还剩52页未读，
继续阅读
二次函数的图象和性质人教版九年级数学上册习题课件
展开
这是一份二次函数的图象和性质人教版九年级数学上册习题课件，共60页。
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质目标二 二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2间的关系
答案显示
C
C
①②④
D
C
见习题
见习题
1．【2020·广东】把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为( ) A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－3
C
2．【2020·哈尔滨】将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线对应的函数解析式为( )A．y＝(x＋3)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5C．y＝(x＋5)2＋3 D．y＝(x－5)2＋3
D
3．【2020·衢州】二次函数y＝x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是( )A．向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度B．向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度C．向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度D．向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度
C
4．【2020·南京】下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上．其中所有正确结论的序号是________．
【点拨】①∵二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)与函数y＝－x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y＝－(x－m)2＋m2＋1中，令x＝0，则y＝－m2＋m2＋1＝1，∴该函数的图象一定经过点(0，1)，故结论②正确；③∵y＝－(x－m)2＋m2＋1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；④易知二次函数图象的顶点坐标为(m，m2＋1)．∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上，故结论④正确．
【答案】①②④
5．【2019·雅安】在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是( )A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x 值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到
C
6．如图，在▱ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线y＝a(x－h)2＋k经过x轴上的点A，B.
(1)求点A，B，C的坐标；
解：在▱ABCD中，CD∥AB，且CD＝AB＝4，∴点C的坐标为(4，8)．设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AH＝BH＝2，∴点A，B的坐标为A(2，0)，B(6，0)．
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
解：抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋8，把A(2，0)的坐标代入解析式中，解得a＝－2，设平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2＋8＋m，把点(0，8)的坐标代入平移后的解析式，得m＝32.∴平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2＋40.
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质目标二 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2间的关系
答案显示
A
A
B
A
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
A
2．抛物线y＝－3x2向左平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为( )A．y＝－3(x＋2)2 B．y＝－3(x－2)2C．y＝－3x2＋2 D．y＝－3x2－2
A
3．对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线y＝－(x－h)2的相同点是( )A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同C．顶点相同 D．都有最低点
A
4．对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；③当x>0时，y都随着x的增大而增大；④它们图象的开口的大小是一样的．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】二次函数y＝3x2＋1的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x>0时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)，当x>1时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.
【答案】B
5．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2的都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的相同． (1)求这条抛物线的解析式；
解：由题意知，这条抛物线的解析式为y＝3(x＋2)2.
(2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式．
解：将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式为y＝3(x－2)2.
6．已知抛物线y＝－3x2，若抛物线不动，把y轴向左平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为________________．
y＝－3(x－2)2
【点拨】由题意，可把y轴向左平移2个单位长度看作坐标轴不动，抛物线向右平移2个单位长度，然后利用平移规律求解即可．
7．如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为(1，0)． (1)求点D的坐标；
解：∵B(1，0)，点A在抛物线y＝x2上，∴A(1，1)．又∵正方形ABCD中，AD＝AB＝1，∴D(2，1)．
(2)将抛物线y＝x2沿x轴适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的解析式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？
解：∵原抛物线y＝x2经过点O(0，0)，∴原抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线y＝(x－1)2经过点B(1，0)．在y＝(x－1)2中，令x＝2，则y＝(2－1)2＝1，故点D在新抛物线上．
8．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)写出点A，点B的坐标．
解：在y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4.∴点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB.
(3)求出抛物线的对称轴．
解：抛物线的对称轴为直线x＝－2.
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．①以OA和OB为邻边可作平行四边形PAOB，易求得P(－2，4)；②以AB和OB为邻边可作平行四边形PABO，易求得P(－2，－4)．∴点P的坐标为(－2，4)或(－2，－4)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质目标二 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
答案显示
A
D
D
D
A
C
见习题
B
答案显示
见习题
1．【中考·河南】在二次函数y＝－x2＋2x＋1中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( ) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜－1 D．x＞－1
A
2．若点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
D
3．已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－2
D
4．【2020·成都】关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)D．y的最小值为－9
D
5．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
A
6．【2020·恩施州】如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－1；③2a＋c＝0；④a－b＋c＞0.其中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】 C
7．【2020·襄阳】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选B.
【答案】 B
8．【2020·宁波】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)． (1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)．∵抛物线的对称轴为直线x＝2，B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)．∴当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．
解：易知D的坐标为(0，－3)，∴要使点D恰好落在点A的位置，则抛物线就要向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得平移后抛物线的解析式为y＝－(x－4)2＋5.
(3)如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质目标二 二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2间的关系
答案显示
y＝x2＋3
A
D
D
A
见习题
见习题
见习题
1．【2020·上海】如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是________．
y＝x2＋3
2．二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )A．抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
D
3．将抛物线y＝2x2＋3平移后得到抛物线y＝2x2，平移的方法可以是( )A．向下平移3个单位长度B．向上平移3个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
A
D
【点拨】把阴影部分分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．
【答案】A
【点拨】二次函数图象平移的规律：上加下减；左加右减．本题易因对平移变化规律理解不透彻而致错．
(2)画出抛物线y＝ax2＋c.
略．
8．【2019·安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点． (1)求k，a，c的值；
解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.∴一次函数为y＝－2x＋4.又∵二次函数图象的顶点为(0，c)，且该顶点是另一个交点，∴将其坐标代入y＝－2x＋4，得c＝4.把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数目标二 建立二次函数的模型
答案显示
C
A
B
D
D
见习题
见习题
C
1．据省统计局公布的数据，安徽省某年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数解析式是( )A．y＝7.9(1＋2x)B．y＝7.9(1－x)2C．y＝7.9(1＋x)2D．y＝7.9＋7.9(1＋x)＋7.9(1＋x)2
2．把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为( )A．y＝320(x－1) B．y＝320(1－x)C．y＝160(1－x2) D．y＝160(1－x)2
D
3．长方形的长为10 cm、宽为6 cm，它的各边都减少x cm，得到的新长方形的周长为y cm，则y与x之间的关系式是( )A．y＝32－4x(0A
【答案】 B
D
6．如图，用长为45 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20 m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2)． (1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如果要围成面积为162 m2的花圃，AB的长为多少米？
7．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162－3x. (1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式．
解：由题意得，每件商品的销售利润为(x－30)元，那么m件的销售利润为y＝m(x－30)．又∵m＝162－3x，∴y＝(x－30)(162－3x)，即y＝－3x2＋252x－4 860.∵x－30≥0，∴x≥30.又∵m≥0，∴162－3x≥0，即x≤54.∴30≤x≤54.∴所求关系式为y＝－3x2＋252x－4 860(30≤x≤54)．
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
解：不能．理由：由(1)得y＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500>432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质目标一 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
答案显示
A
B
C
C
C
D
见习题
D
1．【2019·衢州】二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( )A．(1，3) B．(1，－3)C．(－1，3) D．(－1，－3)
A
2．二次函数y＝(x＋1)2－1的大致图象是( )
C
3．设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A．(1，0) B．(3，0)C．(－3，0) D．(0，－4)
B
4．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
C
5．【2020·杭州】设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( )A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
C
【点拨】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a(9－2h)＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
6．【2020·甘孜州】如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )A．a＜0B．图象的对称轴为直线x＝－1C．点B的坐标为(1，0)D．当x＜0时，y随x的增大而增大
D
【点拨】根据m≤x≤n，且mn＜0，得出m＜0＜n，进而根据图象分成m≤x≤n＜1和m≤x≤n且n≥1两种情况讨论．
D
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围；
(3)作直线AC与y轴相交于点D，当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
解：∵点A与点C不重合，∴m≠1.∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4)，∴抛物线的顶点在直线y＝4上，
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质目标一 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
答案显示
B
C
B
A
D
A
y3＜y1＜y2
D
答案显示
见习题
见习题
1．抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( ) A．(－2，0) B．(2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
B
2．【中考·兰州】在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
A
3．对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( )
B
5．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是( )A．其图象的开口向上B．其图象的对称轴是直线x＝3C．其图象的顶点坐标是(0，3)D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
D
6．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是( )A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
A
7．已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( ) A．－12 B．12 C．32 D．－32
【点拨】由二次函数y＝a(x－h)2的性质可知二次函数y＝－2(x＋m)2的图象的对称轴为直线x＝－m，根据题意，可知x＝－m＝－3.所以m＝3.即二次函数的解析式为y＝－2(x＋3)2，所以当x＝1时，y＝－32.故选D.
D
8．已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝a(x＋1)2(a＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．
【点拨】利用二次函数图象的对称性，将已知点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小．
y3＜y1＜y2
9．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA. (1)求抛物线的解析式；
解：由题意知，顶点A的坐标是(－1，0)，∴OA＝1.∵OA＝OB，∴OB＝1，即B(0，－1)，把点B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2中，解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)2.
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求b的值；
解：把点C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2中，得b＝－4，∴b的值是－4.
(3)若点D(2，y1)，E(3，y2)在此抛物线上，比较y1与y2的大小．
解：∵对称轴是直线x＝－1，－1＜2＜3，∴y1＞y2.
10．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． (1)求a的值．
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即y＝x2－2ax＋a2.∵OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，a2)，∴a2＝a.∵a≠0，∴a＝1.
(2)图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质目标一 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
答案显示
B
A
A
D
C
C
见习题
见习题
答案显示
见习题
1．【中考·山西】用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
B
2．【2019·济宁】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
D
3．【2020·孝感】将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为( ) A．y＝－x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2－2 D．y＝x2＋2
【答案】 A
【点拨】∵抛物线C1：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴抛物线C1的顶点为(1，2)．∵将抛物线C1向左平移1个单位长度得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为(0，2)．∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3的开口方向与抛物线C2的相反，顶点为(0，－2)．∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2，故选A.
4．抛物线y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( )A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)B．开口向下，顶点坐标为(1，4)C．开口向上，顶点坐标为(1，4)D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
A
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是( )A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【点拨】y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(2，4)，∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选C.
【答案】 C
6．【2020·泰安】在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )
C
7．【2019·荆州改编】二次函数y＝－2x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式是________________．
【点拨】将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k时，易在配方时忽略二次项系数而致错．
y＝－2(x＋1)2＋7
8．【2020·温州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)． (1)求a，b的值；
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
9．【2020·北京】在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2. (1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时， y1＝y2＝c；
解：∵y1＝y2＝c，∴x1＝0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴M，N关于直线x＝1对称，∴x2＝2，∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c.
(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质目标一 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
答案显示
C
D
C
C
B
A
见习题
C
答案显示
见习题
C
2．函数y＝－x2＋3与y＝－x2－2的图象的不同之处是( )A．对称轴 B．开口方向C．顶点 D．形状
C
3．【中考·泰安】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )
D
4．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )A．最小值为2B．图象与x轴没有公共点C．当x<0时，y随x的增大而增大D．图象的对称轴是y轴
C
5．二次函数y＝ax2＋k的图象上有两点A(－3，y1)、B(1，y2)，且y2＞y1，则a的取值范围是( )A．a＞0 B．a＜0C．a≥0 D．a≤0
B
6．点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y1＜y3
A
7．二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤5
【点拨】求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值．
C
8．求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式： (1)抛物线y＝ax2－1过点(1，2)；
解：将点(1，2)的坐标代入y＝ax2－1，得2＝a－1，解得a＝3.∴y＝3x2－1.
(2)抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0，1)．
解：∵抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝－1.将点(0，1)的坐标代入y＝－x2＋c，得c＝1.∴y＝－x2＋1.
9．如图，已知正比例函数y＝2x的图象与抛物线y＝ax2＋3相交于点A(1，b)． (1)求a与b的值；
解：把点A(1，b)的坐标代入y＝2x中，得b＝2，∴A(1，2)．把点A(1，2)的坐标代入y＝ax2＋3中，得a＝－1.
(2)若点B(m，4)在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2＋3的顶点是C，求△ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一个动点，求当PA＋PC最小时点P的坐标．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数目标一 认识二次函数
答案显示
C
B
B
C
D
C
C
C
答案显示
见习题
见习题
C
C
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )A．m≠－2 B．m≠2C．m≠3 D．m≠－3
B
4．若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是( )A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
B
5．把二次函数y＝－(x＋3)(x＋4)＋11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为( )A．－1，－1 B．－1，1C．－1，7 D．－1，－7
D
6．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10C．一次项是100 D．常数项是20 000
C
【点拨】本题易忽略二次根式有意义的条件，误认为x等于1，2，3，而错选D.
