人教版 九年级上册 第22章 22.1二次函数图像与性质同步强化测试卷A

人教版 九年级上册 章22章 22.1二次函数第图像与性质

同步强化测试卷A

答案解析

一．选择题：（30分）

1.已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．

【解答】解：②④是二次函数，共2个，

故选：B．

2.抛物线y=-(x +2)2-3的顶点坐标是(    )

A.(2,- 3)       B.(- 2,3)       C. (2,3)      D.(一2,- 3)

答案 D

3.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线(   )

A.y=(x+3)2-1                 B.y=(x+3)2+3

C.y=(x-3)2-1                 D.y=(x-3)2+3

答案  C

4.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＝y2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y3 D．y3＜y1＝y2

【解析】解：当x＝0时，y1＝1+h，

当x＝2时，y2＝1+h，

当x＝3时，y3＝4+h，

∵1+h＝1+h＜4+h，

∴y1＝y2＜y3，

故选：A．

5.函数y＝x2﹣6x+9向左平移m个单位后其图象恰好经过坐标原点，则m的值为（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3

【解析】解：∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，

∴向左平移m个单位后的函数解析式为y＝（x﹣3+m）2，

∵函数图象经过坐标原点，

∴（0﹣3+m）2＝0，

解得m＝3．

故选：C．

6.对二次函数yx2+2x+3的性质描述正确的是（　　）

A．该函数图象的对称轴在y轴左侧 

B．当x＜0时，y随x的增大而减小 

C．函数图象开口朝下 

D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴

【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断．

【解答】解：A、yx2+2x+3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意；

B、因yx2+2x+3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；

C、a0，开口向上，故C不符合题意；

D、x＝0是y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；

故选：A．

7.已知抛物线经过点（0，4），（1，﹣1），（2，4），那么它的对称轴是直线（　　）

A．x=﹣1 B．x=1 C．x=3 D．x=﹣3

【解答】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，

把点（0，4），（1，﹣1），（2，4）代入可得，解得，

则二次函数解析式为y=5x2﹣10x+4=5（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1．

故选：B．

8.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）

A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x2

【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；

那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．

则﹣2=4a

即得a=﹣，

那么y=﹣x2．

故选：C．

9.已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围（　　）

A．﹣2≤a B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a D．0≤a≤2

【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当x时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6，b）两点，得x＝a+3时取最小值，根据1≤m≤2，进而可得a的取值范围．

【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），

∴y＝x2﹣（m+1）x+m，

∴当x时取最小值，

∵函数过（a，b）和（a+6，b）两点，

∴xa+3时取最小值，

∴a+3，

∴m＝2a+5，

方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1，

又函数过（a，b）和（a+6，b），

所以对称轴x＝（a+a+6）÷2＝a+3，

得出m＝2a+5

∵1≤m≤2，

∴1≤2a+5≤2，

解得﹣2≤a．

故选：A．

10.已知关于x的二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，则该二次函数的最小值是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

【分析】先将二次函数写成顶点式，得出对称轴及开口方向，根据抛物线开口向上时离对称轴越远函数值越大，可知当x＝﹣1时，y＝7，从而可解得m的值；再根据抛物线的顶点式可得其最小值．

【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m

＝（x﹣2）2+m﹣4，

∴对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，

∵二次函数在﹣1≤x≤3的取值范围内最大值7，

当x＝﹣1时，y＝7，

∴7＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m，

解得：m＝2，

∴当x＝2时，该二次函数有最小值，最小值为0+2﹣4＝﹣2．

故选：A．

二，填空题：（24分）

11.若函数是关于x的二次函数，则a的值为　 　．

【分析】根据二次函数定义可得|a2+1|＝2且a+1≠0，求解即可．

【解答】解：∵函数是关于x的二次函数，

∴|a2+1|＝2且a+1≠0，

解得a＝1，

故答案为：1．

12.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　   　．

【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，

将B（1，0）代入y=a（x﹣2）2+1得，

a=﹣1，

函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，

展开得y=﹣x2+4x﹣3．

故答案为y=﹣x2+4x﹣3．

13.若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac　  　0（填写“＞”或“＜”或“＝”）

【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．

【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，

∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，

∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，

故答案为＜．

14.请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式　       　．

【解答】解：因为开口向上，所以a＞0

∵对称轴为直线x=2，

∴﹣=2

∵y轴的交点坐标为（0，3），

∴c=3．

答案不唯一，如y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．

15.如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于     

A．8 B．14 C．8或14 D．﹣8或﹣14

【解题思路】根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．

【解答过程】解：根据题意±3，

解得c＝8或14．

16.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为　           　．

【解题思路】把抛物线y＝x2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可．

【解答过程】解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，

∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），

令x＝0，则y＝3，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），

∵抛物线绕与y轴的交点旋转180°，

∴所得抛物线的顶点坐标为（1，4），

∴所得抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4]．

故答案为：y＝﹣x2+2x+3[或y＝﹣（x﹣1）2+4]．

三．解答题（66分）

17.（6分）已知二次函数y=2x2 -4x.

