数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时学案

这是一份数学必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时学案，共12页。


1．理解函数奇偶性的定义．
2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．
3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
函数的奇偶性
温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．
(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
1．函数f(x)＝x2－1，f(x)＝－eq \f(1,x)，f(x)＝2x的图象分别如图所示：
(1)各个图象有怎样的对称性？
(2)对于以上三个函数，分别计算f(－x)，观察对定义域内的每一个x，f(－x)与f(x)有怎样的关系？
[答案] (1)y＝x2－1的图象关于y轴对称；y＝－eq \f(1,x)和y＝2x的图象关于原点对称
(2)对于f(x)＝x2－1，f(－x)＝x2－1＝f(x)；
对于f(x)＝－eq \f(1,x)，f(－x)＝－eq \f(1,x)＝－f(x)；
对于f(x)＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x)
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)偶函数的图象一定与y轴相交．( )
(2)奇函数的图象一定经过原点．( )
(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．( )
(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一 函数奇偶性的判断
【典例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)；
(3)f(x)＝eq \f(x,x－1)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x>0，,－2x＋1，x<0.))
[思路导引] 借助奇函数、偶函数的定义判断．
[解] (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的2种方法
(1)定义法
(2)图象法
[针对训练]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)；
(4)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,x－x2，x>0.))
[解] (1)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝eq \f(\r(1－－x2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
题型二 奇函数、偶函数的图象
【典例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象．
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[思路导引] 根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
[变式] 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．
[解] 因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．
[针对训练]
2．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
[解] (1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)观察图象，知f(3)题型三 利用函数的奇偶性求值
【典例3】 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)设函数eq \f(x＋1x＋a,x)为奇函数，则a＝________.
[思路导引] (1)先由定义域关于原点对称确定a值，再利用偶函数的定义求b；(2)利用奇函数的定义求a值．
[解析] (1)∵函数f(x)在[a－1,2a]上是偶函数，
∴a－1＋2a＝0，得a＝eq \f(1,3).
又f(－x)＝f(x)，即eq \f(1,3)x2－bx＋1＋b＝eq \f(1,3)x2＋bx＋1＋b
对x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(2,3)))均成立，
∴b＝0.
(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即eq \f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq \f(x＋1x＋a,x).
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
[答案] (1)eq \f(1,3) 0 (2)－1
利用奇偶性求参数的2种类型
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．
[针对训练]
3．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是( )
A．1B．2
C．3D．4
[解析] 由f(－x)＝f(x)，得(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，所以m＝2.
[答案] B
4．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋eq \f(1,x)，则f(－1)＝________.
[解析] ∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋eq \f(1,x)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋\f(1,1)))＝－2.
[答案] －2
课堂归纳小结
1．一个条件：定义域关于原点对称是函数f(x)是奇(偶)函数的一个必要不充分条件．
2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．
4．熟悉常见函数的奇偶性：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．y＝eq \f(k,x)(k≠0)为奇函数．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1B．0
C．1D．无法确定
[解析] 由－1＋a＝0，得a＝1.选C.
[答案] C
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝xB．y＝2x2－3
C．y＝eq \f(1,\r(x))D．y＝x2，x∈[0,1]
[解析] A项中的函数为奇函数；C、D选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B项中的函数为偶函数．故选B.
[答案] B
3．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象( )
A．关于y轴对称B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝－x对称
[解析] 函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq \f(1,x)－(－x)＝x－eq \f(1,x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
[答案] C
4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
[解析] 由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.
[答案] 4
5．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在[0,3]上的图象如图所示，求不等式eq \f(fx,gx)<0的解集．
[解] 由题知，y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数．
根据函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，
0]上的图象如图所示．由图可知f(x)>0⇔00⇔1eq \f(fx,gx)<0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,gx<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx<0，,gx>0，))
可求得其解集是{x|－2课后作业(二十一)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝－|x|B．y＝2－x
C．y＝eq \f(1,x3)D．y＝－x2＋8
[解析] A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．
[答案] C
2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
[解析] 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
[答案] B
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
[解析] F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
[答案] B
4．对于定义在R上的函数f(x)，有下面四个结论：
①若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)；
②若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数；
③若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数；
④若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数．
其中正确的个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
[解析] ①正确；②错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；③正确；④错误，反例：f(x)＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．
[答案] B
5．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数B．偶函数
C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
[解析] ∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.
∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
[答案] A
二、填空题
6．奇函数f(x)的定义域是(t,2t＋3)，则t＝________.
[解析] 由奇函数f(x)的定义域关于原点对称，知t＋2t＋3＝0，得t＝－1.
[答案] －1
7．函数f(x)＝x3＋ax，若f(1)＝3，则f(－1)的值为________．
[解析] ∵x∈R，且f(－x)＝－x3－ax＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
[答案] －3
8．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
[解析] 由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
[答案] －5
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(x2＋x,x＋1)；
(2)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2)；
(3)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1.
[解] (1)由x＋1≠0，得f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以函数f(x)＝eq \f(x2＋x,x＋1)不具有奇偶性．
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x2≥0，,|x＋2|≠2，))∴－1≤x≤1且x≠0，
∴定义域为{x|－1≤x≤1，且x≠0}．
∴f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)，
∴f(－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)的定义域为R，
f(－x)＝x2＋|x－a|＋1.
又f(x)＝x2＋|x＋a|＋1，
当a＝0时，f(－x)＝f(x)，此时f(x)为偶函数；
当a≠0时，|x－a|≠|x＋a|，此时f(x)不具有奇偶性．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
[解] (1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.

(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
综合运用
11．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
[解析] ∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；
对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．
综上，选D.
[答案] D
12．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4B．3
C．2D．1
[解析] 由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.
[答案] B
13．若函数f(x)＝eq \f(x,2x＋1x－a)为奇函数，则a等于________．
[解析] 函数f(x)的定义域为{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x≠－\f(1,2)，且x≠a)).
又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝eq \f(1,2).
[答案] eq \f(1,2)
14．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
[解析] 因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.
[答案] 5
15．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
[解] (1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，
所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.