考点27 平面向量基本定理和坐标表示、坐标运算（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题

这是一份考点27 平面向量基本定理和坐标表示、坐标运算（考点专练）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题，共21页。试卷主要包含了))，因为a>0,b>0,，故答案为等内容，欢迎下载使用。

考点27 平面向量基本定理和坐标表示、坐标运算

平面向量基本定理的应用
1.已知a＝(，1)，若将向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为(　　)
A.(0，4) B.(2，－2) C.(－2，2) D.(2，－2)
2.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
3.在△ABC中，点P是AB上一点，且＝2，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．
4.已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
平面向量的坐标运算
1.已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
2.在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，＝(2，－3)，则点D的坐标为(　　)
A．(6,1) B．(－6，－1)
C．(0，－3) D．(0,3)
3.已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.[来源:Zxxk.Com]
(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.
(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.

向量共线的坐标表示
1.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
2.已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为(　　)
A．4 B．－4 C．2 D．－2
3.已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b＝________.
4.已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.


一、单选题
1．已知点P在抛物线上，过点P作抛物线的切线，，切点分别为M，N，若，且，则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正方形中，分别是的中点，若则（　　）

A． B． C． D．
3．函数的图象在点切的切线分别交轴，轴于、两点，为坐标原点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是的重心，，若，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点（，不取端点），且．设，则的范围是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在中，，，和相交于点，则向量等于（ ）

A． B．
C． D．
7．已知，，，点在内，且与的夹角为，设，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
二、多选题
8．设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点是边的中点
B．若，则点在边的延长线上
C．若，则点是的重心
D．若，且，则的面积是的面积的
三、填空题
9．已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为______
10．已知三角形ABC中，长为2的线段AQ为BC的边上的高，满足，且，则BH=________

四、解答题
11．如图，扇形的半径为1，圆心角，点P在弧BC上运动，，则的最大值为________.

12．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.

（1）设，求的值；
（2）若，求的值.

一、单选题
1．已知向量，且，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．已知中，点M在线段上，，且.若，则（ ）
A． B． C．27 D．18
3．设，，若，则( )
A． B． C．1 D．1或
4．已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．平面向量，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知向量其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ）
A． 与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为
C． D．的最大值为2
8．已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．(7，9)
9．已知，，则正确的有（ ）
A． B．的单位向量是
C． D．与平行
三、填空题
10．已知向量若与平行，则m＝_____．
11．设向量，若向量与同向，则x＝_______.[来源:学科网]
12．是边长为6的正三角形，点C满足，且，，，则的取值范围是__________．
13．已知向量，，且，则=________.
14．已知直线的一个方向向量是，则它的斜率为______________.
四、解答题
15．已知．
（1）求；
（2）若与垂直，求实数的值.
16．已知向量．
（1）若，求k的值；
（2）若，求k的值．
17．已知在直角坐标系中（为坐标原点），，，．
（1）若，，共线，求的值；
（2）当时，直线上存在点使，求点的坐标．

考点练
考向一
1.【答案】B
【解析】∵a＝(，1)，∴－2a＝(－2，－2)，易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°(如图).向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，在第四象限，与x轴正半轴的夹角β＝30°，∴b＝(2，－2)，故选B.
2.答案　(1,5)
解析　设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
3.答案　
解析　＝2，
即P为AB的一个三等分点，如图所示．

∵A，M，Q三点共线，
∴＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，
而＝－，∴＝＋.
又＝＋＝－＋，
由已知＝t，可得＋＝t，
又，不共线，∴解得t＝.
4.答案　(－7，－4)
解析　根据题意得＝(3,1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
考向二
1.答案　D
解析　设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，
根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
2.答案　A
解析　＝(－3，－2)，∴＝＝－＝(5，－1)，则D(6,1)，故选A.
3.【解析】(1) a=2,b=2.
(2)因为=(-a,b),=(2,2-b),由A,B,C三点共线,得∥,所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab,因为a>0,b>0,
所以2(a+b)=ab≤,即(a+b)2-8(a+b)≥0,
解得a+b≥8或a+b≤0.因为a>0,b>0,
所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.当且仅当a=b=4时,“=”成立.
考向三
1.答案　A
解析　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴，共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－.
2.答案　B
解析　b＝2a＋b－2a＝(2,1)，∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.故选B.
3.答案　(1，－2)
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，
∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，
故可得3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．
4.答案　－
解析　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，所以＝－.


