2021学年24.1.2 垂直于弦的直径教学设计及反思

这是一份2021学年24.1.2 垂直于弦的直径教学设计及反思，共3页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观，教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。

◇教学目标◇
【知识与技能】
掌握垂径定理及其推论,理解其证明过程,并会应用它解决有关的证明与计算问题.
【过程与方法】
经历探索垂径定理及其推论的过程,进一步理解研究几何图形的各种方法.
【情感、态度与价值观】
通过学习,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动性.
◇教学重难点◇
【教学重点】
垂径定理及其推论.
【教学难点】
垂径定理及其推论的理解及应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
你知道赵州石桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出桥拱的半径吗?
二、合作探究
探究点1 垂径定理
典例1
如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为( )
A.15B.25
C.215D.8
[解析] 如图,作OH⊥CD于点H,连接OC.∵OH⊥CD,∴HC=HD.∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=4,∴OP=OA-AP=2.在Rt△OPH中,∵∠OPH=30°,∴OH=12OP=1,在Rt△OHC中,∵OC=4,OH=1,∴CH=OC2−OH2=15.∴CD=2CH=215.
[答案] C
(1)解决圆中有关弦的计算问题,常作弦的垂线段,连接半径,在图形中构建一个直角三角形,从而可以利用勾股定理及垂径定理,通过解直角三角形,使问题得以解决.
(2)过☉O内一点P最短弦是与OP垂直的弦,最长弦是直径.
探究点2 垂径定理的应用
典例2 有一座石拱桥的桥拱是圆弧形,如图所示,正常水位水面宽AB=60 m,水面到拱顶距离CD=18 m,当洪水泛滥,水面宽MN=32 m时是否需要采取紧急措施?请说明理由(当水面距拱顶3 m以内时需采取紧急措施).
[解析] 设所在圆的圆心为O,连接OA,设OA=R.
在Rt△AOC中,AC=30,OC=R-18,所以R2=302+(R-18)2,解得R=34.
连接OM,设DE=x,
在Rt△MOE中,ME=16,OE=34-x,
所以342=162+(34-x)2,解得x1=4,x2=64(不合题意,舍去),所以DE=4.
因为DE>3,所以不需采取紧急措施.
三、板书设计
垂直于弦的直径
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
2.垂径定理的应用
构造以圆的半径、弦心距、弦长的一半为边的直角三角形,解直角三角形即可,必要时可利用勾股定理列方程求解.
◇教学反思◇
本节课主要学习垂径定理及其推论.垂径定理涉及的条件和结论比较多,学生容易混淆.在教学中采用了讲练结合动手操作的方法,课前布置学生制作圆形纸片,通过折叠圆形纸片的过程,让学生大胆猜想,得出结论,同时也考察了圆的对称性,并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理,这样让学生参与了知识的形成过程,激发了学生的学习兴趣.通过例2桥的问题让学生进一步领悟学习数学的应用价值.