高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系教案设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．教学知识点：
（1）理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。
（2）了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系。
2．能力训练要求：
（1）经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力。
（2）通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化。
3．情感与价值观要求：
通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
【教学重难点】
1．经历探索直线与圆位置关系的过程。
2．理解直线与圆的三种位置关系。
3．了解切线的概念以及切线的性质。
4．经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系。
5．探索圆的切线的性质。
【教学过程】
一、创设问题情境，引入新课。
师：我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？
生：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径。因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外。也可以把点与圆心的距离和半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内。
师：本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系。
二、新课讲解。
1．复习点到直线的距离的定义。
生：从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离。
如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离。
2．探索直线与圆的三种位置关系。
师：直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的。作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
生：把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系。
师：从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？
生：有三种位置关系：
师：直线和圆有三种位置关系，如下图：
它们分别是相交、相切、相离。
当直线与圆相切时（即直线和圆有唯一公共点），这条直线叫做圆的切线。
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。
当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？
生：当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；
当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；
当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离。
师：能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？
生：如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系。
师：由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法。一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定。
（1）从公共点的个数来判断：
直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离。
（2）从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：
d＜r时，直线与圆相交；
d＝r时，直线与圆相切；
d＞r时，直线与圆相离。
例1：已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm。
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
分析：根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离。
解：（1）如上图，过点C作AB的垂线段CD。
∵AC＝4cm，AB＝8cm；
∴csA＝，
∴∠A＝60°。
∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2（cm）。
因此，当半径长为2cm时，AB与⊙C相切。
（2）由（1）可知，圆心C到AB的距离d＝cm，所以，当r＝2cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r＝4cm时，d＜r，⊙C与AB相交。
3．议一议。
（1）你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？
（2）上图（1）中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？
（3）如图（2），直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系？说一说你的理由。
对于（3），小颖和小亮都认为直径AB垂直于CD，你同意他们的观点吗？
师：请大家发表自己的想法。
生：（1）把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；
自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切；
杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离。
（2）图（1）中的三个图形是轴对称图形。因为沿着d所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合。对称轴是d所在的直线，即过圆心O且与直线l垂直的直线。
（3）所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，因为图（2）是轴对称图形，AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此∠BAC＝∠BAD＝90°。
师：因为直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD垂直，直线CD是⊙O的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径。
这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论。
在图（2）中，AB与CD要么垂直，要么不垂直。假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD，垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直。
这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件或定理相矛盾。第三步是肯定假设错误，故结论成立。
三、课时小结。
1．直线与圆的三种位置关系。
（1）从公共点数来判断。
（2）从d与r间的数量关系来判断。
2．圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。