人教B版 (2019)必修 第一册3.1.1 函数及其表示方法教课内容ppt课件

课题名

3.1.1函数的概念

课标要求

1.理解函数的概念,了解构成函数的要素.(数学抽象)

2.会求一些简单函数的定义域和值域.(数学运算)

核心目标

1.理解函数的概念,了解构成函数的要素.

2.会求一些简单函数的定义域和值域.

教学准备

教师准备：教案、课件

学生准备：教材、学案

教学过程

情景引入

一个人的体重(千克)与身高(厘米)有一定的关系,民间有一个粗略的公式,根据身高算出正常的体重:男性标准体重(千克)=身高(厘米)-100,女性标准体重(千克)=身高(厘米)-102.下表给出的是我国成年女子标准体重的参照数据.

请算算你体重正常吗?如果你算出来的数据与标准体重差距较大,就说明你体重不够标准.

新知探究

知识点一  函数的概念

1.函数的定义

初中：在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就称y是x的函数.

高中：一般地,给定两个非空实数集A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的每一个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应,则f为定义在集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x称为自变量,y称为因变量,自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域,所有函数值组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.

名师点析

1.函数有三要素:定义域、值域、对应法则.

2.因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定,所以确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应法则.

3.要检验给定两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:(1)定义域和对应法则是否给出;(2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y.

知识点二   同一函数

     一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．

定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？

提示：不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．

核心目标检验

1.下列式子能否确定y是x的函数?

(1)  +=4;

(2)  √x−1+√y−1=1

(3)  y=√x−2+√1−x

2．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(1，＋∞)　     B．[1，＋∞)

C．[1，2)          D．[1，2)∪(2，+∞)

3．下列各组函数表示同一函数的是(　　)

A．y＝x^2−9/x−3与y＝x＋3

B．y＝√x^2－1与y＝x－1

C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)

D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z

4．若函数f(x)＝√x+6/x−1，求f(4)＝________．

课堂总结

1.理解函数的概念,了解构成函数的要素.

2.会求一些简单函数的定义域和值域.

命题讲练

命题方向1：函数的定义

例题1:(1)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数：

①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝1/x^2；

②A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；

③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应法则如图所示：

解：①集合A中的元素x＝0，在对应法则f的作用下，B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．

②所给对应是定义在A上的函数．

③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．

(2)(多选)下列各选项给出的两个函数中，表示同一个函数的有 (　　)

A．f(x)＝x与g(x)＝√x^2

B．f(t)＝|t－1|与g(x)＝|x－1|

C．f(x)＝√−x^3 与g(x)＝－x√−x

D．f(x)＝x^2−1/x+1与g(x)＝x－1

解：A中f(x)＝x，g(x)＝|x|，对应关系不同，故不是同一个函数；

B中定义域相同，对应关系也相同，故为同一个函数

C中f(x)可化为f(x)＝－x√−x=g(x)，且函数定义域相同，对应关系相同，故为同一个函数；

D中f(x)中x≠－1，g(x)定义域为R，定义域不同，故不是同一个函数

1．判断对应关系是否为函数的2个条件

(1)A，B必须是非空实数集；

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2．判断同一个函数的方法

判断函数是否是同一个函数，关键是树立定义域优先的原则：

(1)先看定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；

(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．

跟踪练习1:（1）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：

其中，表示集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)

A．0　 B．1      C．2  D．3

（2）下列各组函数中是同一个函数的是 (　　)

A．y＝x＋1与y＝x^2−1/x−1  

B．y＝x^2＋1与s＝t^2＋1

C．y＝2x与y＝2x(x≥0)  

D．y＝(x+1)^2与y＝x^2

命题方向2:求函数的定义域

例题2:求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝1/√x+1；

(2)g(x)＝1/x+1/x+2.

【解析】　

(1)因为函数有意义当且仅当解得x＞－1，所以函数定义域为(－1，＋∞)．

(2)因为函数有意义当且

仅当解得x≠0且x≠－2，

因此函数定义域为 (－∞,－2)∪(−2,0)∪(0,+∞)

求函数的定义域

(1)函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.

(2)当一个函数由多个代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而用“∪”连接．

跟踪练习2：求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝6/x^2−3x+2；

(2)f(x)＝(x+1)^0/√|x|−x；

(3)f(x)＝√2x+3−1/√2−x+1/x.

解析：(1)要使函数有意义，只需－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，

              故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．

(2)要使函数有意义，则,解得x<0且x≠－1.

           所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．

(3)要使函数有意义，则,解得－3/2≤x<2，且x≠0.

          故定义域为[−3/2，0)∪(0，2)．

命题方向3:求函数值和值域

例题3:(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x^2＋2(x∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________．

[解析]　∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.

          又∵g(x)＝＋2，∴g(2)＝＋2＝6，

                    ∴f(g(2))＝f(6)＝＝.

(2)求下列函数的值域：

①y＝x＋1；

②y＝x^2－2x＋3，x∈[0，3)；

③y＝；

④y＝2x－√x−1.

解：①(观察法)因为x∈R，所以 x＋1∈R，即函数值域是R.

②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图像(如图(ⅰ))，可得函数的值域为[2，6)．

③(分离常数法)y＝＝＝3－.

因为≠0，所以y≠3，所以y＝的值域为{y|y≠3}．

④(换元法)设t＝√x−1，则t≥0且x＝＋1，

所以y＝2(＋1)－t＝2(t−1/4)^2＋15/8，

由t≥0，再结合函数的图像(如图(ⅱ))，

可得函数的值域为[15/8, +∞).

1．函数求值的方法

(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；

(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．

2．求函数值域常用的4种方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；

(2)配方法：当二次函数或可化为二次函数时，利用配方法求其值域；

(3)分离常数法：针对有理分式，即其转化为“反比例函数类”形；

(4)换元法：运用新元代换，将函数化成值域易确定函数．对于f(x)＝ax＋b＋√cx+d(其中a,b,c,d为常数,且a≠0)型的函数常用换元法．　

跟踪练习3:求下列函数的值域：

(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；

(2)y＝√x＋1；

(3)先分离再求值域  y＝1−x^2/1+x^2；

(4)配方法求值域  y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)．

解(1)将x＝1，2，3，4，5分别代入y＝2x＋1，

计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．

(2)因为√x≥0，所以√x＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．

(3)因为y＝1−x^2/1+x^2＝－1＋2/1+x^2，定义域为R，因为＋1≥1，所以0<2/1+x^2≤2.所以y∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].

(4)y＝－－2x＋3＝－＋4.

因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.

所以1≤≤16.

所以－12≤4－≤3.

所以所求函数的值域为[－12，3].

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