人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系公开课ppt课件

课程目标

学科素养

A.已知直线与圆相交，能用代数法和几何法两种方法求弦长.

B.掌握直线与圆的综合问题.

1.数学抽象：求弦长中的弦长公式

2.逻辑推理：几何法求弦长

3.数学运算：求弦长

4.数学建模：直线与圆的弦长问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    温故知新

1.直线与圆的位置关系

直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到直线的距离是d,

d=,则有:

二、典例解析

例1.已知直线交于A,B两点.

(1)求线段AB的长

(2)求线段AB中点的坐标

解:(方法一)如图所示，设AB的中点为M，根据垂径定理

可知

由点到直线的距离公式可知

又OA是圆的半径，因此3

从而Rt

因此

解:(方法二)设

则

第二式减去第一式可得

因此= （），从而

=

又因为从方程组

中消去，整理可得2，

而且是这个方程的两个根，

因此由韦达定理可知

所以= = =14

因此

（2）设，且线段AB的中点坐标为，

则 =，=，由（1）中的方法二可知===

又因为直线的方程可以化为,所以===  

因此所求中点坐标为

求直线与圆相交时的弦长有三种方法

(1)交点法:将直线方程与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,根据两点间的距离公式 |AB|=求解.

(2)弦长公式:

如图所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在且不为0).

(3)几何法:如图,直线与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有+d2=r2,即|AB|=2.

通常采用几何法较为简便.

2.若涉及直线和圆相交的问题,除了借助平面几何知识进行分析,还经常利用联立方程,用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题.

跟踪训练1  已知点P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圆C上.

(1)求圆C的方程;

(2)若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;

(3)设过点(-1,0)的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵点P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圆C上,∴圆心C的横坐标为1,

设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=r2,

则解得

∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.

(2)圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,

圆心到直线3x-y+1=0的距离为d=.∴直线3x-y+1=0被圆C截得的弦AB的长为2.

(3)存在直线l满足题意.理由如下,

设M(x1,y1),N(x2,y2),

由题意,知OM⊥ON,且OM,ON 的斜率均存在,

②当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x+1),

代入(x-1)2+(y+2)2=9,

得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,

∴kOM·kON=-1,则=-1,即x1x2+y1y2=0.

①当直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为x=-1,则M(-1,-2),N(-1,--2),满足x1x2+y1y2=0,∴直线l:x=-1满足条件;

则x1+x2=-,x1x2=,

由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,

即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,

∴(1+k2)·-k2·+k2=0,解得k=1,

∴直线l的方程为y=x+1.

综上可知,存在满足条件的直线l:x=-1和l:y=x+1.

例2 已知实数x,y满足y=,求m=及b=2x+y的取值范围.

分析y=可化为x2+y2=3(y≥0),即以(0,0)为圆心,半径为的半圆,m=,可看作半圆上的点与点(-3,-1)连线的斜率;b可看作与半圆有公共点的直线2x+y-b=0在y轴上的截距.

解:y=表示以原点为圆心,半径为的上半圆,m=表示过点A(-3,-1)和(x,y)的直线的斜率,如图①所示.

图①                 图②

可知kAB≤m≤kAC.B点坐标为(,0),

所以kAB=.

由图①可知,AC斜率存在,设直线AC的方程为y+1=kAC(x+3),即kACx-y+3kAC-1=0,

因为AC与半圆x2+y2=3(y≥0)相切,

所以,所以kAC=.

所以m的取值范围是.

由b=2x+y,知b表示直线2x+y-b=0在y轴上的截距,如图②所示.

可知直线b=2x+y一定位于两直线l1与l2之间.由直线l2与半圆相切,得b=,由直线l1过D(-,0),得b=-2.

故b的取值范围是[-2].

1.与圆有关的最值问题,可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置,再进行计算.有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心,有时注意考虑表达式中字母的几何意义,如两点间距离公式、斜率公式、在y轴上的截距等.

2.对于本题而言,解决的关键是理解m和b的几何意义,同时要借助分界线探求参数的取值范围.

通过对直线与圆的位置关系的回顾，提出直线与圆的弦长问题。

通过对直线与圆的弦长问题的探究，理解代数法和几何法求弦长的具体应用。让学生进一步体会方程与曲线的关系，发对展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中让学生掌握直线与圆的最值问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养

三、达标检测

1.直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离的最小值为(　　)

A.2 B.-1   C.2-1 D.1

解析:圆x2+y2+4x-2y+4=0的圆心为(-2,1),半径为1,

圆心到直线y=x-1的距离为d==2,

所以直线y=x-1上的点与圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的距离

的最小值为2-1.

答案:C

2.直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 

解析:圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,

故圆心C(0,-1),半径r=2,

圆心到直线y=x+1的距离d=,

所以弦长|AB|=2=2=2.

答案:2

3.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦长为　　　　　. 

解析:设点A(3,1),易知圆心C(2,2),半径r=2.

当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦,

|CA|=.

∴半弦长=.

∴最短弦长为2.

答案:2

4.已知直线l:mx+y-3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=4,则|CD|=　　　　　. 

解析:圆(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),半径r=2,

∵|AB|=4,∴直线l:mx+y-3=0过圆心(1,2),

∴m+2-3=0,∴m=1,

∴直线l:x+y-3=0,倾斜角为135°,

∵过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,

∴|CD|==4.

答案:4

5.记x2+y2≤1表示的平面区域为W,点O为原点,点P为直线y=2x-2上的一个动点,若区域W上存在点Q,使得|OQ|=|PQ|,试求|OP|的最大值.

解:画出直线y=2x-2与平面区域W,如图所示,

易知|OQ|≤1,在△OQP中,|OQ|+|QP|>|OP|,当且仅当O,Q,P三点共线时,有|OQ|+|QP|=|OP|.所以当|OQ|=1时,|OP|取最大值2.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。