高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.3 直线与圆的位置关系导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.3 圆及其方程2.3.3 直线与圆的位置关系导学案，共13页。学案主要包含了直线与圆的位置关系的判断，圆的切线问题，圆的弦长问题等内容，欢迎下载使用。

导语
海上日出是非常壮丽的美景．在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系．
一、直线与圆的位置关系的判断
问题1 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
提示 转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解．
知识梳理
直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
则Δ＝4m(3m＋4)．
当Δ>0，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0，即－eq \f(4,3)方法二 已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2,1)，半径r＝2.
圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝eq \f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq \f(|m－2|,\r(1＋m2)) .
当d<2，即m>0或m<－eq \f(4,3)时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－eq \f(4,3)时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2，即－eq \f(4,3)反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1 (1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
答案 A
解析 将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．
(2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是( )
A．(0,2] B．(1,2]
C．(0,2) D．(1,2)
答案 C
解析 由题意得，圆心到直线的距离为
d＝eq \f(|1＋1|,\r(12＋－12))>eq \r(m)，
∴m<2，∵m>0，∴0二、圆的切线问题
知识梳理
直线与圆相切
如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.
则①CP⊥l；
②点C到直线l的距离d＝|CP|＝r；
③切点P在直线l上，也在圆上．
注意点：(1)过圆上一点有且只有一条直线与圆相切．
(2)过圆外一点，可以作两条直线与圆相切，需考虑斜率不存在的情况．
例2 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为( )
A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
答案 B
解析 圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，
圆心C(1,2)，r＝eq \r(5).
又点P(3,3)在圆上，∴kCP＝eq \f(3－2,3－1)＝eq \f(1,2)，
故切线的斜率为－2，切线方程为y－3＝－2(x－3)，
即2x＋y－9＝0.
(2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以eq \f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq \r(k2＋1)，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－eq \f(15,8).
所以切线方程为－eq \f(15,8)x－y＋eq \f(15,2)－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
延伸探究 若例2(2)的条件不变，求其切线长．
解 因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝eq \r(3－42＋1＋32)＝eq \r(17)，
又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝eq \r(|AC|2－|BC|2)＝eq \r(\r(17)2－12)＝4，
所以切线长为4.
反思感悟 过一点的圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
跟踪训练2 (1)已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，则( )
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．D＝0，E≠0，F＝0
C．D≠0，E＝0，F＝0 D．D≠0，E≠0，F＝0
答案 C
解析 依题意知圆与y轴相切，切点为原点，
∴圆心在x轴上且圆过原点，
∴E＝0且F＝0，D≠0，故选C.
(2)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________．
答案 (x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))2＝eq \f(25,4)
解析 圆C过原点(0,0)和(4,0)，
∴圆心在直线x＝2上，
设圆心C的坐标为(2，b)，则r＝eq \r(22＋b2)，①
又圆与y＝1相切，∴r＝|b－1|，②
由①②解得b＝－eq \f(3,2)，r＝eq \f(5,2)，
故圆C方程为(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))2＝eq \f(25,4).
三、圆的弦长问题
问题2 如果直线与圆相交，如何求弦长？
提示 (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，
即|AB|＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)
＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)．
知识梳理
如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB中点为D，则
①点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距；
②CD⊥l；
③|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝2eq \r(r2－d2).
注意点：(1)过圆内一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，最短弦与最长弦所在的直线垂直．
(2)过圆外或圆上一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，没有最短弦长．
(3)由弦长求直线方程时，需考虑斜率不存在的情况．
例3 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．
答案 eq \r(30)
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
则有|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(8－\f(1,2))＝eq \r(30).
(2)如果一条直线经过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．
解 圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，所以弦心距d＝eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))2)＝eq \r(52－42)＝3.
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋eq \f(3,2)＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋3k－eq \f(3,2)＝0的距离等于3，于是eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq \f(3,4).
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
反思感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法
(1)交点法：联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，
B(x2，y2)，|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)求解．
(2)弦长公式：|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)．
(3)几何法：设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有|AB|＝2eq \r(r2－d2).
通常采用几何法较为简便．
跟踪训练3 (1)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
答案 2x－y＝0
解析 方法一 由题易知直线的斜率存在．设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2)))2)＝0，即圆心(1,2)位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.
方法二 圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1，
∴r＝1即2r＝2，即该直线经过圆心(1,2)，
故直线方程为y＝2x，即2x－y＝0.
(2)已知圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，并且截直线x－y＋1＝0所得的弦长为2，则圆C的标准方程是________________．
答案 (x－3)2＋y2＝9
解析 如图，设圆心C(a,0)(a>0)，半径为r，
∴d＝eq \f(|a＋1|,\r(2))＝eq \f(a＋1,\r(2))，
又r＝a，r2＝d2＋12，
解得a＝3(舍a＝－1)，
∴所求圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝9.
1.知识清单：
(1)直线与圆的位置关系．
(2)圆的切线问题．
(3)圆的弦长问题．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：过一点设直线方程时易忽视讨论斜率存在与不存在两种情况．
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
解析 ∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq \f(|0－0＋1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)<1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心．
2．圆x2＋y2＝4在点P(eq \r(3)，－1)处的切线方程为( )
A.eq \r(3)x＋y－2＝0 B.eq \r(3)x＋y－4＝0
C.eq \r(3)x－y－4＝0 D.eq \r(3)x－y＋2＝0
答案 C
解析 ∵(eq \r(3))2＋(－1)2＝4，
∴点P在圆上．∴P为切点．
∵切点与圆心连线的斜率为－eq \f(\r(3),3)，
∴切线的斜率为eq \r(3)，
∴切线方程为y＋1＝eq \r(3)(x－eq \r(3))，即eq \r(3)x－y－4＝0.