C
8．如果函数y＝(m－2)xm2－2＋2x－7是二次函数，则m的取值范围是( )A．m＝±2 B．m＝2C．m＝－2 D．m为全体实数
【答案】 C
【点拨】求二次函数中字母系数的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中，往往容易忽略二次项系数不为0这个条件，只是从自变量的最高次数是2入手列方程求出a的值，从而得出错解．
9．已知函数y＝(a＋3)xa2＋a－4＋(a＋2)x＋3. (1)当a为何值时，y为x的二次函数？
解：根据题意得a＋3≠0且a2＋a－4＝2，解得a＝2，即当a为2时，y是x的二次函数．
(2)当a为何值时，y为x的一次函数？
10．已知二次函数y＝3(x－1)2＋2. (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c 的值；
解：y＝3(x－1)2＋2＝3x2－6x＋5.其中a＝3，b＝－6，c＝5.
(2)当x＝6时，求y的值；
解：当x＝6时，y＝3×(6－1)2＋2＝77.
(3)当y＝77时，求x的值．
解：当y＝77时，即3(x－1)2＋2＝77，解得x＝6或x＝－4.
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第1课时 二次函数
答案显示
C
B
B
D
C
B
D
C
答案显示
B
B
－2
见习题
C
见习题
见习题
见习题
C
C
3．下列各式中，y是x的二次函数的是( )A．y＝ax2＋bx＋c B．x2＋y－2＝0C．y2－ax＝2 D．x2－y2＋1＝0
B
4．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )A．m≠－2 B．m≠2C．m≠3 D．m≠－3
B
5．若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是( )A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
B
6．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( )A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
D
7．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是( )A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
D
8．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10C．一次项是100 D．常数项是20 000
C
【点拨】本题易忽略二次根式有意义的条件，误认为x等于1，2，3，而错选D.
C
10．某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是( )A．y＝60(1＋x)2B．y＝60＋60(1＋x)＋60(1＋x)2C．y＝60(1＋x)＋60(1＋x)2D．y＝60＋60(1＋x)
B
【答案】B
12．当a＝________时，函数y＝(a－2)xa2－2＋ax－1是二次函数．
【易错总结】求二次函数中字母系数的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中，往往容易忽略二次项系数不为0这个条件，只是从自变量的最高次数是2入手列方程求出a的值，从而得出错解．
【答案】－2
13．某商店以每副42元的价格购进一种手套，根据试销得知这种手套每天的销售量t(副)与每副的售价x(元)之间可以看成一次函数关系：t＝－4x＋204.请写出每天的销售利润y(元)与每副的售价x(元)之间的函数解析式，并确定自变量x的取值范围．
【点拨】本题最终要求的是y与x之间的函数解析式，即式子中不应该含有t，因此在运算过程中，应利用t与x之间的关系将t代换掉．
解：y＝(x－42)t＝(x－42)(－4x＋204)，即y＝－4x2＋372x－8 568.因为每副手套的进价为42元，所以x≥42.而t≥0，故－4x＋204≥0，即x≤51.所以自变量x的取值范围为42≤x≤51.
14．观察如图所示图形的构成规律．(1)如果第n个图中有S个圆，试写出S与n的函数解析式；(2)这个函数是不是二次函数？
解：S＝n2＋1.
是二次函数．
15．某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，设计费为每平方米1 000元，设矩形一边的长为x m，面积为S m2.(1)求S与x之间的函数解析式，并确定自变量x的取值范围；
(2)若要求设计的广告牌的边长为整数，请你填写下表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
1
2
3
4
5
5
8
9
8
5
5000
8000
9000
8000
5000
由表格可得，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
16．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上．设AE＝x，正方形EFGH的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若正方形EFGH的面积为2，求AE的长．
解：y＝2x2－4x＋4.
令y＝2，则2x2－4x＋4＝2，整理得x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，即AE的长为1.
22.1 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
(1)a≠2 (2)a＝2，b≠－2
5
ax2＋bx＋c (1)整式 (2)2 (3)不为0
自变量；一次项系数
6
7
8
9
D
D
审清；等量关系；二次函数
10
A
C
B
B
11
12
13
见习题
14
15
见习题
答案显示
见习题
见习题
见习题
1．一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．一个函数是二次函数，经过整理后必须同时满足以下三个条件：(1)关于自变量的式子是__________；(2)自变量的最高次数是__________；(3)二次项系数__________．
ax2＋bx＋c
整式
2
不为0
2．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当________时，x，y之间是二次函数关系；(2)当____________时，x，y之间是一次函数关系．
a≠2
a＝2，b≠－2
3．下列各式中，y是x的二次函数的是( )
C
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
【点拨】注意二次项系数不为0.根据二次函数的定义得m2＋1＝2且m－1≠0，解得m＝－1.
B
5．任何一个二次函数的解析式都可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，其中x是__________，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、_______________和常数项．
自变量
一次项系数
6．已知二次函数y＝2－3x＋x2，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c为( )A．a＝2，b＝－3，c＝1 B．a＝2，b＝3，c＝1C．a＝1，b＝3，c＝2 D．a＝1，b＝－3，c＝2
D
7．(中考·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象一定经过点( )A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，1)
D
【点拨】由题意得，二次函数的图象经过的定点坐标与m值无关，即把x值代入函数解析式后，含有m的项不存在．y＝x2－(2－m)x＋m＝m(x＋1)＋x2－2x，∴x＋1＝0，即x＝－1.∴当x＝－1时，y＝1＋2－m＋m＝3.∴二次函数的图象过定点(－1，3)．
*8.无论m为何实数，二次函数y＝x2－(2－m)x＋m的图象总是过定点( )A．(－1，3) B．(1，0) C．(1，3) D．(－1，0)
A
9．建立二次函数的模型一般经过____________题意，找______________，列_____________解析式这三个步骤．
审清
等量关系
二次函数
10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么销售该商品所赚利润y(元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式为( )A．y＝－10x2－560x＋7 350 B．y＝－10x2＋560x－7 350C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7 350
B
11．(教材P29练习T2变式)一块矩形的草地，长是10 m，宽是8 m，若将长增加2x m，宽减少x m，设增加的面积为y m2.(1)写出y与x之间的函数关系式；
解：y＝(10＋2x)(8－x)－10×8＝－2x2＋6x.
解：当y＝4时，－2x2＋6x＝4，解得x1＝1，x2＝2.故x的值是1或2.
(2)若要使草地的面积增加4 m2，求x的值．
12．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；
解：若y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1是关于x的二次函数，则m2－m≠0，解得m≠0且m≠1.∴m可以是除了1和0的所有实数．
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的值．
13．某商场每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，这种商品每降价1元，其销量可增加10件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利多少元．
解：商场经营该商品原来一天可获利100×(100－80)＝2 000(元)．
解：依题意，得(100－80－x)(100＋10x)＝2 160，即x2－10x＋16＝0，解得x1＝2，x2＝8.因为要尽量减少库存，所以x应取8，即每件商品要降价8元．
(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利y元．①若商场经营该商品一天要获利2 160元，则每件商品要降价多少元？
解：依题意，得y＝(100－80－x)(100＋10x)＝－10x2＋100x＋2 000.
②求y与x之间的函数关系式．
14．如图，用长为45 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20 m)，围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2)．(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如果要围成面积为162 m2的花圃，AB的长为多少米？
15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，一点到达终点后，另一点随即停止运动，设运动时间为x s，△PBQ的面积为y cm2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
【思路点拨】根据图形，结合三角形的面积公式建立函数关系式；根据函数关系式和条件建立一元二次方程，解方程即可解决问题．
(2)当x为多少时，△PBQ的面积为4 cm2?
解：当y＝4时，可得－x2＋5x＝4，解得x1＝1，x2＝4(舍去)．∴当x＝1时，△PBQ的面积为4 cm2.
(3)△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．
解：不能．理由如下：由－x2＋5x＝7，得x2－5x＋7＝0.∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0，∴此方程无实数根．∴△PBQ的面积不能等于7 cm2.
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
答案显示
A
C
D
B
D
C
C
A
答案显示
见习题
见习题
A
1．二次函数y＝2x2的图象大致是( )
2．二次函数y＝－3x2的图象一定经过( )A．第一、二象限 B．第三、四象限C．第一、三象限 D．第二、四象限
B
3．关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( )A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
C
4．【2019·呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
D
5．下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是( )A．图象的对称轴是y轴B．图象的顶点是原点C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．y有最大值
D
6．【中考·连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
C
A
8．已知抛物线y＝ax2与y＝4x2的形状相同，则a的值是( ) A．4 B．－4 C．±4 D．1
C
【点拨】对于抛物线y＝ax2，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|相等说明抛物线的开口大小相同，即抛物线的形状相同，本题易忽略a＝－4而致错．
9．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数． (1)求m的值．
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
解：∵函数图象的开口向下，∴m＋3＜0.∴m＜－3.∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
解：∵函数有最小值，∴m＋3＞0.∴m＞－3.∴m＝1.∴当m＝1时，该函数有最小值．
10．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1，m)和B(－2，4)，与y轴交于点C. (1)求k，b，a的值；
(2)求△AOB的面积．
22.1 二次函数的图象和性质第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
D
5
y轴；原点；向上；向下；越小
A
6
7
8
9
D
(1)增大；减小；小 (2)减小；增大；大
D
10
B
B
C
B
11
12
13
见习题
答案显示
见习题
见习题
1．二次函数y＝ax2的图象是抛物线，对称轴是________，顶点是________．当a>0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的最高点．|a|越大，抛物线的开口________．
y轴
原点
向上
向下
越小
2．二次函数y＝2x2的图象的顶点坐标是( )A．(1，2) B．(0，2)C．(2，0) D．(0，0)
D
3．二次函数y＝－3x2的图象一定经过( )A．第一、二象限 B．第三、四象限C．第一、三象限 D．第二、四象限
B
4．关于函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( )A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
C
··
*5.(2020·南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是( )
【答案】A
*6.(2019·呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
【点拨】分a>0和a<0两种情况：当a>0时，y＝ax2的图象开口向上，y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限且过点(－1，0)；当a<0时，y＝ax2的图象开口向下，y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限且过点(－1，0)．综上可知，应选D.
【答案】D
7．二次函数y＝ax2的性质：(1)若a＞0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝0时，y取最______值0.(2)若a＜0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝0时，y取最______值0.
增大
减小
小
减小
增大
大
8．(2019·益阳)下列函数中，y总随x增大而减小的是( )A．y＝4xB．y＝－4xC．y＝x－4D．y＝x2
B
·
9．若a>2，点(a－2，y1)，(a＋3，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝－x2的图象上，则( )A．y1D
上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大”的是( )A．①③ B．③④C．②④ D．②③
【点拨】对于①③④，可利用性质判断．对于②，可利用特殊值法判断．分别令x等于1和2，求得y的值为3和1.5，不符合题目条件．
【答案】B
11．已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)．(1)求a，m的值；
(3)指出抛物线y＝ax2的顶点坐标和对称轴．
(2)写出二次函数的解析式，并指出x在何范围内，y随x的增大而减小；
解：二次函数的解析式为y＝x2.当x＜0时，y随x的增大而减小．
抛物线y＝x2的顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴．
12．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1，m)和B(－2，4)，与y轴交于点C.求：
(1)a，b，k的值；
(2)△AOB的面积．
13．如图①是某段河床横断面的示意图．
查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
解：如图所示．
(1)请你以表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在如图②所示的坐标系中画出y关于x的函数图象．
200
(2)①填写下表：
②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出y关于x的二次函数解析式：________________．
200
200
200
200
200
(3)当水面宽度为36 m时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m的货船能否安全通过该河段？为什么？
【思路点拨】根据所作图象判断函数类型，求出函数解析式，再利用此解析式解决实际问题．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
答案显示
C
D
B
B
A
B
D
C
答案显示
见习题
见习题
见习题
见习题
A
见习题
1．关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( )A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
C
2．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有( )①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过点(0，0)；④二次函数y＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图象开口向下；⑤它们的图象关于x轴对称．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
A
3．【2019·呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
D
*4.【2019·山西】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78 m(即最高点O到AB的距离为78 m)，跨径为90 m(即AB＝90 m)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )
【点拨】直接利用图象假设出抛物线解析式，将B(45，－78)代入得出答案．
【答案】B
5．【2019·益阳】下列函数中，y总随x增大而减小的是( )A．y＝4x B．y＝－4x C．y＝x－4 D．y＝x2
B
6．下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是( )A．图象的对称轴是y轴B．图象的顶点是原点C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．y有最大值
D
【答案】B
8．【中考·连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
C
【答案】A
10．已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．
错解：当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；当x＝4时，y＝42＝16.∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x2的最小值是1，最大值是16.
