高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.2 双曲线的几何性质教学设计

双曲线的几何性质

【教学目标】

1. 了解平面解析几何研究的主要问题：

（1）根据条件，求出表示曲线的方程；

（2）通过方程，研究曲线的性质。

2. 理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通

3. 过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义。

【教学过程】

一、复习与引入过程

引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养。①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率。

二、新课讲授过程

（i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质。

提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置。要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质。

（ii）双曲线的简单几何性质

①范围：由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或。这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；

②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点。因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；

④渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；

⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（）。

（iii）例题讲解与引申、扩展

例1 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程。

分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出。引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是。

扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率。

解法剖析：双曲线的渐近线方程为。①焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，因此，所求双曲线的标准方程为，离心率。这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为。

例2 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为。试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到）。

解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定。

引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知，，，。能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由。

解题剖析：设为“等距离”线上任意一点，则，即（定值），∴“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为。理由略。

例3 如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程。

分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程。

引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线

若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是双曲线。其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；另一焦点，相应于的准线：。