(1)求它的开口方向、对称轴和顶点坐标;

(2)判断点A(-1,6)是否在此二次函数的图象上

解:(1) y=2x2- 4x=2(x-1)2-2，

∴抛物线的开口方向向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,- 2).

(2)当x=-1时,y=2X(-1)2+4=6，

点A(-1,6)在此二次函数的图象上

18.（8分）求出符合条件的二次函数解析式：

（1）二次函数图象经过点（﹣1，0），（1，2），（0，3）；

（2）二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，6），且经过点（﹣2，10）；

（3）二次函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），与y轴交点的纵坐标为9．

【解答】解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，

根据题意得，解得，

所以二次函数解析式为y=﹣2x2+x+3；

（2）二次函数解析式为y=a（x+3）2+6，

把（﹣2，10）代入得a×（﹣2+3）2+6=10，解得a=4，

所以二次函数解析式为y=4（x+3）2+6；

（3）设二次函数解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

把（0，9）代入得a×1×（﹣3）=9，解得a=﹣3，

所以二次函数解析式为y=﹣3（x+1）（x﹣3）=﹣3x2+6x+9．

19.（8分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C（0，﹣2），过点A、C画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长．

【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（2，0），

∴设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）（x+1）（a≠0）．

将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0﹣2）（0+1），

解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）（x+1），即y=x2﹣x﹣2；

（2）如图．由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2，则C（0，﹣2）．

设OP=x，则PA=PC=x+1，

在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，

解得，x=，即OP=．

20.（10分）已知抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．

（1）求a的值；

（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜4）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．

【解析】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣4）2+2经过点（2，﹣2）．

∴﹣2＝a（2﹣4）2+2，

解得a＝﹣1；

（2）∵y＝﹣（x﹣4）2+2，

∴抛物线对称轴为直线x＝4，

∵a＝﹣1＜0，

∴当x＜4时，x随着y的增大而增大，

∵m＜n＜4，

∴A、B在对称左侧，

∴y1＜y2．

21.（10分）如图，抛物线经过，两点，点为抛物线的顶点，连接，点为的中点请解答下列问题：
 

求抛物线的解析式及顶点的坐标

在轴上找一点，使的值最小，则的最小值

解：抛物线经过点，，

解得

抛物线的解析式为．

．

．

 
理由：，，

的中点的坐标为，其关于轴的对称点的坐标为．

连接与轴交于点，则最小，且最小值为

22.（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣1，0）、B（2，3）两点，与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求△ABD的面积；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，

得，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴点D（1，4），

设直线AB的解析式为：y＝kx+d，

代入A、B两点，

得：，

解得：，

∴直线AB的解析式为y＝x+1，

设直线AB与抛物线对称轴交于点E，则E（1，2），

∴；

（3）存在，理由如下：

设点P（1，m），

∴AC2＝12+32＝10，CP2＝12+（m﹣3）2＝m2﹣6m+10，AP2＝m2+4，

△ACP是直角三角形需分三种情况讨论：

①当∠APC＝90°时，AP2+CP2＝AC2，即m2+4+m2﹣6m+10＝10，

解得：m1＝1，m2＝2，

此时点P的坐标为（1，1）或（1，2）；

②当∠ACP＝90°时，AC2+CP2＝AP2，即10+m2﹣6m+10＝m2+4，

解得：，

此时点P的坐标为；

③当∠PAC＝90°时，AP2+AC2＝PC2，即m2+4+10＝m2﹣6m+10，

解得：，

此时点P的坐标为；

综上所述，满足条件的P点的坐标为（1，1）或（1，2）或或．

23．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．

（1）该抛物线的对称轴为　x＝﹣1　；

（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；

（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．

【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4．

∴对称轴为直线x＝＝﹣1，

故答案为：直线x＝﹣1；

（2）y＝ax2+2ax+3a2﹣4

＝a（x+1）2+3a2﹣a﹣4，

∵抛物线顶点在x轴上，

即当x＝﹣1时，y＝0，

∴3a2﹣a﹣4＝0，

解得．

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣1或．

（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，

∴N（2，y2）关于直线x＝﹣1的对称点为N’（﹣4，y2）．

（ⅰ）当a＞0时，若y1＞y2，则m＜﹣4或m＞2；

（ⅱ）当a＜0时，若y1＞y2，则﹣4＜m＜2．