诊断：－1≤x≤4既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值y随x的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16，所以最大值为16.
正解：∵－1≤x≤4，∴当x＝0时函数y＝x2有最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16，最小值为0.
11．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值．
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
解：∵函数图象的开口向下，∴m＋3＜0.∴m＜－3.∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
解：∵函数有最小值，∴m＋3＞0.∴m＞－3.∴m＝1.∴当m＝1时，该函数有最小值．
12．根据下列条件分别求a的值或取值范围．(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．
解：由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1.又由题意知a＞0，∴a＝1.
13．已知函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3交于点A(1，b)．(1)求a和b的值．
解：把点A(1，b)的坐标代入y＝2x－3得b＝2×1－3＝－1，把点A(1，－1)的坐标代入y＝ax2得a＝－1.
(2)当x取何值时，二次函数y＝ax2(a≠0)中的y随x的增大而增大？
解：∵a＝－1，∴二次函数为y＝－x2，它的图象开口向下，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
(3)求二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3的另一个交点B的坐标．
14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝kx在第一象限内交于点A(2，4)．(1)求抛物线的函数解析式．
解：将A(2，4)的坐标代入y＝ax2得4＝4a，∴a＝1.∴抛物线的函数解析式为y＝x2.
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系．
22.1 二次函数的图象和性质第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
y＝x2＋3
5
相同；相同；|k|；(0，k)；y轴
D
6
7
8
9
C
A
D
10
(1)增大；减小；k (2)减小；增大；k
C
B
D
11
12
13
C
14
15
见习题
答案显示
见习题
B
见习题
1．二次函数y＝ax2＋k的图象与抛物线y＝ax2的开口方向________，形状________，只是位置不同；它可以由抛物线y＝ax2上下平移________个单位长度得到，顶点坐标是__________，对称轴是________．
相同
相同
|k|
(0，k)
y轴
2．(2020·上海)如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是__________．
y＝x2＋3
3．二次函数y＝x2＋1的图象大致是( )
C
4．与抛物线y＝－5x2－1的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是( )A．y＝－5x2－1B．y＝5x2－1C．y＝－5x2＋1D．y＝5x2＋1
B
5．(中考·成都)二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A．抛物线开口向下B．抛物线经过点(2，3)C．抛物线的对称轴是直线x＝1D．抛物线与x轴有两个交点
D
A．①②③ B．①③②C．②③① D．②①③
C
【点拨】比较二次函数图象的开口大小，可以比较二次项系数a的绝对值的大小，|a|越大，开口越小．
7．将抛物线y＝2x2＋3平移后得到抛物线y＝2x2，平移的方法可以是( )A．向下平移3个单位长度B．向上平移3个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
A
8．二次函数y＝ax2＋k的性质：(1)若a＞0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝0时，y取最小值______．(2)若a＜0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝0时，y取最大值______．
增大
减小
k
减小
增大
k
9．(中考·绍兴)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法正确的是( )A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0y2D．若x1y2
D
10．对于二次函数y＝2x2＋2，下列说法错误的是( )A．图象开口向上 B．图象的对称轴是y轴C．图象的顶点坐标是(0，2) D．y随x的增大而减小
D
··
11．关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法正确的是( )A．它的图象的开口方向是向上的B．当x＜－1时，y随x的增大而增大C．它的图象的顶点坐标是(－2，3)D．当x＝0时，y有最小值3
B
*12.二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤5
C
【点拨】结合二次函数的图象和性质来解．当x＝0时，y取最小值－3；当x＝2时，y取最大值5.所以当－1≤x≤2时，y的取值范围是－3≤y≤5.
(1)确定a，k的值；
略．
(2)画出抛物线y＝ax2＋k.
(1)求直线BC对应的函数解析式和点C的坐标；
(2)点P为抛物线上异于点C的一点，若S△PAB＝S△ABC，求点P的坐标．
15．(2019·安徽)一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1)求k，a，c的值；
解：将点(1，2)的坐标代入y＝kx＋4，得k＋4＝2，解得k＝－2.由题意得二次函数y＝ax2＋c的图象的顶点坐标为(0，4)，∴c＝4.把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
答案显示
D
C
D
D
B
D
C
A
答案显示
D
A
见习题
见习题
C
见习题
见习题
见习题
D
1．抛物线y＝2x2－3的顶点在( )A．第一象限 B．第二象限C．x轴上 D．y轴上
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0
B
C
4．【中考·泰安】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )
D
*5.【2019·宜宾】已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B，C两点，则下列结论不正确的是( )A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
【答案】D
【点拨】本题考查了二次函数和正比例函数图象、直角三角形的判定、等边三角形的判定，正确画图是关键．
6．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )A．最小值为2B．图象与x轴没有公共点C．当x<0时，y随x的增大而增大D．图象的对称轴是y轴
C
7．【中考·河池】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法正确的是( )A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0y2 D．若x1y2
D
8．点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y1＜y3
A
9．抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2 ( )得到的．A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
C
10．二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )A．抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
D
【点拨】把阴影部分分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．
【点拨】A
【点拨】二次函数图象平移的规律：上加下减；左加右减．本题易因对平移变化规律理解不透彻而致错．
略．
(2)画出抛物线y＝ax2＋c.
14．【中考·衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.(1)求抛物线的函数解析式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
(1)画出这个二次函数的图象及点A，B.
(2)求△AOB的面积．
(3)在这个函数图象上是否存在一点P，使△APB的面积是△AOB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．【2019·安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
(1)求k，a，c的值；
解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.∵y＝ax2＋c的图象的顶点为(0，4)，∴c＝4.把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
22.1 二次函数的图象和性质第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
D
5
抛物线；位置；x＝h；(h，0)
(1)增大；减小；小(2)减小；增大；大
6
7
8
9
B
C
h；|h|
10
B
C
D
A
11
12
13
见习题
14
见习题
答案显示
见习题
D
1．二次函数y＝a(x－h)2的图象是__________，它与抛物线y＝ax2的形状相同，只是________不同；它的对称轴为直线______，顶点坐标为_________．
抛物线
位置
x＝h
(h，0)
2．(中考·沈阳)在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2 (a≠0)的图象可能是( )
D
C
4．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x＝mC．顶点为(m，0)D．与y轴不相交
D
5．二次函数y＝a(x－h)2的性质：(1)若a>0，当x>h时，y随x的增大而__________；当xh时，y随x的增大而__________；当x增大
减小
小
减小
增大
大
6．已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中，你认为不正确的是( )A．顶点坐标为(1，0)B．对称轴为直线x＝0C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＜1时，y随x的增大而减小
B
···
A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1＝y2 D．无法比较
C
*8.(中考·潍坊)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )A．3或6 B．1或6C．1或3 D．4或6
【点拨】二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)的图象开口向下，顶点为(h，0)，函数的最大值为0.因为当2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，
所以h不能取2～5(含2与5)之间的数．当h＜2时，点(2，－1)在抛物线上，把点(2，－1)的坐标代入y＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h＞5时，点(5，－1)在抛物线上，把点(5，－1)的坐标代入y＝－(x－h)2，解得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】B
9．抛物线y＝a(x－h)2可以看成由抛物线y＝ax2沿x轴左右平移得到，当h>0时，向右平移______个单位长度；当h<0时，向左平移________个单位长度．
h
|h|
10．抛物线y＝－2x2向左平移3个单位长度，所得到的抛物线对应的函数解析式为( )A．y＝－2(x＋3)2B．y＝－2(x－3)2C．y＝－2x2＋3D．y＝－2x2－3
A
11．(中考·丽水)将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度
D
···
12．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且过点(1，－3)．(1)求此抛物线对应的函数解析式．
(2)画出此抛物线．
略．
(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
解：当x＜－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有最大值．
13．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA.(1)求抛物线对应的函数解析式；
解：由题意得A(－1，0)．∵OB＝OA，∴B(0，－1)．将x＝0，y＝－1代入抛物线对应的函数解析式得a＝－1，则抛物线对应的函数解析式为y＝－(x＋1)2.
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC.
(1)将抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度后，经过点A(0，3)，试求m的值；
(2)画出(1)中平移后的图象；
解：如图所示．
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
答案显示
B
C
B
A
A
B
D
D
答案显示
A
B
见习题
见习题
A
见习题
见习题
1．抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( )A．(－2，0) B．(2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
B
2．【中考·兰州】在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
A
3．对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( )
B
【答案】B
6．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是( )A．其图象的开口向上B．其图象的对称轴是直线x＝3C．其图象的顶点坐标是(0，3)D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
D
7．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是( )A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
A
*8．已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( )A．－12 B．12 C．32 D．－32
【点拨】由二次函数y＝a(x－h)2的性质可知二次函数y＝－2(x＋m)2的图象的对称轴为直线x＝－m，根据题意，可知x＝－m＝－3.所以m＝3.即二次函数的解析式为y＝－2(x＋3)2，所以当x＝1时，y＝－32.故选D.
D
9．【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
A
10．对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线y＝－(x－h)2的相同点是( )A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同C．顶点相同 D．都有最低点
A
11．对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们图象的开口的大小是一样的．其中正确的说法有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】二次函数y＝3x2＋1的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x>0时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)，当x>1时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.
【答案】B
12．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且过点(1，－3)．(1)求抛物线的函数解析式．
解：图象略．
(2)画出函数的图象．(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
当x<－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有最大值．
(2)写出抛物线y＝a(x－h)2的对称轴及顶点坐标．
14．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值．
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即y＝x2－2ax＋a2.∵OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，a2)，∴a2＝a.∵a≠0，∴a＝1.
(2)图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.(1)写出点A，点B的坐标．
解：在y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4.∴点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB.
(3)求出抛物线的对称轴．
抛物线的对称轴为直线x＝－2.
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．①以OA和OB为邻边可作平行四边形PAOB，易求得P(－2，4)；②以AB和OB为邻边可作平行四边形PABO，易求得P(－2，－4)．∴点P的坐标为(－2，4)或(－2，－4)．
22.1 二次函数的图象和性质第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
答案显示
1
2
3
4
A
5
(1)向上；向下 (2)x＝h；(h，k)
A
6
7
8
9
(1)增大；减小；小；k(2)减小；增大；大；k
D
相同；不同；h，k
10
C
D
C
D
11
12
13
见习题
14
见习题
答案显示
见习题
C
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的特征：(1)a>0，开口________；a<0，开口________．(2)对称轴是直线________，顶点坐标为________．
向上
向下
x＝h
(h，k)
2．(2019·衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( )A．(1，3) B．(1，－3)C．(－1，3) D．(－1，－3)
A
3．(中考·呼伦贝尔)二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )
D
4．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
C
【点拨】由y＝a(x－4)2－4得图象的对称轴为直线x＝4，再结合已知条件画出草图，易知二次函数的图象经过点(2，0)，(6，0)，将点的坐标代入解析式即可求出a的值．
*5.(中考·宁波)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )A．1 B．－1 C．2 D．－2
A
6．二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：(1)若a>0，当x>h时，y随x的增大而________；当xh时，y随x的增大而________；当x增大
减小
小
k
减小
增大
大
k
7．(2020·甘孜州)如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )A．a＜0B．图象的对称轴为直线x＝－1C．点B的坐标为(1，0)D．当x＜0时，y随x的增大而增大
D
··
*8.(2020·杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( )A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
C
【点拨】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，代入函数解析式整理得a(9－2h)＝1.将h的值分别代入即可得出结果．
9．抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状________，位置________．把抛物线y＝ax2向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据__________的值来决定．
相同
不同
h，k
10．(2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( )A．y＝(x＋3)2＋5B．y＝(x－3)2＋5C．y＝(x＋5)2＋3D．y＝(x－5)2＋3
D
11．(2020·衢州)二次函数y＝x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是( )A．向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度B．向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度C．向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度D．向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度
C
(1)直接写出a，h，k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
13．如图，已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，对称轴为直线x＝1.(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
(1)当m＝5时，求n的值．
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
答案显示
D
A
A
C
B
B
C
C
答案显示
D
见习题
见习题
见习题
－3≤a≤1
见习题
1．【2018·广安】抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是( )A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【点拨】抛物线y＝x2的顶点是(0，0)，抛物线y＝(x－2)2－1的顶点是(2，－1)．由点(0，0)到点(2，－1)的平移方法可以是先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度，故选D.
