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    初中数学人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案及反思

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    这是一份初中数学人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案及反思,共7页。教案主要包含了教学目标,教学重点及难点,教学用具,相关资源,教学过程,课堂小结,板书设计等内容,欢迎下载使用。

    24.1 圆的有关性质


    24.1.2 垂直于弦的直径


    一、教学目标


    1.理解圆的对称性;掌握垂径定理.


    2.利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题.


    二、教学重点及难点


    重点:垂直于弦的直径所具有的性质以及证明.


    难点:利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题.


    三、教学用具


    多媒体课件,三角板、直尺、圆规。


    四、相关资源


    《赵州桥》图片.


    五、教学过程


    【合作探究,形成知识】


    探究圆的对称性


    1.学生动手操作


    问:大家把事先准备好的一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?


    师生活动:学生动手操作,观察操作结果,可以发现沿着圆的任意一条直径对折,直径两旁的部分能够完全重合,由此可以发现:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.教师在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性.


    2.探索得出圆的对称性


    圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.


    师生活动:学生总结操作结论,教师强调圆的对称轴是直径所在的直线.


    3.问:圆有几条对称轴?


    师生活动:学生回答,教师强调圆有无数条对称轴.


    4.你能证明这个结论吗?


    师生活动:四人一小组,小组合作交流,尝试证明.让学生注意要证明圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于对称轴的对称点也在圆上.教师板书分析及证明过程.


    设计意图:在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力,使学生感受圆的对称性,掌握证明轴对称图形的方法.


    探究垂径定理


    按下面的步骤做一做,回答问题:


    第一步,在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的两半部分重合;


    第二步,得到一条折痕CD;


    第三步,在⊙O上任取一点A,过点A作折痕CD的垂线,垂足为点M;


    第四步,将纸打开,设AM的延长线与圆交于另一点B,如图1.





    图1 图2


    问题1 在上述操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么?


    师生活动:学生动手操作,观察操作结果,得出结论,看哪个小组做得又快、又好,记入今天的英雄榜.最后师生共同演示、验证猜想的正确性,从而解决本节课的又一难点——垂径定理的证明,此时再板书垂径定理及其推理的过程.





    证明:如上图2所示,连接OA,OB,得到等腰△OAB,即OA=OB.因为CD⊥AB,所以△OAM与△OBM都是直角三角形.又因为OM为公共边,所以这两个直角三角形全等.所以AM=BM.又因为⊙O关于直径CD所在的直线对称,所以A点和B点关于直线CD对称.所以当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,与重合.因此AM=BM,=.同理可得.


    垂直于弦的直径的性质:


    (1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;


    (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.


    问题2 你能用符号语言表达这个结论吗?


    师生活动:学生尝试将文字转变为符号语言,用数学符号表达定理的逻辑关系.教师更正并板书.


    符号语言表达:


    设计意图:增加学生的兴趣,使学生通过探索发现、思维碰撞,获得对数学知识最深刻的感受,体会成功的乐趣,发展思维能力.








    【例题应用 提高能力】


    例1 如图,所在圆的圆心是点O,过点O作OC⊥AB于点D.若CD=4 m,弦AB=


    16 m,求此圆的半径.





    师生活动:学生观察图形,利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件,发现若OC⊥AB,则有AD=BD,且△ADO是直角三角形.在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程.教师在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳:弦长、半径、拱形高、弦心距(圆心到弦的距离)四个量中,只需要知道两个量,其余两个量就可以求出来.


    解:设圆的半径为R,由题意可得OD=R-4,AD=8 m.


    在Rt△ADO中,,即.


    解得R=10(m).


    答:此圆的半径是10 m.


    设计意图:增加一道引例,是基础应用题,为课本例题的实际应用作铺垫,有过渡作用,不但让学生掌握了知识,又增加了学习数学的兴趣,更体会到成功的喜悦.


    例2 如图,赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1 400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).





    【教学图片】《二次函数》图片6赵州桥的图片,用于教学过程。


    师生活动:此题是垂径定理计算题中的另一种题型,主要考查垂径定理与勾股定理及方程知识的综合应用.教师在提示后让学生进行小组讨论,然后进行总结,得出结论,提醒学生做好笔记,养成良好的学习习惯.


    设计意图:让学生在探究过程中,进一步把实际问题转化为数学问题,掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图,进而发展学生的思维.


    【练习巩固,综合应用】


    1.如图,⊙O的直径AB=12,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP︰AP=1︰5,则CD的长为( ).


    A.4 B.8 C.2 D.4


    2.如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为______cm.


    3.⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是弦AB上的一个动点,则OP长的取值范围为 .

















    4.已知⊙O中,若弦AB的长为8 cm,圆心O到弦AB的距离(弦心距)为3 cm,求⊙O的半径.


    师生活动:教师分析“要求⊙O的半径,只要求出OA的长就可以了,因为已知点O到弦AB的距离为3 cm,所以作OE⊥AB于点E, AE=EB=AB=4 cm.此时就可以得到一个Rt△AEO”.学生回答,教师板书计算过程.


    5.如图,AB是⊙O的直径,作半径OA的垂直平分线,交⊙O于C,D两点,垂足为H,连接BC,BD.


    (1)求证:BC=BD;


    (2)若CD=6,求⊙O的半径长.


    6.银川市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图1所示,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道?





    图1 图2


    师生活动设计:让学生在探究过程中,进一步把实际问题转化为数学问题,掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图,进而发展学生的思维.


    参考答案:


    1.D 2.2 3.3≤OP≤5


    4.解:作OE⊥AB于点E,连接OA.则AE=EB.


    ∵AB=8 cm,∴AE=4 cm.


    又OE=3 cm,∴在Rt△AOE中,.


    ∴⊙O的半径为5 cm.


    教师引导:弦心距的作用就是平分弦,平分弦所对的弧,它和直径一样.求圆的半径问题,首先要利用弦心距,弦的一半和半径构造出一个直角三角形,然后和勾股定理联系起来.





    5.解:(1)如图,连接OC.


    ∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CD,


    ∴CH=DH,BC=BD.


    (2)连接OC.


    ∵CD平分OA,设⊙O的半径为r,


    则OH=r.


    ∵CD=6,


    ∴CH=CD=3.


    ∵∠CHO=90°,


    ∴OH2+CH2=CO2,即(r)2+32=r2.


    ∴r=2.


    故⊙O的半径长是2.


    6.解:如图2所示,连接OA,过点O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于点F,


    则AE=AB=30 cm.


    令⊙O的半径为R cm,


    则OA=R,OE=OF-EF=(R-10)cm.


    在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即


    R2=302+(R-10)2.


    解得R=50.


    所以修理人员应准备内径为100 cm的管道.


    设计意图:加深对勾股定理基本图形的认识,进一步体会利用垂径定理与直角三角形的知识解决实际问题.


    六、课堂小结


    师生活动:教师出示小结的问题,学生两人一组交流讨论,然后班内交流,不足之处教师给予补充.


    问题1 从知识上学习了什么?


    圆的轴对称性;垂径定理及其推论.


    问题2 从方法上学习了什么?


    (1)垂径定理和勾股定理的结合.


    (2)在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线:


    ①过圆心作垂直于弦的线段;


    ②连接半径.


    设计意图:总结回顾所学内容,让学生学会归纳、反思,提炼解决问题的方法.


    七、板书设计


    24.1 圆的有关性质——24.1.2 垂直于弦的直径


    1.圆的轴对称性


    2.垂径定理及其推论





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