可；（2）先在运算式后面加上 再减去 再直接利用规律解题即可.
【详解】解：由上面各式的规律可得：，故答案为：
（1）由规律可得：故答案为：
（2）

【点睛】本题考查运算规律的总结，表达与应用，根据已有的运算总结出规律并运用规律是解题的关键.
14.（2021·北京七年级期末）如图所示是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形与等边三角形镶嵌而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，第4个图案有13个三角形，…，按照这样的规律，第5个图案中有____个三角形，第n个图案中有____个三角形（用含有n的代数式表示）．

【答案】16 3n+1
【分析】由所给的图形可知：第1个图案中三角形的个数为4；第2个图案中三角形的个数为4+3=7；第3个图案中三角形的个数为4+3+3=10；据此可得其规律．
【详解】解：第1个图案中三角形的个数为4；第2个图案中三角形的个数为4+3=4+3×1=7；
第3个图案中三角形的个数为4+3+3=4+3×2=10；第4个图案中三角形的个数为4+3+3+3=4+3×3=13；
第5个图案中三角形的个数为4+3+3+3+3=4+3×4=16；.....．
第n个图案中三角形的个数为4+3×（n-1）=4+3n-3=3n+1．故答案为：16；3n+1．
【点睛】本题主要考查了规律型：图形的变化类，解答的关键是找到三角形个数变化的规律．
15．（2021·福建漳州市·漳州三中）观察一组等式：
，
，
，
，
试猜想：______．
【答案】
【分析】根据，，
，，由此可以发现，从而可以求解．
【详解】解：，，
，，
由此可以发现，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数字类规律，解题的关键在于能够根据题意发现．
16.（2021•诸城市三模）按一定规律排列的一列数依次为2，﹣5，10，﹣17，26，﹣37，…，按此规律排列下去，这列数中的第20个数是 　 　．
【分析】根据题目中的数字，可以发现这列数的符号一正一负的出现，数字是12+1、22+1、32+1、42+1，…，从而可以写出第n个数的表达式．
【解答】解：∵一列数依次为：2，﹣5，10，﹣17，26，…，
∴这列数的第n个数为：（﹣1）n+1•（n2+1），
则第20个数为：（﹣1）20+1•（202+1）＝﹣401．故答案为：﹣401．
17.（2021•越秀区期末）如果x+y＝2，则（x+y）2+2x+2y+1＝　 　．
【分析】将x+y＝2代入（x+y）2+2x+2y+1＝（x+y）2+2（x+y）+1可得结果．
【解答】解：∵x+y＝2，∴原式＝（x+y）2+2（x+y）+1＝22+2×2+1＝9，故答案为：9．
18．（2021·山东七年级期末）如果代数式4y2﹣2y+5的值为1，那么代数式2y2﹣y+1的值为 ___．
【答案】
【分析】先根据已知代数式的值可得的值，再将其作为整体代入求值即可得．
【详解】解：由题意得：，整理得：，
则，故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．
19.（2021•三明期末）已知a﹣3b＝2，m+2n＝4，求代数式2a﹣6b﹣m﹣2n的值．
【分析】先将原式分为两组后，进行变形，再将已知的a﹣3b＝2，m+2n＝4，整体代入即可．
【解答】解：∵a﹣3b＝2，m+2n＝4，
∴2a﹣6b﹣m﹣2n＝2（a﹣3b）﹣（m+2n）＝2×2﹣4＝0．
20．（2021·安徽合肥市五十中学西校九年级一模）观察下列等式：①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④1+3+5+7＝42；……请解答下列问题：（1）请写出第⑤个等式： ；（2）请写出第n个等式： ；
（3）根据上述规律，求1+3+5+7+…+2019+2020．
【答案】（1）1+3+5+7+9＝52；（2）1+3+5+7+…+（2n-1）＝n2；（3）1022120
【分析】（1）根据题目中式子的特点，可以写出第⑤个等式；
（2）根据题目中式子的规律，可以写出第n个等式；
（3）根据前面发现的式子的特点，通过有理数混合运算，可以求得所求式子的值．
【详解】（1）由题意可得，第⑤个等式是：1+3+5+7+9＝52，故答案为：1+3+5+7+9＝52；
（2）①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④1+3+5+7＝42⑤1+3+5+7+9＝52
∴第n个等式：1+3+5+7+…+（2n-1）＝n2，故答案为：1+3+5+7+…+（2n-1）＝n2；
（3）1+3+5+7+…+2019+2020＝（）2+2020＝10102+2020＝1020100+2020＝1022120
故答案为：1022120．
【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、有理数混合运算的性质，从而完成求解．