【答案】D
2．【2019·哈尔滨】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A．y＝2(x＋2)2＋3B．y＝2(x－2)2＋3C．y＝2(x－2)2－3D．y＝2(x＋2)2－3
B
【答案】A
4．【2019·衢州】二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( )A．(1，3) B．(1，－3)C．(－1，3) D．(－1，－3)
A
5．【中考·益阳】若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )A．m＞1 B．m＞0C．m＞－1 D．－1＜m＜0
B
6．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
C
7．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
C
C
*9.【2019·凉山州】当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是___________．
【点拨】画出抛物线y＝(x－1)2－3在0≤x≤3范围内的图象，根据直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点可得a的取值范围．
－3≤a≤1
【点拨】根据m≤x≤n，且mn＜0，得出m＜0＜n，进而根据图象分成m≤x≤n＜1和m≤x≤n且n≥1两种情况讨论．
【答案】D
11．【中考·齐齐哈尔】如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，由抛物线过点B(0，3)，得3＝a(0－1)2＋4.解得a＝－1.∴解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
13．【中考·天水】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出边界？请说明理由．
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
【点拨】利用二次函数解决实际问题时，运用建模思想把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案．
14．如图，已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线的函数解析式；
【点拨】利用待定系数法求出抛物线的函数解析式．
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
【点拨】根据等腰三角形的两腰相等，利用分类讨论思想分①MA＝MB；②AB＝AM；③AB＝BM三种情况讨论．
22.1 二次函数的图象和性质第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
B
5
见习题
D
6
7
8
9
B
C
C
10
<；>；>；>；<
A
见习题
见习题
11
12
见习题
答案显示
见习题
2．(中考·山西)用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
B
*3.(2020·孝感)将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为( )A．y＝－x2－2 B．y＝－x2＋2C．y＝x2－2 D．y＝x2＋2
【点拨】∵抛物线C1：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴抛物线C1的顶点为(1，2)．∵将抛物线C1向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为(0，2)．∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3与抛物线C2的开口方向相反，顶点坐标为(0，－2)．∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2.
【答案】A
4．由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出其性质：
减小
增大
小
增大
减小
大
5．(2020·成都)关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)D．y的最小值为－9
D
6．(2020·温州)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )A．y3B
*7.(2020·河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.
【点拨】y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(2，4)．∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4. ∴甲、乙的说法正确．若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确．故选C.
下列判断正确的是( )A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
C
8．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c, 试确定下列各式的符号：a______0，b______0，c______0，a＋b＋c______0，a－b＋c______0.
<
>
>
>
<
9．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )
C
10．(2020·温州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．(1)求a，b的值；
解：由(1)得抛物线的函数解析式为y＝x2－4x＋1.把x＝5代入y＝x2－4x＋1，得y1＝6，∴y2＝12－y1＝6.∴y1＝y2.∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴5－2＝2－m，解得m＝－1.
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
11．(2020·宁波)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)．∵B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)．∴当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．
解：∵D(0，－3)，∴点D平移到点A，抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度．∴平移后图象所对应的二次函数的解析式为y＝－(x－4)2＋5.
(1)求线段AB的长；
(3)如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
解：由点A(10，0)在抛物线y＝ax2＋bx上，得100a＋10b＝0，∴b＝－10a.∴抛物线的解析式为y＝ax2－10ax＝a(x－5)2－25a.∴抛物线的顶点D的坐标为(5，－25a)．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
答案显示
B
C
C
D
D
C
D
B
答案显示
A
见习题
见习题
见习题
D
见习题
1．【2018·山西】用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
B
2．【2019·济宁】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
D
3．【中考·眉山】若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位长度，再沿铅直方向向上平移三个单位长度，则原抛物线的解析式应变为( )A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋4
C
4．【2019·重庆】抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( )A．直线x＝2 B．直线x＝－2C．直线x＝1 D．直线x＝－1
C
5．【2019·遂宁】二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是( )A．a＝4B．当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8)C．当x＝－1时，b＞－5D．当x＞3时，y随x的增大而增大
C
6．【2019·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－2
D
【答案】D
8．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( )A．abc＜0，b2－4ac＞0B．abc＞0，b2－4ac＞0C．abc＜0，b2－4ac＜0D．abc＞0，b2－4ac＜0
B
*9.【2019·湖州】已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是( )
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0；由二次函数图象可知a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，可得a＋b＞0，不符合题意．在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0；由二次函数图象可知a＜0，b＜0，则a＋b＜0，不符合题意．在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0；由二次函数图象可知a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，可得a＋b＜0，符合题意．
【答案】D
【答案】A
(1)求b，c的值．
12．【2019·宁波】如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1)求a的值和图象的顶点坐标．
解：把点P(－2，3)的坐标代入y＝x2＋ax＋3，得3＝(－2)2－2a＋3，解得a＝2.∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2.∴图象的顶点坐标为(－1，2)．
(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
解：当m＝2时，n＝32＋2＝11.
2≤n＜11.
13．【2018·黄冈】已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点．
(2)设直线l与该抛物线的两个交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．
14．【2019·台州】已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．(1)求b，c满足的关系式；
解：将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b.
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
(3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【点拨】将b的值分成几段进行分段讨论．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第7课时 求二次函数的解析式
答案显示
见习题
见习题
见习题
见习题
(1)抛物线的开口向________(填“上”或“下”)；(2)求直线l对应的函数解析式；
上
解：①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，∴直线l与该函数的图象交于点B(异于点A)，∴不合题意，舍去；②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，∴C(－2，0)，N(2，0)，
(3)求该二次函数的解析式．
2．【2020·江西】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为________；
上
直线x＝1
(2)求抛物线的解析式及m，n的值；
(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
解：画出抛物线，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如图所示．
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：______________．
A3A4－A1A2＝1
3．【2020·临沂】已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)．(1)求这条抛物线的对称轴；
解：∵抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴Q(3，y2)关于直线x＝1的对称点的坐标为(－1，y2)，∴当a＞0，－1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜－1或m＞3时，y1＜y2.
4．【2020·衡阳】如图，在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)． (1)求这个二次函数的解析式；
解：设这个二次函数的解析式为y＝a′(x＋1)(x－2)，即y＝a′x2－a′x－2a′.∵y＝a′x2－a′x－2a′与y＝x2＋px＋q对应系数相等，∴a′＝1.∴此二次函数的解析式为y＝x2－x－2.
(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
解：∵一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2－x－2的图象交点的横坐标分别为a和b，∴x2－x－2＝(2－m)x＋2－m，整理得x2＋(m－3)x＋m－4＝0.解得x1＝－1，x2＝4－m.∵a<33.解得m<1.∴m的取值范围为m＜1.
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
*第7课时 用待定系数法求二次函数解析式
答案显示
见习题
B
见习题
见习题
见习题
见习题
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积．
2．已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其中三个点．(1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上；
证明：由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝1.若点C(－1，2)在抛物线上，则点C关于直线x＝1的对称点(3，2)也在这条抛物线上，此时点E(4，2)不在这条抛物线上．同理，若点E(4，2)在抛物线上，则点C(－1，2)不在抛物线上．∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
解：点A不在抛物线上．理由：若点A(1，0)在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上，则k＝0. ∴y＝a(x－1)2(a＞0)．易知B(0，－1)，D(2，－1)都不在抛物线上．由(1)知C，E两点不可能同时在抛物线上，∴与抛物线经过其中三个点矛盾．∴点A不在抛物线上．
(3)求a和k的值．
3．【2019·烟台】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1＜x2.其中正确的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5
B
4．在平面直角坐标系中，设二次函数为y＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若此二次函数的图象经过点(1，－2)，求该二次函数的解析式；
解：由二次函数的图象经过点(1，－2)，得(a＋1)(－a)＝－2，解得a1＝－2，a2＝1.当a＝－2时，二次函数的解析式为y＝(x－2)(x＋2－1)，即y＝x2－x－2；当a＝1时，二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2.综上所述，该二次函数的解析式为y＝x2－x－2.
解：当y＝0时，(x＋a)(x－a－1)＝0，解得x＝－a或x＝a＋1，所以二次函数的图象与x轴的交点是(－a，0)，(a＋1，0)．当y＝ax＋b的图象经过(－a，0)时，－a2＋b＝0，即b＝a2；当y＝ax＋b的图象经过(a＋1，0)时，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a.
(2)若一次函数y＝ax＋b的图象与二次函数的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在二次函数的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
5．【2018·苏州】如图，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长；
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数解析式．
6．【中考·菏泽】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．
(1)试求抛物线的函数解析式；
(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；
22.1 二次函数的图象和性质*第7课时 用待定系数法求二次函数解析式
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
见习题
5
一般式
见习题
6
7
8
9
见习题
交点式
见习题
见习题
见习题
顶点式
1．已知函数图象上的三个点的坐标求函数解析式时，设出二次函数的________，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后将三个点的坐标分别代入解析式，求出待定的系数a，b，c即可．
一般式
2．(2020·陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．
(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．
解：抛物线的对称轴为直线x＝－1.令y＝0，则x＝－3或x＝1；令x＝0，则y＝－3，故点A，B的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，点C的坐标为(0，－3)．∴OA＝OC＝3.∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等．
设点P(m，n)，当点P在抛物线的对称轴右侧时，m－(－1)＝3，解得m＝2，故n＝22＋2×2－3＝5，故点P(2，5)，故点E(－1，2)或(－1，8)；当点P在抛物线的对称轴左侧时，由抛物线的对称性可得点P (－4，5)，此时点E坐标同上．综上，点P的坐标为(2，5)或(－4，5)，点E的坐标为(－1，2)或(－1，8)．
3．(2020·江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为____________．
上
直线x＝1
(2)求抛物线的解析式及m，n的值．
(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
解：如图所示．该曲线是一条抛物线．
A3A4－A1A2＝1
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：__________________．
4．若已知顶点坐标或对称轴或函数的最值，用待定系数法求解析式时，一般设____________，即y＝a(x－h)2＋k.
顶点式
5．(2020·临沂)已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)．(1)求这条抛物线的对称轴；
解：∵抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴Q(3，y2)关于直线x＝1对称的点的坐标为(－1，y2)．∴当a＞0，－1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜－1或m＞3时，y1＜y2.
6．(2020·永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．
(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图②所示．①求△CMN面积的最小值．
7．已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)和(x2，0)，用待定系数法求解析式时，一般设______________，即y＝a(x－x1)(x－x2)．
交点式
8．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
解：由题意可设抛物线所对应的函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，将C(0，4)的坐标代入，得4＝－2a，解得a＝－2.∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝－2(x＋1)(x－2)＝－2x2＋2x＋4.
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
9．(2020·衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；
解：由题意得二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－2)＝x2－x－2.
(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
解：令x2－x－2＝(2－m)x＋2－m，整理得x2＋(m－3)x＋m－4＝0.解得x1＝－1，x2＝4－m.∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m.由4－m＞3，解得m＜1.
(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质目标二 二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2间的关系
答案显示
C
C
①②④
D
C
见习题
见习题
1．【2020·广东】把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为( ) A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－3
C
2．【2020·哈尔滨】将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线对应的函数解析式为( )A．y＝(x＋3)2＋5 B．y＝(x－3)2＋5C．y＝(x＋5)2＋3 D．y＝(x－5)2＋3
D
3．【2020·衢州】二次函数y＝x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是( )A．向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度B．向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度C．向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度D．向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度
C
4．【2020·南京】下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上．其中所有正确结论的序号是________．
【点拨】①∵二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)与函数y＝－x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y＝－(x－m)2＋m2＋1中，令x＝0，则y＝－m2＋m2＋1＝1，∴该函数的图象一定经过点(0，1)，故结论②正确；③∵y＝－(x－m)2＋m2＋1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；④易知二次函数图象的顶点坐标为(m，m2＋1)．∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上，故结论④正确．
【答案】①②④
5．【2019·雅安】在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是( )A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x 值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到
C
6．如图，在▱ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线y＝a(x－h)2＋k经过x轴上的点A，B.
(1)求点A，B，C的坐标；
解：在▱ABCD中，CD∥AB，且CD＝AB＝4，∴点C的坐标为(4，8)．设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AH＝BH＝2，∴点A，B的坐标为A(2，0)，B(6，0)．
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式．
解：抛物线的解析式为y＝a(x－4)2＋8，把A(2，0)的坐标代入解析式中，解得a＝－2，设平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2＋8＋m，把点(0，8)的坐标代入平移后的解析式，得m＝32.∴平移后抛物线的解析式为y＝－2(x－4)2＋40.
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质目标二 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2间的关系
答案显示
A
A
B
A
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
A
2．抛物线y＝－3x2向左平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为( )A．y＝－3(x＋2)2 B．y＝－3(x－2)2C．y＝－3x2＋2 D．y＝－3x2－2
A
3．对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线y＝－(x－h)2的相同点是( )A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同C．顶点相同 D．都有最低点
A
4．对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；③当x>0时，y都随着x的增大而增大；④它们图象的开口的大小是一样的．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】二次函数y＝3x2＋1的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x>0时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)，当x>1时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.