3．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2 B．－12 C．2 D．12
答案 CD
解析 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为eq \f(|7－b|,5)＝1，
得b＝2或12.
4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为________．
答案 2
解析 直线方程为y＝eq \r(3)x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线的距离d＝eq \f(2\r(3),\r(\r(3)2＋1))＝eq \r(3)，弦长l＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(4－3)＝2.
课时对点练
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
答案 D
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝eq \f(|3×1＋4×－1＋12|,\r(32＋42))＝eq \f(11,5)，02．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．－515
C．m<4或m>13 D．4答案 B
解析 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离eq \f(|3－8＋m|,\r(9＋16))>2，
∴m<－5或m>15.故选B.
3．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2eq \r(2)，那么这个圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16
答案 A
解析 圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋1－1|,\r(2))＝eq \r(2).
设圆的半径为R，则R2＝d2＋(eq \r(2))2＝4，
∴R＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
4．一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A.eq \f(6,5)或eq \f(5,6) B.eq \f(4,5)或eq \f(5,4)
C.eq \f(4,3)或eq \f(3,4) D.eq \f(3,2)或eq \f(2,3)
答案 C
解析 点(－2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)，
圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1.
设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k，
则切线方程为y＝k(x＋2)－3，
即kx－y＋2k－3＝0，
所以圆心(3,2)到切线的距离d＝eq \f(|5k－5|,\r(1＋k2))＝r＝1，
解得k＝eq \f(4,3)或k＝eq \f(3,4).
5．(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(2)，则实数a的值为( )
A．0 B．4 C．3 D.eq \r(3)
答案 AB
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2eq \r(2)，所以圆心到直线的距离d＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),2)))2)＝eq \r(2).又d＝eq \f(|a－2|,\r(2))，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.
6．(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x＋y＋4＝0 D．x＋y－4＝0
答案 ABD
解析 圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则eq \f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq \r(2)，解得k＝±1；
∴方程为x±y＝0.
②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，
则eq \f(|2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝4(a＝0舍去)．
方程为x＋y－4＝0.
7．已知圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a截直线x＋y＋2＝0所得弦长为6，则实数a的值为________．
答案 11
解析 圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a的圆心为(－2,2)，半径为eq \r(a)，弦心距d＝eq \f(|－2＋2＋2|,\r(2))＝eq \r(2)，则a＝(eq \r(2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))2＝11.
8．自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．
答案 x2＋y2＝2
解析 设点P的坐标为(x，y)，则|PO|＝eq \r(x2＋y2).
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
∴|PO|＝eq \r(2)|OM|＝eq \r(2)，
∴eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)，即x2＋y2＝2.
9．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
解 (1)圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2.
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；
当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0，
则eq \f(|2k－3－4k－1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq \f(3,4)，
所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，圆心到直线l的距离d＝eq \f(|2＋3－3|,\r(2))＝eq \r(2)，
故所求弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(4－2)＝2eq \r(2).
10．已知圆C：x2＋y2＋8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(2)时，求直线l的方程．
解 (1)圆C的方程化为x2＋(y＋4)2＝4，
此圆的圆心为(0，－4)，半径为2.
若直线l与圆C相切，则有eq \f(|－4＋2a|,\r(a2＋1))＝2，∴a＝eq \f(3,4).
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得|CD|＝eq \f(|－4＋2a|,\r(a2＋1))＝eq \r(2)，∴a＝1或7.
故直线l的方程为7x＋y＋14＝0或x＋y＋2＝0.
11．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
答案 B
解析 ∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2＞1.
∴圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交．
12．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2y＝2 B．x2＋y2＋2y＝2
C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1
答案 D
解析 在直线mx＋y＋1＝0的方程中，
令x＝0，得y＝－1，
则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)．
由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，
则点(0，－1)是圆C的圆心，
又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，
则圆C的半径r＝eq \f(|－1＋3|,\r(2))＝eq \r(2).
因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2，
即x2＋y2＋2y＝1.
13．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为eq \r(2)的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2eq \r(2)，圆心到直线l的距离为eq \f(|－1－2＋1|,\r(12＋12))＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l在圆心同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为eq \r(2).
14．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
答案 －eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
解析 由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.反射光线与圆相切，
则有圆心到直线的距离d＝eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4).
15．直线y＝x＋b与曲线x＝eq \r(1－y2)有且只有一个交点，则b满足( )
A．|b|＝eq \r(2) B．－1＜b≤1或b＝－eq \r(2)
C．－1≤b＜1 D．非以上答案
答案 B
解析 曲线x＝eq \r(1－y2)含有限制条件，即x≥0，
故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分．
在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝eq \r(1－y2)(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图像，如图所示．
相切时，b＝－eq \r(2)，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.
16．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝eq \r(17)，求直线l的倾斜角．
(1)证明 由已知，得直线l：y－1＝m(x－1)，
所以直线l恒过定点P(1,1)，
因为12＝1<5，所以点P在圆C内，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y－12＝5，,mx－y＋1－m＝0，))消去y，
得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，①
设x1，x2是方程①的两个实根，
x1＋x2＝eq \f(2m2,m2＋1)，x1x2＝eq \f(m2－5,m2＋1).
因为|AB|＝eq \r(1＋m2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋m2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)，
即eq \r(17)＝eq \r(1＋m2)·eq \f(\r(16m2＋20),1＋m2)，
所以m2＝3，m＝±eq \r(3)，
所以直线l的倾斜角为60°或120°.位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2
1
0
判断方法
代数法：由方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
几何法：设圆心到直线的距离d＝eq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
dd＝r
d>r