考点27 平面向量基本定理和坐标表示、坐标运算（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点27  平面向量基本定理和坐标表示、坐标运算

关于平面向量的运算问题、常常结合有关平面向量基本定理进行求解，注意有关向量共线条件的应用问题。

命制高考试题时，常常借助于平面向量的坐标运算将几何问题代数化，然后再利用代数思想机芯求解，多以选择题、填空题为主，难度小。

一、平面向量基本定理的应用；

二、平面向量的坐标运算；

三、向量共线的坐标表示。

【易错警示】

1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？

提示　不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．

2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？

提示　不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．

3．已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若＝x＋y，写出x，y的关系式．

提示　x＋y＝1.

4. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　×　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　×　)

(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　)

平面向量基本定理的应用

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

应用平面向量基本定理的注意事项

(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．

(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．

(3)强化共线向量定理的应用．

【典例】

例1 如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.

(1)用a和b表示向量，；

(2)若＝λ，求实数λ的值．

解　(1)由题意知，A是BC的中点，

且＝，由平行四边形法则，

得＋＝2，

所以＝2－＝2a－b，

＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.

(2)由题意知，∥，故设＝x.[来源:Zxxk.Com]

因为＝－＝(2a－b)－λa

＝(2－λ)a－b，＝2a－b.

所以(2－λ)a－b＝x.

因为a与b不共线，由平面向量基本定理，

得解得

故λ＝.

平面向量的坐标运算

平面向量的坐标表示

(1)向量及向量的模的坐标表示

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

(2)平面向量的坐标运算[来源:学科网ZXXK]

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，

λa＝(λx1，λy1)．

【典例】

例2　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

∴解得

(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．

∴M(0,20)．

又∵＝－＝－2b，

∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．

本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？

解　设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点，

则＝(＋)，

即(x，y)＝[(－2,4)＋(3，－1)]＝，

所以线段AB中点的坐标为.

本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重心G的坐标？

解　设AB的中点为P，O为坐标原点，

因为＝，

所以＝＋＝＋(＋)，

所以＝(＋＋)＝[(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝，[来源:Z&xx&k.Com]

所以重心G的坐标为.

  向量共线的坐标表示

平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

平面向量共线的坐标表示问题的解题策略

(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．

(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．

【典例】

命题点1　利用向量共线求参数

例3　(1)(2019·内江模拟)设向量a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b，则实数x的值是________．

答案　2

解析　∵a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b，

∴2x＝4，即x＝2.

(2)(2020·海南省文昌中学模拟)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.

答案　－6

解析　由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，

由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，

解得k＝－6.[来源:Zxxk.Com]

命题点2　利用向量共线求向量或点的坐标

例4　已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_____．

答案　(3,3)

解析　方法一　由O，P，B三点共线，

可设＝λ＝(4λ，4λ)，

则＝－＝(4λ－4,4λ)．

又＝－＝(－2,6)，

由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，

解得λ＝，所以＝＝(3,3)，

所以点P的坐标为(3,3)．[来源:学,科,网]

方法二　设点P(x，y)，则＝(x，y)，

因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，

即x＝y.

又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，

所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，

所以点P的坐标为(3,3)．