【答案】B
5．已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2的都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的相同． (1)求这条抛物线的解析式；
解：由题意知，这条抛物线的解析式为y＝3(x＋2)2.
(2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式．
解：将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的解析式为y＝3(x－2)2.
6．已知抛物线y＝－3x2，若抛物线不动，把y轴向左平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为________________．
y＝－3(x－2)2
【点拨】由题意，可把y轴向左平移2个单位长度看作坐标轴不动，抛物线向右平移2个单位长度，然后利用平移规律求解即可．
7．如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为(1，0)． (1)求点D的坐标；
解：∵B(1，0)，点A在抛物线y＝x2上，∴A(1，1)．又∵正方形ABCD中，AD＝AB＝1，∴D(2，1)．
(2)将抛物线y＝x2沿x轴适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的解析式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？
解：∵原抛物线y＝x2经过点O(0，0)，∴原抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线y＝(x－1)2经过点B(1，0)．在y＝(x－1)2中，令x＝2，则y＝(2－1)2＝1，故点D在新抛物线上．
8．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B. (1)写出点A，点B的坐标．
解：在y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4.∴点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB.
(3)求出抛物线的对称轴．
解：抛物线的对称轴为直线x＝－2.
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．①以OA和OB为邻边可作平行四边形PAOB，易求得P(－2，4)；②以AB和OB为邻边可作平行四边形PABO，易求得P(－2，－4)．∴点P的坐标为(－2，4)或(－2，－4)．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质目标二 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
答案显示
A
D
D
D
A
C
见习题
B
答案显示
见习题
1．【中考·河南】在二次函数y＝－x2＋2x＋1中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( ) A．x＜1 B．x＞1 C．x＜－1 D．x＞－1
A
2．若点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
D
3．已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－2
D
4．【2020·成都】关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)D．y的最小值为－9
D
5．如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
A
6．【2020·恩施州】如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－1；③2a＋c＝0；④a－b＋c＞0.其中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】 C
7．【2020·襄阳】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a＋c＝0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选B.
【答案】 B
8．【2020·宁波】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)． (1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)．∵抛物线的对称轴为直线x＝2，B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)．∴当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．
解：易知D的坐标为(0，－3)，∴要使点D恰好落在点A的位置，则抛物线就要向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，可得平移后抛物线的解析式为y＝－(x－4)2＋5.
(3)如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质目标二 二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2间的关系
答案显示
y＝x2＋3
A
D
D
A
见习题
见习题
见习题
1．【2020·上海】如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是________．
y＝x2＋3
2．二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )A．抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
D
3．将抛物线y＝2x2＋3平移后得到抛物线y＝2x2，平移的方法可以是( )A．向下平移3个单位长度B．向上平移3个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
A
D
【点拨】把阴影部分分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．
【答案】A
【点拨】二次函数图象平移的规律：上加下减；左加右减．本题易因对平移变化规律理解不透彻而致错．
(2)画出抛物线y＝ax2＋c.
略．
8．【2019·安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点． (1)求k，a，c的值；
解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.∴一次函数为y＝－2x＋4.又∵二次函数图象的顶点为(0，c)，且该顶点是另一个交点，∴将其坐标代入y＝－2x＋4，得c＝4.把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数目标二 建立二次函数的模型
答案显示
C
A
B
D
D
见习题
见习题
C
1．据省统计局公布的数据，安徽省某年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数解析式是( )A．y＝7.9(1＋2x)B．y＝7.9(1－x)2C．y＝7.9(1＋x)2D．y＝7.9＋7.9(1＋x)＋7.9(1＋x)2
2．把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为( )A．y＝320(x－1) B．y＝320(1－x)C．y＝160(1－x2) D．y＝160(1－x)2
D
3．长方形的长为10 cm、宽为6 cm，它的各边都减少x cm，得到的新长方形的周长为y cm，则y与x之间的关系式是( )A．y＝32－4x(0
【答案】 B
D
6．如图，用长为45 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20 m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2)． (1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如果要围成面积为162 m2的花圃，AB的长为多少米？
7．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162－3x. (1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式．
解：由题意得，每件商品的销售利润为(x－30)元，那么m件的销售利润为y＝m(x－30)．又∵m＝162－3x，∴y＝(x－30)(162－3x)，即y＝－3x2＋252x－4 860.∵x－30≥0，∴x≥30.又∵m≥0，∴162－3x≥0，即x≤54.∴30≤x≤54.∴所求关系式为y＝－3x2＋252x－4 860(30≤x≤54)．
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
解：不能．理由：由(1)得y＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500>432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质目标一 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
答案显示
A
B
C
C
C
D
见习题
D
1．【2019·衢州】二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( )A．(1，3) B．(1，－3)C．(－1，3) D．(－1，－3)
A
2．二次函数y＝(x＋1)2－1的大致图象是( )
C
3．设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A．(1，0) B．(3，0)C．(－3，0) D．(0，－4)
B
4．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
C
5．【2020·杭州】设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( )A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
C
【点拨】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a(9－2h)＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
6．【2020·甘孜州】如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )A．a＜0B．图象的对称轴为直线x＝－1C．点B的坐标为(1，0)D．当x＜0时，y随x的增大而增大
D
【点拨】根据m≤x≤n，且mn＜0，得出m＜0＜n，进而根据图象分成m≤x≤n＜1和m≤x≤n且n≥1两种情况讨论．
D
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围；
(3)作直线AC与y轴相交于点D，当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
解：∵点A与点C不重合，∴m≠1.∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4)，∴抛物线的顶点在直线y＝4上，
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质目标一 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
答案显示
B
C
B
A
D
A
y3＜y1＜y2
D
答案显示
见习题
见习题
1．抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( ) A．(－2，0) B．(2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
B
2．【中考·兰州】在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
A
3．对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( )
B
5．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是( )A．其图象的开口向上B．其图象的对称轴是直线x＝3C．其图象的顶点坐标是(0，3)D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
D
6．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是( )A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
A
7．已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( ) A．－12 B．12 C．32 D．－32
【点拨】由二次函数y＝a(x－h)2的性质可知二次函数y＝－2(x＋m)2的图象的对称轴为直线x＝－m，根据题意，可知x＝－m＝－3.所以m＝3.即二次函数的解析式为y＝－2(x＋3)2，所以当x＝1时，y＝－32.故选D.
D
8．已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝a(x＋1)2(a＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．
【点拨】利用二次函数图象的对称性，将已知点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小．
y3＜y1＜y2
9．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA. (1)求抛物线的解析式；
解：由题意知，顶点A的坐标是(－1，0)，∴OA＝1.∵OA＝OB，∴OB＝1，即B(0，－1)，把点B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2中，解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)2.
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求b的值；
解：把点C(－3，b)的坐标代入y＝－(x＋1)2中，得b＝－4，∴b的值是－4.
(3)若点D(2，y1)，E(3，y2)在此抛物线上，比较y1与y2的大小．
解：∵对称轴是直线x＝－1，－1＜2＜3，∴y1＞y2.
10．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形． (1)求a的值．
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即y＝x2－2ax＋a2.∵OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，a2)，∴a2＝a.∵a≠0，∴a＝1.
(2)图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质目标一 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
答案显示
B
A
A
D
C
C
见习题
见习题
答案显示
见习题
1．【中考·山西】用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
B
2．【2019·济宁】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是( )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
D
3．【2020·孝感】将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为( ) A．y＝－x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2－2 D．y＝x2＋2
【答案】 A
【点拨】∵抛物线C1：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴抛物线C1的顶点为(1，2)．∵将抛物线C1向左平移1个单位长度得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为(0，2)．∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3的开口方向与抛物线C2的相反，顶点为(0，－2)．∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2，故选A.
4．抛物线y＝x2＋2x－3的开口方向、顶点坐标分别是( )A．开口向上，顶点坐标为(－1，－4)B．开口向下，顶点坐标为(1，4)C．开口向上，顶点坐标为(1，4)D．开口向下，顶点坐标为(－1，－4)
A
5．【2020·河北】如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是( )A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
【点拨】y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(2，4)，∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选C.
【答案】 C
6．【2020·泰安】在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )
C
7．【2019·荆州改编】二次函数y＝－2x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式是________________．
【点拨】将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k时，易在配方时忽略二次项系数而致错．
y＝－2(x＋1)2＋7
8．【2020·温州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)． (1)求a，b的值；
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
9．【2020·北京】在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2. (1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时， y1＝y2＝c；
解：∵y1＝y2＝c，∴x1＝0.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴M，N关于直线x＝1对称，∴x2＝2，∴x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c.
(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质目标一 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
答案显示
C
D
C
C
B
A
见习题
C
答案显示
见习题
C
2．函数y＝－x2＋3与y＝－x2－2的图象的不同之处是( )A．对称轴 B．开口方向C．顶点 D．形状
C
3．【中考·泰安】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )
D
4．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )A．最小值为2B．图象与x轴没有公共点C．当x<0时，y随x的增大而增大D．图象的对称轴是y轴
C
5．二次函数y＝ax2＋k的图象上有两点A(－3，y1)、B(1，y2)，且y2＞y1，则a的取值范围是( )A．a＞0 B．a＜0C．a≥0 D．a≤0
B
6．点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y1＜y3
A
7．二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤5
【点拨】求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值．
C
8．求符合下列条件的抛物线对应的函数解析式： (1)抛物线y＝ax2－1过点(1，2)；
解：将点(1，2)的坐标代入y＝ax2－1，得2＝a－1，解得a＝3.∴y＝3x2－1.
(2)抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0，1)．
解：∵抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝－1.将点(0，1)的坐标代入y＝－x2＋c，得c＝1.∴y＝－x2＋1.
9．如图，已知正比例函数y＝2x的图象与抛物线y＝ax2＋3相交于点A(1，b)． (1)求a与b的值；
解：把点A(1，b)的坐标代入y＝2x中，得b＝2，∴A(1，2)．把点A(1，2)的坐标代入y＝ax2＋3中，得a＝－1.
(2)若点B(m，4)在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2＋3的顶点是C，求△ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一个动点，求当PA＋PC最小时点P的坐标．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数目标一 认识二次函数
答案显示
C
B
B
C
D
C
C
C
答案显示
见习题
见习题
C
C
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )A．m≠－2 B．m≠2C．m≠3 D．m≠－3
B
4．若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是( )A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
B
5．把二次函数y＝－(x＋3)(x＋4)＋11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为( )A．－1，－1 B．－1，1C．－1，7 D．－1，－7
D
6．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10C．一次项是100 D．常数项是20 000
C
【点拨】本题易忽略二次根式有意义的条件，误认为x等于1，2，3，而错选D.
C
8．如果函数y＝(m－2)xm2－2＋2x－7是二次函数，则m的取值范围是( )A．m＝±2 B．m＝2C．m＝－2 D．m为全体实数
【答案】 C
【点拨】求二次函数中字母系数的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中，往往容易忽略二次项系数不为0这个条件，只是从自变量的最高次数是2入手列方程求出a的值，从而得出错解．
9．已知函数y＝(a＋3)xa2＋a－4＋(a＋2)x＋3. (1)当a为何值时，y为x的二次函数？
解：根据题意得a＋3≠0且a2＋a－4＝2，解得a＝2，即当a为2时，y是x的二次函数．
(2)当a为何值时，y为x的一次函数？
10．已知二次函数y＝3(x－1)2＋2. (1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c 的值；
解：y＝3(x－1)2＋2＝3x2－6x＋5.其中a＝3，b＝－6，c＝5.
(2)当x＝6时，求y的值；
解：当x＝6时，y＝3×(6－1)2＋2＝77.
(3)当y＝77时，求x的值．
解：当y＝77时，即3(x－1)2＋2＝77，解得x＝6或x＝－4.
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第1课时 二次函数
答案显示
C
B
B
D
C
B
D
C
答案显示
B
B
－2
见习题
C
见习题
见习题
见习题
C
C
3．下列各式中，y是x的二次函数的是( )A．y＝ax2＋bx＋c B．x2＋y－2＝0C．y2－ax＝2 D．x2－y2＋1＝0
B
4．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )A．m≠－2 B．m≠2C．m≠3 D．m≠－3
B
5．若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是( )A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
B
6．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( )A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
D
7．已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是( )A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
D
8．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10C．一次项是100 D．常数项是20 000
C
【点拨】本题易忽略二次根式有意义的条件，误认为x等于1，2，3，而错选D.