培优第二阶——拓展培优练
1. （2022·长沙市开福区八年级月考）当时，多项式.那么当时，它的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据时，多项式，找到a、b之间的关系，再代入求值即可.
【详解】当时，

当时，原式= 故选A.
【点睛】本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a、b之间的关系.
2．（2021•蜀山区期末）若2a＝b+1，c＝3b，则﹣8a+b+c的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】将2a＝b+1，c＝3b代入代数式求值即可．
【解答】解：∵2a＝b+1，c＝3b，
∴﹣8a+b+c＝﹣4（2a）+b+c＝﹣4×（b+1）+b+3b＝﹣4b﹣4+4b＝﹣4，故选：C．
3．（2021·江苏镇江市·）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）

A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【答案】B
【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．
【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，
则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．
【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
4. （2022·重庆七年级期中）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球），若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为（　　）

A．55 B．220 C．285 D．385
【答案】A
【分析】“三角形数”可以写为：1，3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，15＝1+2+3+4+5，所以第n层“三角形数”为，再把n＝10代入计算即可．
【详解】解：∵“三角形数”可以写为：第1层：1，第2层：3＝1+2，第3层：6＝1+2+3，第4层：10＝1+2+3+4，
第5层：15＝1+2+3+4+5，∴第n层“三角形数”为，
∴若一个“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛球的总个数为＝55．故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及数字变化规律，得出第n层“三角形数”为是解答本题的关键．
5．（2022·山西实验中学九年级模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，每次挖去等边三角形的面积的，剩下的阴影部分面积等于原阴影部分面积的，然后根据有理数的乘方列式计算即可得解．
【解答】解：图2阴影部分面积＝1﹣，图3阴影部分面积＝，
图4阴影部分面积＝，图5阴影部分面积＝．故选：B．
6．（2022·全国初一课时练习）把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第一组：2，4；
第二组：6，8，10，12；
第三组：14，16，18，20，22，24
第四组：26，28，30，32，34，36，38，40
……
则现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到右数），如A10=（2，3），则A2018=（ ）
A．（31，63） B．（32，17） C．（33，16） D．（34，2）
【答案】B
【解析】2018是第1009个数，设2018在第n组，由2+4+6+8+…+2n=n（n+1），
当n=31时，n（n+1）=992；当n=32时，n（n+1）=1056；
故第1009个数在第32组，第32组的第一个数为2×992+2=1986，则2018是（+1）=17个数．
则A2016=（32，17）．故选B．
7.（2021·浙江杭州市·七年级期末）当时，代数式的值为3，则当时，代数式值为_______．
【答案】-2
【分析】把x=-2020代入代数式ax5+bx3-1使其值为3，可得到-20205a-20203b=4，再将x=-2020代入ax5+bx3+2后，进行适当的变形，整体代入计算即可．
【详解】解：当x=-2020时，代数式ax5+bx3-1的值为3，
即-a×20205-20203b-1=3，也就是：-20205a-20203b=4，
∴当x=2020时，ax5+bx3+2=20205a+20203b+2=-（-20205a-20203b）+2=-4+2=-2，故答案为：-2．
【点睛】本题考查代数式求值，代入是常用的方法，将代数式进行适当的变形是解决问题的关键．
8.（2021•常州期末）已知（x﹣1）2021＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则a1+a2+…+a2021＝　 　．
【分析】令x＝1代入求值可得a0+a1+a2+a3+…+a2021＝0，令x＝0可得a0＝﹣1，易得结果．
【解答】解：当x＝1时，a0+a1+a2+a3+…+a2021＝（1﹣1）2021＝0；
当x＝0时，a0＝（0﹣1）2021＝﹣1，
a1+a2+a3+…+a2021＝0﹣（﹣1）＝1，故答案为：1．
9．（2021·江苏扬州市·中考真题）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．

