16.3.2 二次根式的混合运算 教案

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16.3.2 二次根式的混合运算 教案教学目标1．类比整式及数的混合运算进行二次根式的混合运算．2．正确地进行二次根式的混合运算和求含有二次根式的代数式的值．教学重难点重点：掌握二次根式的混合运算的方法．难点：会用二次根式的混合运算法则进行有关的计算．教学过程导入计划在甲、乙两个城市间修建一条城际铁路，其中有一段路基的横断面设计为上底宽4eq \r(2) m、下底宽6eq \r(2) m、高eq \r(6) m的梯形．已知这段路基长500 m，那么这段路基的土石方(即路基的体积，路基的体积＝路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米？探究新知探究点　二次根式的混合运算 类型一　二次根式的混合运算【例1】计算：(1)eq \r(3)(eq \r(6)＋eq \r(8))；(2)(4eq \r(3)－3eq \r(6))÷2eq \r(3)；(3)(eq \r(6)＋2)(eq \r(6)－3)；(4)(5＋eq \r(7))(5－eq \r(7))；(5)(eq \r(5)＋2)2；(6)(2eq \r(3)－eq \r(2))2.【解析】根据单项式乘单项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式的法则及乘法公式进行计算．【解】(1)原式＝eq \r(18)＋eq \r(24)＝3eq \r(2)＋2eq \r(6)(2)原式＝4eq \r(3)÷2eq \r(3)－3eq \r(6)÷2eq \r(3)＝2－eq \f(3,2)eq \r(2).(3)原式＝6－3eq \r(6)＋2eq \r(6)－6＝－eq \r(6).(4)原式＝52－(eq \r(7))2＝25－7＝18.(5)原式＝5＋4eq \r(5)＋4＝9＋4eq \r(5).(6)原式＝12－4eq \r(6)＋2＝14－4eq \r(6).【方法总结】二次根式的混合运算顺序与实数类似，先乘方，再乘除，最后加减．在二次根式的混合运算中，每一个二次根式可看成一个“单项式”，多个非相同被开方数的最简二次根式之和可以看成一个“多项式”，因此整式运算法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用．类型二　求二次根式的整数部分和小数部分的运算【例2】已知7＋eq \r(5)和7－eq \r(5)的小数部分分别为a，b，试求代数式ab－a＋4b－3的值．【解析】先明确eq \r(5)的整数部分是2，表示出7±eq \r(5)的整数部分，再由7＋eq \r(5)＝9＋a，7－eq \r(5)＝4＋b，可求得a，b的值，最后代入计算即可．【解】∵eq \r(5)的整数部分为2，∴7＋eq \r(5)＝9＋a，7－eq \r(5)＝4＋b，解得a＝－2＋eq \r(5)，b＝3－eq \r(5)，∴ab－a＋4b－3＝(－2＋eq \r(5))×(3－eq \r(5))－(－2＋eq \r(5))＋4×(3－eq \r(5))－3＝－11＋5eq \r(5)＋2－eq \r(5)＋12－4eq \r(5)－3＝0.【方法总结】先估算出二次根式的整数部分，再用二次根式减去整数部分，得出小数部分，最后把a，b的值代入求值．类型三　二次根式的化简求值【例3】已知x＝2－eq \r(3)，则x2－4x－3的值为________．【解析】先利用已知条件得x－2＝－eq \r(3)，然后利用整体代入的方法计算即可．∵x＝2－eq \r(3)，∴x－2＝－eq \r(3)，∴x2－4x－3＝(x－2)2－7＝(－eq \r(3))2－7＝3－7＝－4.【解】－4【方法总结】二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．当堂训练1．计算：(1)(eq \r(2)＋1)(eq \r(2)－1)＋eq \r(2)×eq \r(8)；(2)÷eq \r(27).2．已知x＝2＋eq \r(3)，y＝2－eq \r(3)，求x2＋y2－xy－5x－5y的值．3．若eq \f(1,3－\r(7))的整数部分是a，小数部分是b，求a2＋(1＋eq \r(7))ab的值．答案1．解：(1)原式＝2－1＋eq \r(2×8)＝1＋4＝5.(2)原式＝÷3eq \r(3)＝eq \f(2,3)＋eq \f(\r(2),12).2．解：∵x＝2＋eq \r(3)，y＝2－eq \r(3)，∴x y＝(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝4－3＝1，x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝(2＋eq \r(3)＋2－eq \r(3))2－2×1＝16－2＝14，∴x2＋y2－x y－5x－5y＝14－1－5(x＋y)＝13－5(2＋eq \r(3)＋2－eq \r(3))＝13－20＝－7.3．解：eq \f(1,3－\r(7))＝eq \f(3＋\r(7),（3－\r(7)）（3＋\r(7)）)＝eq \f(3＋\r(7),2).∵2＜eq \r(7)＜3，∴5＜3＋eq \r(7)＜6，∴2.5＜eq \f(3＋\r(7),2)＜3.∵eq \f(1,3－\r(7))的整数部分是a，小数部分是b，∴a＝2，b＝eq \f(3＋\r(7),2)－2＝eq \f(\r(7)－1,2)，∴a2＋(1＋eq \r(7))ab＝22＋(1＋eq \r(7))×2×eq \f(\r(7)－1,2)＝4＋(7－1)＝4＋6＝10板书设计二次根式的混合运算1．二次根式的混合运算的法则及公式的运用．2．例3、例4讲解．课堂小结本节课学习了二次根式的混合运算的法则，掌握混合运算的顺序，能够正确地进行混合运算．二次根式的四则混合运算应注意以下几点(1)运算顺序与有理式的运算顺序相同 ;(2)运算律仍然适用 ;(3)与多项式的乘法和因式分解类似 , 可以利用 乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算 .教学反思在二次根式的混合运算中，让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系．在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．学会进行二次根式的加、减、乘、除的混合运算，对用换元法、公式法等解决二次根式的化简问题还有待加强．