C
10．某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是( )A．y＝60(1＋x)2B．y＝60＋60(1＋x)＋60(1＋x)2C．y＝60(1＋x)＋60(1＋x)2D．y＝60＋60(1＋x)
B
【答案】B
12．当a＝________时，函数y＝(a－2)xa2－2＋ax－1是二次函数．
【易错总结】求二次函数中字母系数的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中，往往容易忽略二次项系数不为0这个条件，只是从自变量的最高次数是2入手列方程求出a的值，从而得出错解．
【答案】－2
13．某商店以每副42元的价格购进一种手套，根据试销得知这种手套每天的销售量t(副)与每副的售价x(元)之间可以看成一次函数关系：t＝－4x＋204.请写出每天的销售利润y(元)与每副的售价x(元)之间的函数解析式，并确定自变量x的取值范围．
【点拨】本题最终要求的是y与x之间的函数解析式，即式子中不应该含有t，因此在运算过程中，应利用t与x之间的关系将t代换掉．
解：y＝(x－42)t＝(x－42)(－4x＋204)，即y＝－4x2＋372x－8 568.因为每副手套的进价为42元，所以x≥42.而t≥0，故－4x＋204≥0，即x≤51.所以自变量x的取值范围为42≤x≤51.
14．观察如图所示图形的构成规律．(1)如果第n个图中有S个圆，试写出S与n的函数解析式；(2)这个函数是不是二次函数？
解：S＝n2＋1.
是二次函数．
15．某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，设计费为每平方米1 000元，设矩形一边的长为x m，面积为S m2.(1)求S与x之间的函数解析式，并确定自变量x的取值范围；
(2)若要求设计的广告牌的边长为整数，请你填写下表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
1
2
3
4
5
5
8
9
8
5
5000
8000
9000
8000
5000
由表格可得，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
16．如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上．设AE＝x，正方形EFGH的面积为y.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若正方形EFGH的面积为2，求AE的长．
解：y＝2x2－4x＋4.
令y＝2，则2x2－4x＋4＝2，整理得x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，即AE的长为1.
22.1 二次函数的图象和性质第1课时 二次函数
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
(1)a≠2 (2)a＝2，b≠－2
5
ax2＋bx＋c (1)整式 (2)2 (3)不为0
自变量；一次项系数
6
7
8
9
D
D
审清；等量关系；二次函数
10
A
C
B
B
11
12
13
见习题
14
15
见习题
答案显示
见习题
见习题
见习题
1．一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝______________(a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．一个函数是二次函数，经过整理后必须同时满足以下三个条件：(1)关于自变量的式子是__________；(2)自变量的最高次数是__________；(3)二次项系数__________．
ax2＋bx＋c
整式
2
不为0
2．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当________时，x，y之间是二次函数关系；(2)当____________时，x，y之间是一次函数关系．
a≠2
a＝2，b≠－2
3．下列各式中，y是x的二次函数的是( )
C
A．1 B．－1 C．1或－1 D．2
【点拨】注意二次项系数不为0.根据二次函数的定义得m2＋1＝2且m－1≠0，解得m＝－1.
B
5．任何一个二次函数的解析式都可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，其中x是__________，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、_______________和常数项．
自变量
一次项系数
6．已知二次函数y＝2－3x＋x2，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c为( )A．a＝2，b＝－3，c＝1 B．a＝2，b＝3，c＝1C．a＝1，b＝3，c＝2 D．a＝1，b＝－3，c＝2
D
7．(中考·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象一定经过点( )A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，1)
D
【点拨】由题意得，二次函数的图象经过的定点坐标与m值无关，即把x值代入函数解析式后，含有m的项不存在．y＝x2－(2－m)x＋m＝m(x＋1)＋x2－2x，∴x＋1＝0，即x＝－1.∴当x＝－1时，y＝1＋2－m＋m＝3.∴二次函数的图象过定点(－1，3)．
*8.无论m为何实数，二次函数y＝x2－(2－m)x＋m的图象总是过定点( )A．(－1，3) B．(1，0) C．(1，3) D．(－1，0)
A
9．建立二次函数的模型一般经过____________题意，找______________，列_____________解析式这三个步骤．
审清
等量关系
二次函数
10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么销售该商品所赚利润y(元)与每件商品的售价x(元)的函数关系式为( )A．y＝－10x2－560x＋7 350 B．y＝－10x2＋560x－7 350C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7 350
B
11．(教材P29练习T2变式)一块矩形的草地，长是10 m，宽是8 m，若将长增加2x m，宽减少x m，设增加的面积为y m2.(1)写出y与x之间的函数关系式；
解：y＝(10＋2x)(8－x)－10×8＝－2x2＋6x.
解：当y＝4时，－2x2＋6x＝4，解得x1＝1，x2＝2.故x的值是1或2.
(2)若要使草地的面积增加4 m2，求x的值．
12．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值；
解：若y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1是关于x的二次函数，则m2－m≠0，解得m≠0且m≠1.∴m可以是除了1和0的所有实数．
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的值．
13．某商场每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，这种商品每降价1元，其销量可增加10件．(1)求商场经营该商品原来一天可获利多少元．
解：商场经营该商品原来一天可获利100×(100－80)＝2 000(元)．
解：依题意，得(100－80－x)(100＋10x)＝2 160，即x2－10x＋16＝0，解得x1＝2，x2＝8.因为要尽量减少库存，所以x应取8，即每件商品要降价8元．
(2)设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利y元．①若商场经营该商品一天要获利2 160元，则每件商品要降价多少元？
解：依题意，得y＝(100－80－x)(100＋10x)＝－10x2＋100x＋2 000.
②求y与x之间的函数关系式．
14．如图，用长为45 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20 m)，围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2)．(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如果要围成面积为162 m2的花圃，AB的长为多少米？
15．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，一点到达终点后，另一点随即停止运动，设运动时间为x s，△PBQ的面积为y cm2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
【思路点拨】根据图形，结合三角形的面积公式建立函数关系式；根据函数关系式和条件建立一元二次方程，解方程即可解决问题．
(2)当x为多少时，△PBQ的面积为4 cm2?
解：当y＝4时，可得－x2＋5x＝4，解得x1＝1，x2＝4(舍去)．∴当x＝1时，△PBQ的面积为4 cm2.
(3)△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．
解：不能．理由如下：由－x2＋5x＝7，得x2－5x＋7＝0.∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0，∴此方程无实数根．∴△PBQ的面积不能等于7 cm2.
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
答案显示
A
C
D
B
D
C
C
A
答案显示
见习题
见习题
A
1．二次函数y＝2x2的图象大致是( )
2．二次函数y＝－3x2的图象一定经过( )A．第一、二象限 B．第三、四象限C．第一、三象限 D．第二、四象限
B
3．关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( )A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
C
4．【2019·呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
D
5．下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是( )A．图象的对称轴是y轴B．图象的顶点是原点C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．y有最大值
D
6．【中考·连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
C
A
8．已知抛物线y＝ax2与y＝4x2的形状相同，则a的值是( ) A．4 B．－4 C．±4 D．1
C
【点拨】对于抛物线y＝ax2，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|相等说明抛物线的开口大小相同，即抛物线的形状相同，本题易忽略a＝－4而致错．
9．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数． (1)求m的值．
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
解：∵函数图象的开口向下，∴m＋3＜0.∴m＜－3.∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
解：∵函数有最小值，∴m＋3＞0.∴m＞－3.∴m＝1.∴当m＝1时，该函数有最小值．
10．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1，m)和B(－2，4)，与y轴交于点C. (1)求k，b，a的值；
(2)求△AOB的面积．
22.1 二次函数的图象和性质第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
D
5
y轴；原点；向上；向下；越小
A
6
7
8
9
D
(1)增大；减小；小 (2)减小；增大；大
D
10
B
B
C
B
11
12
13
见习题
答案显示
见习题
见习题
1．二次函数y＝ax2的图象是抛物线，对称轴是________，顶点是________．当a>0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口________，顶点是抛物线的最高点．|a|越大，抛物线的开口________．
y轴
原点
向上
向下
越小
2．二次函数y＝2x2的图象的顶点坐标是( )A．(1，2) B．(0，2)C．(2，0) D．(0，0)
D
3．二次函数y＝－3x2的图象一定经过( )A．第一、二象限 B．第三、四象限C．第一、三象限 D．第二、四象限
B
4．关于函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( )A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
C
··
*5.(2020·南充)如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)．若抛物线y＝ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是( )
【答案】A
*6.(2019·呼和浩特)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
【点拨】分a>0和a<0两种情况：当a>0时，y＝ax2的图象开口向上，y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限且过点(－1，0)；当a<0时，y＝ax2的图象开口向下，y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限且过点(－1，0)．综上可知，应选D.
【答案】D
7．二次函数y＝ax2的性质：(1)若a＞0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝0时，y取最______值0.(2)若a＜0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝0时，y取最______值0.
增大
减小
小
减小
增大
大
8．(2019·益阳)下列函数中，y总随x增大而减小的是( )A．y＝4xB．y＝－4xC．y＝x－4D．y＝x2
B
·
9．若a>2，点(a－2，y1)，(a＋3，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝－x2的图象上，则( )A．y1
上述函数中符合条件“当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大”的是( )A．①③ B．③④C．②④ D．②③
【点拨】对于①③④，可利用性质判断．对于②，可利用特殊值法判断．分别令x等于1和2，求得y的值为3和1.5，不符合题目条件．
【答案】B
11．已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝2x－1交于点P(1，m)．(1)求a，m的值；
(3)指出抛物线y＝ax2的顶点坐标和对称轴．
(2)写出二次函数的解析式，并指出x在何范围内，y随x的增大而减小；
解：二次函数的解析式为y＝x2.当x＜0时，y随x的增大而减小．
抛物线y＝x2的顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴．
12．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1，m)和B(－2，4)，与y轴交于点C.求：
(1)a，b，k的值；
(2)△AOB的面积．
13．如图①是某段河床横断面的示意图．
查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：
解：如图所示．
(1)请你以表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试在如图②所示的坐标系中画出y关于x的函数图象．
200
(2)①填写下表：
②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出y关于x的二次函数解析式：________________．
200
200
200
200
200
(3)当水面宽度为36 m时，一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为1.8 m的货船能否安全通过该河段？为什么？
【思路点拨】根据所作图象判断函数类型，求出函数解析式，再利用此解析式解决实际问题．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第2课时 二次函数y＝ax2的图象和性质
答案显示
C
D
B
B
A
B
D
C
答案显示
见习题
见习题
见习题
见习题
A
见习题
1．关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( )A．它是一条抛物线B．它的开口向上，且关于y轴对称C．它的顶点是抛物线的最高点D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
C
2．关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有( )①它们的图象都是抛物线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过点(0，0)；④二次函数y＝2x2的图象开口向上，二次函数y＝－2x2的图象开口向下；⑤它们的图象关于x轴对称．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
A
3．【2019·呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是( )
D
*4.【2019·山西】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78 m(即最高点O到AB的距离为78 m)，跨径为90 m(即AB＝90 m)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )
【点拨】直接利用图象假设出抛物线解析式，将B(45，－78)代入得出答案．
【答案】B
5．【2019·益阳】下列函数中，y总随x增大而减小的是( )A．y＝4x B．y＝－4x C．y＝x－4 D．y＝x2
B
6．下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是( )A．图象的对称轴是y轴B．图象的顶点是原点C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．y有最大值
D
【答案】B
8．【中考·连云港】已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
C
【答案】A
10．已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．
错解：当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；当x＝4时，y＝42＝16.∴在－1≤x≤4这个范围内，函数y＝x2的最小值是1，最大值是16.
诊断：－1≤x≤4既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值y随x的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16，所以最大值为16.
正解：∵－1≤x≤4，∴当x＝0时函数y＝x2有最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16，最小值为0.
11．已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值．
(2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？
解：∵函数图象的开口向下，∴m＋3＜0.∴m＜－3.∴m＝－4.∴当m＝－4时，该函数图象的开口向下．
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
解：∵函数有最小值，∴m＋3＞0.∴m＞－3.∴m＝1.∴当m＝1时，该函数有最小值．
12．根据下列条件分别求a的值或取值范围．(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
(4)函数y＝axa2＋a的图象是开口向上的抛物线．
解：由题意得a2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1.又由题意知a＞0，∴a＝1.
13．已知函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3交于点A(1，b)．(1)求a和b的值．
解：把点A(1，b)的坐标代入y＝2x－3得b＝2×1－3＝－1，把点A(1，－1)的坐标代入y＝ax2得a＝－1.