【答案】1275
【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．
【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为：=3，
第③个图形中的黑色圆点的个数为：=6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为：=10，...
第n个图形中的黑色圆点的个数为，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，故答案为：1275．
【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
10．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．
【答案】．
【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．
【详解】解：∵，，，…∴第个等式为：
故答案是：．
【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．
11．（2020·四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
【答案】65
【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，∴m＝45，n＝20，∴m+n＝65．故答案为：65．
【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．
12．（2020·山东威海市·中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．

【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【详解】解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
【点睛】本题考查了坐标表示位置：通过类比点的坐标考查解决实际问题的能力和阅读理解能力．分析图形，寻找规律是关键．
13．（2020·湖北咸宁市·中考真题）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【详解】解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，
∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，故答案为：bc=a．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
14．（2020·山东泰安市·中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．

【答案】20110
【分析】根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【详解】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，
∴．故答案为20110．
【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
15．（2020·四川遂宁市·中考真题）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若+++…+＝．（n为正整数），则n的值为_____．

【答案】4039
【分析】先根据已知图形得出an＝n（n+1），代入到方程中，再将左边利用裂项化简，解分式方程可得答案．
【详解】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴an＝n（n+1），
∵+++…+＝，∴+++…+=，
∴2×（1﹣+﹣+﹣+……+﹣）=，
∴2×（1﹣）＝，1﹣＝，解得n＝4039，
经检验：n＝4039是分式方程的解．故答案为：4039．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出an＝n（n+1）及是解题的关键.
16．（2020·安徽中考真题）观察以下等式：
第1个等式：
第个等式：
第3个等式：
第个等式：
第5个等式：
······
按照以上规律．解决下列问题：
写出第个等式___________；写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；
（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．
【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：；
（2），
证明：∵左边==右边，∴等式成立．
【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
17. （2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49=　 　；②1+3+5…+（2n+1）=　 　．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．

【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）图见解析，
【分析】（1）利用题干中所给方法解答即可；（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32，•••n个数时和为n2，由此可得①为25个数，和为252=625；②为（n+1）个数，和为(n+1)2；（3）按要求画出示意图，依据图形写出计算结果．
【详解】解：（1）1+2+3+•••+20=（1+20）×20=21×10=210；故答案为：210；
（2）由点阵图可知：一个数时和为1=12，2个数时和为4=22，3个数时和为9=32，•••，n个数时和为n2．
①∵1+3+5+…+49中有25个数，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)个数，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案为：625；(n+1)2；
（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为1，

