高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系当堂达标检测题

课时跟踪检测（十九）  直线与圆的位置关系

[A级　基础巩固]

1．直线l: y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的关系是(　　)

A．相离　　　　　　　　　  B．相切或相交

C．相交     D．相切

解析：选C　l过定点A(1，1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C.

2．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)

A．0或4     B．0或3

C．－2或6     D．－1或

解析：选A　由圆的方程，可知圆心坐标为(a，0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝ ＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.

3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为(　　)

A.x－y＋5＝0     B．x＋y－1＝0

C．x－y－5＝0     D．x＋y－3＝0

解析：选A　由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2).由圆的性质易知M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.

4．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)

A．1     B．2

C．     D．3

解析：选C　因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝2，圆的半径为1，所以切线长的最小值为＝＝，故选C.

5．(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为(　　)

A．x＋y＝0     B．x－y＝0

C．x＝0     D．x＋y＝4

解析：选ABD　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：

①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；

②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去).

6．若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．

解析：设切线斜率为k，则由已知得 k·kOP＝－1.

∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0.

答案：x＋2y－5＝0

7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．　

解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1，0).因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，

所以圆心到直线的距离等于半径，

即r＝＝，

所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.

答案：(x＋1)2＋y2＝2

8．直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________．

解析：圆的标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1，2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4.

答案：4

9．一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程．

解：因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，

故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.

又因为直线y＝x截圆得弦长为2，

则有＋()2＝9b2，

解得b＝±1，故所求圆的方程为

(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.

10．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：

(1)有两个公共点；

(2)只有一个公共点；

(3)没有公共点．

解：法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，

(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.

则Δ＝4m(3m＋4).

(1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

(2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

(3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，

即圆心为C(2，1)，半径r＝2.

圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离

d＝＝ .

(1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；

(2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；

(3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．

[B级　综合运用]

11．(多选)瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是(　　)

A．(2，0)     B．(0，2)

C．(－2，0)     D．(0，－2)

解析：选AD　设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，

△ABC的外心所在直线方程为x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点为M(－1，1)，

∴|MC|＝|MA|＝，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10，①

由A(－4，0)，B(0，4)，△ABC重心为，

代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0，②

由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2.故选A、D.

12．(多选)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的方程是(　　)

A．4x－3y＋9＝0     B．3x＋4y－12＝0

C．x＝0     D．4x＋3y－9＝0

解析：选BC　圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(1，1)，半径为r＝2，

∵|AB|＝2，∴圆心C到直线l的距离为d＝＝1.

①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时圆心C到直线l的距离为d＝1，符合题意；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，

圆心C到直线l的距离为d＝＝1，解得k＝－，

此时，直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.

综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0.故选B、C.

13．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0，则直线过定点________，该直线被圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0截得最短弦长为________．

解析：将直线l变形得2m(x－4)＝y＋3，即直线l恒过定点P(4，－3).

圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.

如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．

此时PC⊥l，又kPC＝＝3，

所以直线l的斜率为－，

则2m＝－，所以m＝－.

在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5.

所以|AB|＝2＝2.

故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2.

答案：(4，－3)　2

14.如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点．

(1)求圆A的方程；

(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．

解：(1)设圆A的半径为r.

∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，

∴r＝＝2.

∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.

(2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，

易得|MN|＝2，符合题意；

②当直线l与x轴不垂直时，

设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.

取MN的中点Q，连接AQ(图略)，则AQ⊥MN.

∵|MN|＝2，

∴|AQ|＝＝1，

∴＝1，得k＝，

∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.

综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.

[C级　拓展探究]

15．(2021·济宁高二月考)在①圆经过C(3，4)；②圆心在直线x＋y－2＝0上；③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．

已知圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)且________；

(1)求圆E的方程；

(2)已知直线l经过点(－2，2)，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：(1)选条件①：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

依题意有

解得D＝－6，E＝2，F＝－15，

所以圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－15＝0，

即圆E的标准方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝25.

选条件②：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

因为圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)，且圆心在直线x＋y－2＝0上，

依题意有

解得D＝－6，E＝2，F＝－15，

所以圆E的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝25.

选条件③：设圆E的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由圆E经过点A(－1，2)，B(6，3)，故

又因为圆截y轴所得弦长为8，

故方程y2＋Ey＋F＝0的两个实数根y1，y2的差的绝对值为8.

所以|y1－y2|＝＝＝8，即E2－4F＝64.

解方程组

得D＝－6，E＝2，F＝－15或D＝－，E＝－，F＝，

由于圆心E的坐标为整数，

故圆E的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝25.

(2)设圆心到直线的距离为d，

则弦长L＝2＝8⇒ ＝4⇒d＝3，

当直线的斜率不存在时，d＝5≠3，所以直线的斜率存在，

设其方程为y－2＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋2＝0，

d＝＝3，解得k＝0，k＝－，

所以所求直线的方程为y＝2或15x＋8y＋4＝0.