(2)当x取何值时，二次函数y＝ax2(a≠0)中的y随x的增大而增大？
解：∵a＝－1，∴二次函数为y＝－x2，它的图象开口向下，对称轴为y轴，∴当x＜0时，y随x的增大而增大．
(3)求二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3的另一个交点B的坐标．
14．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝kx在第一象限内交于点A(2，4)．(1)求抛物线的函数解析式．
解：将A(2，4)的坐标代入y＝ax2得4＝4a，∴a＝1.∴抛物线的函数解析式为y＝x2.
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【点拨】等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系．
22.1 二次函数的图象和性质第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
y＝x2＋3
5
相同；相同；|k|；(0，k)；y轴
D
6
7
8
9
C
A
D
10
(1)增大；减小；k (2)减小；增大；k
C
B
D
11
12
13
C
14
15
见习题
答案显示
见习题
B
见习题
1．二次函数y＝ax2＋k的图象与抛物线y＝ax2的开口方向________，形状________，只是位置不同；它可以由抛物线y＝ax2上下平移________个单位长度得到，顶点坐标是__________，对称轴是________．
相同
相同
|k|
(0，k)
y轴
2．(2020·上海)如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是__________．
y＝x2＋3
3．二次函数y＝x2＋1的图象大致是( )
C
4．与抛物线y＝－5x2－1的顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是( )A．y＝－5x2－1B．y＝5x2－1C．y＝－5x2＋1D．y＝5x2＋1
B
5．(中考·成都)二次函数y＝2x2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )A．抛物线开口向下B．抛物线经过点(2，3)C．抛物线的对称轴是直线x＝1D．抛物线与x轴有两个交点
D
A．①②③ B．①③②C．②③① D．②①③
C
【点拨】比较二次函数图象的开口大小，可以比较二次项系数a的绝对值的大小，|a|越大，开口越小．
7．将抛物线y＝2x2＋3平移后得到抛物线y＝2x2，平移的方法可以是( )A．向下平移3个单位长度B．向上平移3个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
A
8．二次函数y＝ax2＋k的性质：(1)若a＞0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝0时，y取最小值______．(2)若a＜0，当x＞0时，y随x的增大而__________；当x＜0时，y随x的增大而__________；当x＝0时，y取最大值______．
增大
减小
k
减小
增大
k
9．(中考·绍兴)已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法正确的是( )A．若y1＝y2，则x1＝x2B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0
D
10．对于二次函数y＝2x2＋2，下列说法错误的是( )A．图象开口向上 B．图象的对称轴是y轴C．图象的顶点坐标是(0，2) D．y随x的增大而减小
D
··
11．关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法正确的是( )A．它的图象的开口方向是向上的B．当x＜－1时，y随x的增大而增大C．它的图象的顶点坐标是(－2，3)D．当x＝0时，y有最小值3
B
*12.二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤5
C
【点拨】结合二次函数的图象和性质来解．当x＝0时，y取最小值－3；当x＝2时，y取最大值5.所以当－1≤x≤2时，y的取值范围是－3≤y≤5.
(1)确定a，k的值；
略．
(2)画出抛物线y＝ax2＋k.
(1)求直线BC对应的函数解析式和点C的坐标；
(2)点P为抛物线上异于点C的一点，若S△PAB＝S△ABC，求点P的坐标．
15．(2019·安徽)一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．(1)求k，a，c的值；
解：将点(1，2)的坐标代入y＝kx＋4，得k＋4＝2，解得k＝－2.由题意得二次函数y＝ax2＋c的图象的顶点坐标为(0，4)，∴c＝4.把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
答案显示
D
C
D
D
B
D
C
A
答案显示
D
A
见习题
见习题
C
见习题
见习题
见习题
D
1．抛物线y＝2x2－3的顶点在( )A．第一象限 B．第二象限C．x轴上 D．y轴上
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0
B
C
4．【中考·泰安】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )
D
*5.【2019·宜宾】已知抛物线y＝x2－1与y轴交于点A，与直线y＝kx(k为任意实数)相交于B，C两点，则下列结论不正确的是( )A．存在实数k，使得△ABC为等腰三角形B．存在实数k，使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C．任意实数k，使得△ABC都为直角三角形D．存在实数k，使得△ABC为等边三角形
【答案】D
【点拨】本题考查了二次函数和正比例函数图象、直角三角形的判定、等边三角形的判定，正确画图是关键．
6．对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )A．最小值为2B．图象与x轴没有公共点C．当x<0时，y随x的增大而增大D．图象的对称轴是y轴
C
7．【中考·河池】已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法正确的是( )A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2C．若0
D
8．点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3 B．y1＞y2＞y3C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y1＜y3
A
9．抛物线y＝2x2＋1是由抛物线y＝2x2 ( )得到的．A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
C
10．二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )A．抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
D
【点拨】把阴影部分分割拼凑成矩形，利用矩形的面积即可求得答案．
【点拨】A
【点拨】二次函数图象平移的规律：上加下减；左加右减．本题易因对平移变化规律理解不透彻而致错．
略．
(2)画出抛物线y＝ax2＋c.
14．【中考·衡阳】如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.(1)求抛物线的函数解析式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
(1)画出这个二次函数的图象及点A，B.
(2)求△AOB的面积．
(3)在这个函数图象上是否存在一点P，使△APB的面积是△AOB的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．【2019·安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图象的顶点．
(1)求k，a，c的值；
解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.∵y＝ax2＋c的图象的顶点为(0，4)，∴c＝4.把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
22.1 二次函数的图象和性质第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
D
5
抛物线；位置；x＝h；(h，0)
(1)增大；减小；小(2)减小；增大；大
6
7
8
9
B
C
h；|h|
10
B
C
D
A
11
12
13
见习题
14
见习题
答案显示
见习题
D
1．二次函数y＝a(x－h)2的图象是__________，它与抛物线y＝ax2的形状相同，只是________不同；它的对称轴为直线______，顶点坐标为_________．
抛物线
位置
x＝h
(h，0)
2．(中考·沈阳)在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x－h)2 (a≠0)的图象可能是( )
D
C
4．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x＝mC．顶点为(m，0)D．与y轴不相交
D
5．二次函数y＝a(x－h)2的性质：(1)若a>0，当x>h时，y随x的增大而__________；当x
减小
小
减小
增大
大
6．已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法中，你认为不正确的是( )A．顶点坐标为(1，0)B．对称轴为直线x＝0C．当x＞1时，y随x的增大而增大D．当x＜1时，y随x的增大而减小
B
···
A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1＝y2 D．无法比较
C
*8.(中考·潍坊)已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )A．3或6 B．1或6C．1或3 D．4或6
【点拨】二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)的图象开口向下，顶点为(h，0)，函数的最大值为0.因为当2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，
所以h不能取2～5(含2与5)之间的数．当h＜2时，点(2，－1)在抛物线上，把点(2，－1)的坐标代入y＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h＞5时，点(5，－1)在抛物线上，把点(5，－1)的坐标代入y＝－(x－h)2，解得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】B
9．抛物线y＝a(x－h)2可以看成由抛物线y＝ax2沿x轴左右平移得到，当h>0时，向右平移______个单位长度；当h<0时，向左平移________个单位长度．
h
|h|
10．抛物线y＝－2x2向左平移3个单位长度，所得到的抛物线对应的函数解析式为( )A．y＝－2(x＋3)2B．y＝－2(x－3)2C．y＝－2x2＋3D．y＝－2x2－3
A
11．(中考·丽水)将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度
D
···
12．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且过点(1，－3)．(1)求此抛物线对应的函数解析式．
(2)画出此抛物线．
略．
(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
解：当x＜－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有最大值．
13．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA.(1)求抛物线对应的函数解析式；
解：由题意得A(－1，0)．∵OB＝OA，∴B(0，－1)．将x＝0，y＝－1代入抛物线对应的函数解析式得a＝－1，则抛物线对应的函数解析式为y＝－(x＋1)2.
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求S△ABC.
(1)将抛物线向右平移m(m＞0)个单位长度后，经过点A(0，3)，试求m的值；
(2)画出(1)中平移后的图象；
解：如图所示．
(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP＋CP的值最小，并求出点P的坐标．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第4课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
答案显示
B
C
B
A
A
B
D
D
答案显示
A
B
见习题
见习题
A
见习题
见习题
1．抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( )A．(－2，0) B．(2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
B
2．【中考·兰州】在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
A
3．对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是( )
B
【答案】B
6．关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是( )A．其图象的开口向上B．其图象的对称轴是直线x＝3C．其图象的顶点坐标是(0，3)D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
D
7．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是( )A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
A
*8．已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( )A．－12 B．12 C．32 D．－32
【点拨】由二次函数y＝a(x－h)2的性质可知二次函数y＝－2(x＋m)2的图象的对称轴为直线x＝－m，根据题意，可知x＝－m＝－3.所以m＝3.即二次函数的解析式为y＝－2(x＋3)2，所以当x＝1时，y＝－32.故选D.
D
9．【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )A．向左平移2个单位长度B．向右平移2个单位长度C．向上平移2个单位长度D．向下平移2个单位长度
A
10．对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线y＝－(x－h)2的相同点是( )A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同C．顶点相同 D．都有最低点
A
11．对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们图象的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们图象的开口的大小是一样的．其中正确的说法有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】二次函数y＝3x2＋1的图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x>0时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)，当x>1时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.
【答案】B
12．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为直线x＝－2，且过点(1，－3)．(1)求抛物线的函数解析式．
解：图象略．
(2)画出函数的图象．(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?
当x<－2时，y随x的增大而增大；当x＝－2时，函数有最大值．
(2)写出抛物线y＝a(x－h)2的对称轴及顶点坐标．
14．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值．
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即y＝x2－2ax＋a2.∵OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，a2)，∴a2＝a.∵a≠0，∴a＝1.
(2)图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.(1)写出点A，点B的坐标．
解：在y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4.∴点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB.
(3)求出抛物线的对称轴．
抛物线的对称轴为直线x＝－2.
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．①以OA和OB为邻边可作平行四边形PAOB，易求得P(－2，4)；②以AB和OB为邻边可作平行四边形PABO，易求得P(－2，－4)．∴点P的坐标为(－2，4)或(－2，－4)．
22.1 二次函数的图象和性质第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
答案显示
1
2
3
4
A
5
(1)向上；向下 (2)x＝h；(h，k)
A
6
7
8
9
(1)增大；减小；小；k(2)减小；增大；大；k
D
相同；不同；h，k
10
C
D
C
D
11
12
13
见习题
14
见习题
答案显示
见习题
C
1．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的特征：(1)a>0，开口________；a<0，开口________．(2)对称轴是直线________，顶点坐标为________．
向上
向下
x＝h
(h，k)
2．(2019·衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( )A．(1，3) B．(1，－3)C．(－1，3) D．(－1，－3)
A
3．(中考·呼伦贝尔)二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( )
D
4．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
C
【点拨】由y＝a(x－4)2－4得图象的对称轴为直线x＝4，再结合已知条件画出草图，易知二次函数的图象经过点(2，0)，(6，0)，将点的坐标代入解析式即可求出a的值．
*5.(中考·宁波)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )A．1 B．－1 C．2 D．－2
A
6．二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质：(1)若a>0，当x>h时，y随x的增大而________；当x
减小
小
k
减小
增大
大
k
7．(2020·甘孜州)如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )A．a＜0B．图象的对称轴为直线x＝－1C．点B的坐标为(1，0)D．当x＜0时，y随x的增大而增大
D
··
*8.(2020·杭州)设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，( )A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
C
【点拨】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，代入函数解析式整理得a(9－2h)＝1.将h的值分别代入即可得出结果．
9．抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状________，位置________．把抛物线y＝ax2向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据__________的值来决定．
相同
不同
h，k
10．(2020·哈尔滨)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( )A．y＝(x＋3)2＋5B．y＝(x－3)2＋5C．y＝(x＋5)2＋3D．y＝(x－5)2＋3
D
11．(2020·衢州)二次函数y＝x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是( )A．向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度B．向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度C．向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度D．向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度
C
(1)直接写出a，h，k的值；
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
13．如图，已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，对称轴为直线x＝1.(1)求抛物线对应的函数解析式；
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
(1)当m＝5时，求n的值．
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
(3)作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
答案显示
D
A
A
C
B
B
C
C
答案显示
D
见习题
见习题
见习题
－3≤a≤1
见习题
1．【2018·广安】抛物线y＝(x－2)2－1可以由抛物线y＝x2平移而得到，下列平移正确的是( )A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
【点拨】抛物线y＝x2的顶点是(0，0)，抛物线y＝(x－2)2－1的顶点是(2，－1)．由点(0，0)到点(2，－1)的平移方法可以是先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度，故选D.