第一次将正方形分割为和两部分，第二次将正方形的分割为和两部分，•••，以此类推，
第2020次分割后，剩余的面积为，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：
，∴，
左右两边同除以2得：．∴原式．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，有理数的混合运算，数形结合的思想方法．前两小题考察学生数与形相结合，难度不大，仔细观察规律，即可求解，第三小题对学生构建数与形的要求较高，考察学生的发散性思维．
18.（2021春•安丘市月考）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：
已知：a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝6x，则：（1）取x＝0时，直接可以得到a0＝0；
（2）取x＝1时，可以得到a4+a3+a2+a1+a0＝6；（3）取x＝﹣1时，可以得到a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝﹣6．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到2a4+2a2+2a0＝0，结合（1）a0＝0的结论，从而得出a4+a2＝0．请类比上例，解决下面的问题：已知a6（x﹣1）6+a5（x﹣1）5+a4（x﹣1）4+a3（x﹣1）3+a2（x﹣1）2+a1（x﹣1）+a0＝4x，求（1）a0的值；（2）a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值；（3）a6+a4+a2的值．
【分析】（1）观察等式可发现只要令x＝1即可求出a（2）观察等式可发现只要令x＝2即可求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．（3）令x＝0即可求出等式①，令x＝2即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．
【解答】解：（1）当x＝1时，a0＝4×1＝4；
（2）当x＝2时，可得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8；
（3）当x＝0时，可得a6﹣a5+a4﹣a3+a2﹣a1+a0＝0①，
由（2）得得a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝4×2＝8②；
①+②得：2a6+2a4+2a2+2a0＝8，∴2（a6+a4+a2）＝8﹣2×4＝0，∴a6+a4+a2＝0．
19．（2022·河南周口·七年级期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成是一个整体，则．
尝试应用：(1)把看成一个整体，合并的结果是____________．
(2)已知，求的值；
(3)已知，，，求的值．
【答案】(1)(2)(3)4
【分析】（1）利用合并同类项进行计算即可；（2）把的前两项提公因式3，再代入求值即可；
（3）利用已知条件求出，的值，再代入计算即可．
(1)故答案为：．
(2)∵，∴，
∴；
(3)∵，，，
∴①+②得：，②+③得：，
∴
【点睛】此题主要考查了整式的加减化简求值，解题的关键是掌握整体思想，注意去括号时符号的变化．

培优第三阶——中考沙场点兵
1.（2022·江西·中考真题）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．
【详解】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，
第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3=10，故选：B．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H是解题的关键．
2．（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x²，5x³，7x，9x，……，第n个单项式是（       ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
【答案】A
【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示．
【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn，故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键．
3．（2022·重庆·中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（       ）

A．15 B．13 C．11 D．9
【答案】C
【分析】根据第①个图案中菱形的个数：；第②个图案中菱形的个数：；第③个图案中菱形的个数：；…第n个图案中菱形的个数：，算出第⑥个图案中菱形个数即可．
【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：；
第②个图案中菱形的个数：；
第③个图案中菱形的个数：；…
第n个图案中菱形的个数：，
∴则第⑥个图案中菱形的个数为：，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．
4．（2022·重庆·中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（       ）

A．32 B．34 C．37 D．41
【答案】C
【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可．
【详解】解：第1个图中有5个正方形；
第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；
第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；
第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．
第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；
当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
5．（2020·湖南中考真题）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）

A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F
【答案】D
【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【详解】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，
因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k＝k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤2020，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．故选：D．
【点睛】本题考查的是探索图形、数字变化规律，从图形中提取信息，转化为数字信息，探索数字变化规律是解答的关键.
6．（2020·山东日照市·中考真题）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案中共有圆点的个数是（　　）

A．59 B．65 C．70 D．71
【答案】C
【分析】由题意观察图形可知，第1个图形共有圆点5+2个；第2个图形共有圆点5+2+3个；第3个图形共有圆点5+2+3+4个；第4个图形共有圆点5+2+3+4+5个；…；则第n个图形共有圆点5+2+3+4+…+n+（n+1）个；由此代入n=10求得答案即可．
【详解】解：根据图中圆点排列，当n＝1时，圆点个数5+2；当n＝2时，圆点个数5+2+3；
当n＝3时，圆点个数5+2+3+4；当n＝4时，圆点个数5+2+3+4+5，…
∴当n＝10时，圆点个数5+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11＝4+（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）
＝．故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，注意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题．
7.（2021•杭州模拟）若2x2﹣3y﹣5＝0，则6y﹣4x2﹣6的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．16 D．﹣16
【分析】将原式转化为﹣2（2x2﹣3y）﹣6，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵2x2﹣3y﹣5＝0，∴2x2﹣3y＝5，
6y﹣4x2﹣6＝﹣2（2x2﹣3y）﹣6＝﹣2×5﹣6＝﹣16，故选：D．
8．（2022·江苏宿迁·中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是_____．
【答案】
【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数，从而可得答案．
【详解】解：，，，，，…，
由偶数个单项式的系数为： 所以第20个单项式的系数为
第1个指数为： 第2个指数为： 第3个指数为：
指数为 所以第20个单项式是： 故答案为：
【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．
9．（2022·湖南怀化·中考真题）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，

