高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法教学演示ppt课件

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1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3.了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域.
1.通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养；2.通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、函数的概念1.思考　(1)在函数y＝3x2中，自变量和因变量各是什么？(2)在函数y＝3x2中，给x一个值，都能求得对应的唯一的y吗？提示　(1)x是自变量，y是因变量，这也是初中阶段对函数的认识.(2)通过计算可以得到：在函数y＝3x2中，不管x取什么值，每给x一个值总能得到唯一对应的一个y值.
2.填空　函数的有关概念
函数的三要素：________、__________、______.
温馨提醒　(1)x与y的对应可以一对一，多对一，但不能一对多；(2)函数值组成的集合是值域，B不一定为值域.(3)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数.
3.做一做　(1)若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(　　)
解析　A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1，2}，故错误，故选B.
(2)下表表示函数y＝f(x)的x与y的所有对应值，则此函数的定义域为(　　)
A.{－1，0，1} B.{2，3，5}C.{x|－1≤x≤1} D.{x|2≤x≤5}
二、同一个函数1.思考　函数y＝x2＋1与函数y＝t2＋1是什么关系？提示　这两个函数都是表示实数的平方加1，定义域、对应法则都相同，是同一个函数.
2.填空　如果两个函数表达式表示的函数________相同，__________也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
温馨提醒　(1)当且仅当定义域相同，对应关系完全一致，两个函数才是同一函数，两者缺一不可；(2)表示自变量，因变量的字母可以分别是x、y，也可以是其它字母，只要对应关系和定义域相同，仍然表示同一函数.
3.做一做　判断正误(1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数.( ) (2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0，2]与g(x)＝2x，x∈[0，2]表示的是同一个函数.( )提示　两个函数的对应关系不同.(3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0，2]与h(x)＝x2，x∈(0，2)表示同一个函数.( )提示　两个函数的定义域不同.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 (1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)
题型一　函数关系的判断
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析　①错误，x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性.②正确，同时满足任意性与唯一性.③错误，x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性.④错误，x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性.
(2)已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(　　)
解析　根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素在集合B中没有元素与它对应，故不正确.
1.任取一条垂直于x轴的直线l，若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.2.判断一个对应是否是函数的方法
训练1 (1)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)
解析　A中的定义域不是[－2，2]，C中图形不满足唯一性，D中的值域不是[0，2]，故选B.
(2)已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数是(　　)A.① B.② C.③ D.④
解析　只有y＝|x|是符合题意的对应关系，故选D.
题型二　同一个函数的判定
解析　(1)f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；(2)f(x)与g(x)的解析式不同，不是同一个函数；
解析　(3)f(x)＝|x＋3|，与g(x)的解析式不同，不是同一个函数；(4)f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数；
判断两个函数是否为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数.(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的.(3)在化简解析式时，必须是等价变形.
训练2 (多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数.
题型三　求函数的定义域
角度1　求具体函数的定义域
例3 求下列函数的定义域：
解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1，且x≠1}.
解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.
角度2　求抽象函数的定义域
例4 已知函数f(x－1)的定义域为[－2，3]，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)
解析　∵函数y＝f(x－1)的定义域为[－2，3]，∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为[－3，2].∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，
角度3　求实际问题中函数的定义域
例5 如图所示，用长为1的铁丝做一个下面为矩形、上面为半圆的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数.
求函数定义域时，要注意应用下列原则：(1)分式中分母不能为零.(2)偶次根式中的被开方的数不小于零.(3)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集.(4)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.(5)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的.
注意　定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接.
(2)已知函数f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数f(2x－2)的定义域为(　　)
解析　由题意知－2题型四　求函数值和函数值域
(2)求下列函数的值域：
1.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.2.求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
1.函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图像.2.两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个 函数.3.y＝f(x)，x∈D与S＝f(t)，t∈D，表示同一函数.4.如果函数的解析式是由几部分数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.设f(x)＝x2是定义在A上值域为B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是(　　)A.{1} B.{－1}C.{－1，1} D.{－1，0}
解析　若集合A＝{－1，0}，则0∈A，但02∉B，故选D.
2.图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是(　　)
A.①② B.①④C.①②④ D.③④
解析　根据函数的定义，可以多对一，或一对一，故选B.
3.下列各组函数为同一个函数的是(　　)
解析　A.因为这两个函数的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；B.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；C.这两个函数的定义域和对应关系分别对应相同，所以这两个函数为同一个函数；D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数.故选C.
5.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有(　　)A.10个 B.9个C.8个 D.4个
解析　由2x2－1＝1，得x1＝1，x2＝－1；由2x2－1＝7，得x3＝－2，x4＝2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”.
8.下列各对函数中是同一个函数的是________(填序号).
③f(n)＝2n＋1(n∈Z)与g(n)＝2n－1(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一个函数；④f(x)＝3x＋2与g(t)＝3t＋2的定义域和对应关系分别对应相同，是同一个函数.
11.已知函数f(x2－2)的定义域为[－1，3]，则函数f(x)的定义域为(　　)
解析　由函数f(x2－2)的定义域为[－1，3]，得x∈[－1，3]，∴x2∈[0，9]，∴x2－2∈[－2，7].即f(x)的定义域为[－2，7].
12.(多选)下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图像的是(　　)
解析　A，D都满足函数的定义；在B中，当x＝0时，有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性；在C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性，故选AD.
13.已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立.
(1)求f(0)和f(1)的值.
解　令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0), 所以f(0)＝0.令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值.
解　令x＝y＝2，则f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2f(2)＝2a.令x＝y＝3，则f(9)＝f(3×3)＝f(3)＋f(3)＝2f(3)＝2b.令x＝4，y＝9，得f(36)＝f(4×9)＝f(4)＋f(9)＝2a＋2b.
14.设[x]表示不超过x的最大整数，已知函数f(x)＝x－[x]，则f(－0.5)＝________；其值域为________.
解析　∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[x]≤x，∴0≤f(x)＝x－[x]<1，∴f(－0.5)＝－0.5－(－1)＝0.5.