【答案】D
2．【2019·哈尔滨】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )A．y＝2(x＋2)2＋3B．y＝2(x－2)2＋3C．y＝2(x－2)2－3D．y＝2(x＋2)2－3
B
【答案】A
4．【2019·衢州】二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( )A．(1，3) B．(1，－3)C．(－1，3) D．(－1，－3)
A
5．【中考·益阳】若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )A．m＞1 B．m＞0C．m＞－1 D．－1＜m＜0
B
6．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
C
7．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过( )A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
C
C
*9.【2019·凉山州】当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是___________．
【点拨】画出抛物线y＝(x－1)2－3在0≤x≤3范围内的图象，根据直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点可得a的取值范围．
－3≤a≤1
【点拨】根据m≤x≤n，且mn＜0，得出m＜0＜n，进而根据图象分成m≤x≤n＜1和m≤x≤n且n≥1两种情况讨论．
【答案】D
11．【中考·齐齐哈尔】如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；
解：设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，由抛物线过点B(0，3)，得3＝a(0－1)2＋4.解得a＝－1.∴解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
13．【中考·天水】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出边界？请说明理由．
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
【点拨】利用二次函数解决实际问题时，运用建模思想把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案．
14．如图，已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线的函数解析式；
【点拨】利用待定系数法求出抛物线的函数解析式．
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
【点拨】根据等腰三角形的两腰相等，利用分类讨论思想分①MA＝MB；②AB＝AM；③AB＝BM三种情况讨论．
22.1 二次函数的图象和性质第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
B
5
见习题
D
6
7
8
9
B
C
C
10
<；>；>；>；<
A
见习题
见习题
11
12
见习题
答案显示
见习题
2．(中考·山西)用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
B
*3.(2020·孝感)将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为( )A．y＝－x2－2 B．y＝－x2＋2C．y＝x2－2 D．y＝x2＋2
【点拨】∵抛物线C1：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，∴抛物线C1的顶点为(1，2)．∵将抛物线C1向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，∴抛物线C2的顶点坐标为(0，2)．∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，∴抛物线C3与抛物线C2的开口方向相反，顶点坐标为(0，－2)．∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2.
【答案】A
4．由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以得出其性质：
减小
增大
小
增大
减小
大
5．(2020·成都)关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是( )A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为(0，8)C．图象与x轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0)D．y的最小值为－9
D
6．(2020·温州)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( )A．y3
*7.(2020·河北)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下：甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.
【点拨】y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴抛物线的顶点坐标为(2，4)．∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4. ∴甲、乙的说法正确．若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确．故选C.
下列判断正确的是( )A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
C
8．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c, 试确定下列各式的符号：a______0，b______0，c______0，a＋b＋c______0，a－b＋c______0.
<
>
>
>
<
9．(2020·泰安)在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b(a≠0)与一次函数y＝ax＋b的图象可能是( )
C
10．(2020·温州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．(1)求a，b的值；
解：由(1)得抛物线的函数解析式为y＝x2－4x＋1.把x＝5代入y＝x2－4x＋1，得y1＝6，∴y2＝12－y1＝6.∴y1＝y2.∵抛物线的对称轴为直线x＝2，∴5－2＝2－m，解得m＝－1.
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
11．(2020·宁波)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．(1)求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1.∴A(2，1)．∵B，C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)．∴当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．
解：∵D(0，－3)，∴点D平移到点A，抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度．∴平移后图象所对应的二次函数的解析式为y＝－(x－4)2＋5.
(1)求线段AB的长；
(3)如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
解：由点A(10，0)在抛物线y＝ax2＋bx上，得100a＋10b＝0，∴b＝－10a.∴抛物线的解析式为y＝ax2－10ax＝a(x－5)2－25a.∴抛物线的顶点D的坐标为(5，－25a)．
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第6课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
答案显示
B
C
C
D
D
C
D
B
答案显示
A
见习题
见习题
见习题
D
见习题
1．【2018·山西】用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )A．y＝(x－4)2＋7 B．y＝(x－4)2－25C．y＝(x＋4)2＋7 D．y＝(x＋4)2－25
B
2．【2019·济宁】将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－4)2－2
D
3．【中考·眉山】若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位长度，再沿铅直方向向上平移三个单位长度，则原抛物线的解析式应变为( )A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋4
C
4．【2019·重庆】抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是( )A．直线x＝2 B．直线x＝－2C．直线x＝1 D．直线x＝－1
C
5．【2019·遂宁】二次函数y＝x2－ax＋b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是( )A．a＝4B．当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8)C．当x＝－1时，b＞－5D．当x＞3时，y随x的增大而增大
C
6．【2019·温州】已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A．有最大值－1，有最小值－2B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值7，有最小值－2
D
【答案】D
8．【中考·成都】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是( )A．abc＜0，b2－4ac＞0B．abc＞0，b2－4ac＞0C．abc＜0，b2－4ac＜0D．abc＞0，b2－4ac＜0
B
*9.【2019·湖州】已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2＋bx与一次函数y2＝ax＋b的大致图象不可能是( )
在B中，由一次函数图象可知a＞0，b＜0；由二次函数图象可知a＞0，b＜0，由|a|＞|b|，可得a＋b＞0，不符合题意．在C中，由一次函数图象可知a＜0，b＜0；由二次函数图象可知a＜0，b＜0，则a＋b＜0，不符合题意．在D中，由一次函数图象可知a＜0，b＞0；由二次函数图象可知a＜0，b＞0，由|a|＞|b|，可得a＋b＜0，符合题意．
【答案】D
【答案】A
(1)求b，c的值．
12．【2019·宁波】如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3)．(1)求a的值和图象的顶点坐标．
解：把点P(－2，3)的坐标代入y＝x2＋ax＋3，得3＝(－2)2－2a＋3，解得a＝2.∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2.∴图象的顶点坐标为(－1，2)．
(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
解：当m＝2时，n＝32＋2＝11.
2≤n＜11.
13．【2018·黄冈】已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点．
(2)设直线l与该抛物线的两个交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．
14．【2019·台州】已知函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(－2，4)．(1)求b，c满足的关系式；
解：将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b.
(2)设该函数图象的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
(3)若该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【点拨】将b的值分成几段进行分段讨论．
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质第7课时 求二次函数的解析式
答案显示
见习题
见习题
见习题
见习题
(1)抛物线的开口向________(填“上”或“下”)；(2)求直线l对应的函数解析式；
上
解：①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，∴直线l与该函数的图象交于点B(异于点A)，∴不合题意，舍去；②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，∴C(－2，0)，N(2，0)，
(3)求该二次函数的解析式．
2．【2020·江西】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为________；
上
直线x＝1
(2)求抛物线的解析式及m，n的值；
(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
解：画出抛物线，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如图所示．
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：______________．
A3A4－A1A2＝1
3．【2020·临沂】已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)．(1)求这条抛物线的对称轴；
解：∵抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴Q(3，y2)关于直线x＝1的对称点的坐标为(－1，y2)，∴当a＞0，－1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜－1或m＞3时，y1＜y2.
4．【2020·衡阳】如图，在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)． (1)求这个二次函数的解析式；
解：设这个二次函数的解析式为y＝a′(x＋1)(x－2)，即y＝a′x2－a′x－2a′.∵y＝a′x2－a′x－2a′与y＝x2＋px＋q对应系数相等，∴a′＝1.∴此二次函数的解析式为y＝x2－x－2.
(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
解：∵一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2－x－2的图象交点的横坐标分别为a和b，∴x2－x－2＝(2－m)x＋2－m，整理得x2＋(m－3)x＋m－4＝0.解得x1＝－1，x2＝4－m.∵a<3
22．1 二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
*第7课时 用待定系数法求二次函数解析式
答案显示
见习题
B
见习题
见习题
见习题
见习题
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积．
2．已知A(1，0)，B(0，－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)经过其中三个点．(1)求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上；
证明：由题意可知，抛物线的对称轴为直线x＝1.若点C(－1，2)在抛物线上，则点C关于直线x＝1的对称点(3，2)也在这条抛物线上，此时点E(4，2)不在这条抛物线上．同理，若点E(4，2)在抛物线上，则点C(－1，2)不在抛物线上．∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上．
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a>0)上吗？为什么？
解：点A不在抛物线上．理由：若点A(1，0)在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上，则k＝0. ∴y＝a(x－1)2(a＞0)．易知B(0，－1)，D(2，－1)都不在抛物线上．由(1)知C，E两点不可能同时在抛物线上，∴与抛物线经过其中三个点矛盾．∴点A不在抛物线上．
(3)求a和k的值．
3．【2019·烟台】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，则x1＜x2.其中正确的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5
B
4．在平面直角坐标系中，设二次函数为y＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若此二次函数的图象经过点(1，－2)，求该二次函数的解析式；
解：由二次函数的图象经过点(1，－2)，得(a＋1)(－a)＝－2，解得a1＝－2，a2＝1.当a＝－2时，二次函数的解析式为y＝(x－2)(x＋2－1)，即y＝x2－x－2；当a＝1时，二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2.综上所述，该二次函数的解析式为y＝x2－x－2.
解：当y＝0时，(x＋a)(x－a－1)＝0，解得x＝－a或x＝a＋1，所以二次函数的图象与x轴的交点是(－a，0)，(a＋1，0)．当y＝ax＋b的图象经过(－a，0)时，－a2＋b＝0，即b＝a2；当y＝ax＋b的图象经过(a＋1，0)时，a2＋a＋b＝0，即b＝－a2－a.
(2)若一次函数y＝ax＋b的图象与二次函数的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在二次函数的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
5．【2018·苏州】如图，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长；
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数解析式．
6．【中考·菏泽】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．
(1)试求抛物线的函数解析式；
(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；
22.1 二次函数的图象和性质*第7课时 用待定系数法求二次函数解析式
第22章 二次函数
答案显示
1
2
3
4
见习题
5
一般式
见习题
6
7
8
9
见习题
交点式
见习题
见习题
见习题
顶点式
1．已知函数图象上的三个点的坐标求函数解析式时，设出二次函数的________，即y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后将三个点的坐标分别代入解析式，求出待定的系数a，b，c即可．
一般式
2．(2020·陕西)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(3，12)和(－2，－3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的解析式．
(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P、点E的坐标．
解：抛物线的对称轴为直线x＝－1.令y＝0，则x＝－3或x＝1；令x＝0，则y＝－3，故点A，B的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，点C的坐标为(0，－3)．∴OA＝OC＝3.∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P，D，E为顶点的三角形与△AOC全等．
设点P(m，n)，当点P在抛物线的对称轴右侧时，m－(－1)＝3，解得m＝2，故n＝22＋2×2－3＝5，故点P(2，5)，故点E(－1，2)或(－1，8)；当点P在抛物线的对称轴左侧时，由抛物线的对称性可得点P (－4，5)，此时点E坐标同上．综上，点P的坐标为(2，5)或(－4，5)，点E的坐标为(－1，2)或(－1，8)．
3．(2020·江西)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为____________．
上
直线x＝1
(2)求抛物线的解析式及m，n的值．
(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
解：如图所示．该曲线是一条抛物线．
A3A4－A1A2＝1
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：__________________．
4．若已知顶点坐标或对称轴或函数的最值，用待定系数法求解析式时，一般设____________，即y＝a(x－h)2＋k.
顶点式
5．(2020·临沂)已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)．(1)求这条抛物线的对称轴；
解：∵抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2＝a(x－1)2＋2a2－a－3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
(3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴Q(3，y2)关于直线x＝1对称的点的坐标为(－1，y2)．∴当a＞0，－1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜－1或m＞3时，y1＜y2.
6．(2020·永州)在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图①所示．(1)求抛物线所表示的二次函数解析式．
(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图②所示．①求△CMN面积的最小值．
7．已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1，0)和(x2，0)，用待定系数法求解析式时，一般设______________，即y＝a(x－x1)(x－x2)．
交点式
8．(2020·攀枝花)如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
解：由题意可设抛物线所对应的函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，将C(0，4)的坐标代入，得4＝－2a，解得a＝－2.∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝－2(x＋1)(x－2)＝－2x2＋2x＋4.
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
9．(2020·衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图象过点(－1，0)，(2，0)．(1)求这个二次函数的解析式；
解：由题意得二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－2)＝x2－x－2.
(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
解：令x2－x－2＝(2－m)x＋2－m，整理得x2＋(m－3)x＋m－4＝0.解得x1＝－1，x2＝4－m.∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m.由4－m＞3，解得m＜1.
(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图象与二次函数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
相关资料
更多