则第27行的第21个数是 _____．
【答案】744
【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），计算出第27行最后一个偶数，再减去与第21位之差即可得到答案．
【详解】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），
∴第27行的最后一个数，即第27个数为，
∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即，故答案为：744．
【点睛】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含n的代数式表示出来由此解决问题是解题的关键．
10．（2022·山东泰安·中考真题）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．

【答案】不存在
【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“○”的个数是；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．
【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；
n=2时，“•”的个数是6=3×2；
n=3时，“•”的个数是9=3×3；
n=4时，“•”的个数是12=3×4；
……
∴第n个图形中“•”的个数是3n；
又∵n=1时，“○”的个数是1=；
n=2时，“○”的个数是，
n=3时，“○”的个数是，
n=4时，“○”的个数是，
……
∴第n个“○”的个数是，
由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022
①，②
解①得：无解
解②得：
故答案为：不存在
【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
11．（2022·四川遂宁·中考真题）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．

【答案】127
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．
12．（2022·湖北恩施·中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
【答案】         
【分析】由已知推出，得到，，，，上述式子相加求解即可．
【详解】解：∵；∴，
∵，
∵，
∴a4=，
∴，，，
把上述2022-1个式子相加得，
∴a2022=，
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查数字的变化规律，关键是得出，利用裂项相加法求解．
13．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线___上．

【答案】OC
【详解】解∶∵1在射线OA上，2在射线OB上，3在射线OC上，4在射线OD上，5在射线OE上，6在射线OF上，7在射线OA上，…
∴每六个一循环．
∵2013÷6=335…3，
∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样．
∴所描的第2013个点在射线OC上．
故答案为：OC
14．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形是将等边三角形按一定规律排列，则第个图形中所以等边三角形的个数是__________．

【答案】485
【详解】解： 由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，
第二个图形中5×3+2=17个正三角形，
第三个图形中17×3+2=53个正三角形，
由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，
第五个图形中161×3+2=485个正三角形．
故答案为：485
15．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某链条每节长为，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为，按这种连接方式，50节链条总长度为_________．

【答案】91
【分析】通过观察图形可知，1节链条的长度是，2节链条的长度是（2.8×2-1），3节链条的长度是（2.8×3-1×2），n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），据此解答即可求解．
【详解】解：2节链条的长度是（2.8×2-1），
3节链条的长度是（2.8×3-1×2），
n节链条的长度是2.8n-1×（n-1），
所以50节链条的长度是：2.8×50-1×（50-1）
=140-1×49
=91
故答案为：91
【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出n节链条长度为2.5×n-0.8×（n-1）．
16．（2022·黑龙江大庆·中考真题）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是____________．

【答案】49
【分析】根据题意可知：第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，……由规侓即可得答案．
【详解】解：∵第1个图案中有六边形图形：1+2+1=4个，
第2个图案中有六边形图形：2+3+2=7个，
第3个图案中有六边形图形：3+4+3=10个，
第4个图案中有六边形图形：4+5+4=13个，
……
∴第16个图案中有六边形图形：16+17+16=49个，
故答案为：49．
【点睛】此题考查图形的变化规律，解题的关键是找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
17．（2021·河南九年级二模）已知，则的值为
【答案】-1
【分析】将整体代入代数式求值即可．
【详解】．
【点睛】本题考查了求代数式的值，整体代入是解题的关键．
18．（2021·安徽中考真题）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．
[观察思考]
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，


[规律总结]（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加 块；
（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为 （用含n的代数式表示）．
[问题解决]（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？
【答案】（1）2 ；（2）；（3）1008块
【分析】（1）由图观察即可；（2）由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；
（3）利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量．
【详解】解：（1）由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；故答案为：2 ；
（2）由（1）可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；
当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；
所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有（）块；故答案为：；
（3）令 则
当时， 此时，剩下一块等腰直角三角形地砖需要正方形地砖1008块．
【点睛】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等．