拓展练
1．A【解析】设，由，得，则，
则 即
同理直线的方程为 ，
联立的方程可得，则，
又由，得为三角形的重心,
则， ，得，
则，又抛物线上，得，即，
准线方程为.故选：A.
2．D【解析】取向量作为一组基底，则有，所以
又，所以，即.
3．B【解析】，，故，，，
故切线方程为：，故，.
，即，解得.故选：.
【点睛】本题考查了切线方程，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．C【解析】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,
，
根据向量的数量积的定义可得,
设，则，

，
当且仅当，即，△ABC是等腰三角形时等号成立.
综上可得的最小值是.
本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．D【解析】分别以所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，如图所示，
设，则，
所以，
可得，，
所以,
设，（其中）
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，此时，
又由，即函数，
所以，即，
即的取值范围是.
故选：D.

【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示，平面向量的数量积的坐标运算，以及最值的求解，其中解答中建立适当的平面直角坐标系，结合向量的数量积的运算公式，求得的表达式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6．B【解析】过点分别作交于点，作交于点，
已知，，
，则和，[来源:Zxxk.Com]
则：且，
即：且，所以，
则：，所以，
解得：，
同理，和，
则：且，
即：且，所以，
则：，即，
所以，即，[来源:学|科|网Z|X|X|K]
得：，
解得：，
四边形是平行四边形，
由向量加法法则，得，
所以.故选：B.

【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力.
7．C
【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知

则
故选B
8．ACD【解析】A中：,即：
,则点是边的中点
B. ,则点在边的延长线上，所以B错误.
C.

设中点D,则,，由重心性质可知C成立.
D．且设
所以，可知三点共线，所以的面积是面积的[来源:学科网]
故选择ACD
【点睛】通过向量加减运算，进行化简去判断点M的位置，难度较大.
9．6【解析】根据条件不妨设，，，
，
当，表示圆心为原点，半径为1的圆，
，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用红色线表示，
当，表示圆心为，半径为1的圆，
，表示圆心为，半径为1的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，

由条件可知点既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即是最大值是6.故答案为：6
10．【解析】如图，过分别作的平行线交于，交于，则，又，所以，因为，所以，所以是菱形，且，所以，， 因为，则是中点，即与重合，，
所以，所以．
故答案为：．

【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理，解题关键是作出平行四边形，由平面向量基本定理得出分别是的中点．
11．.【解析】如图所示：作平行四边形，分别在上，故.
故，设，
根据正弦定理：，，
故，，
故，
其中，当时，有最大值为.
故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换的应用，意在考查学生的综合应用能力.
12．（1）；（2）
【解析】（1）因为三点共线，所以，
设，所以，
所以，解得；
所以，，
所以；
（2）因为


又，
所以，
得，
即.


模拟练
1．C【解析】，，，
，解得，故选：C.
2．C【解析】依题意，得，而A，B，M三点共线，所以.
以C为原点，为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，则，
由，则，
又，则.
由于，即，
所以解得所以，
所以.
故选：C

【点睛】本题考查三点共线的充要条件、平面向量的基本定理、向量的坐标表示，考查直观想象、数学建模的核心素养，属于中档题.
3．A【解析】因为，又，所以，
解得.故选：A.
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.
4．C【解析】因为，，
所以；
因为向量，的夹角为锐角，所以有，解得.
又当向量，共线时，，解得：，
所以实数的取值范围为.故选：C.
5．D【解析】因为，，所以.故选：D
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力.属于基础题.
6．ACD【解析】A，C，D中向量与共线，不能作为基底；B中，不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
7．CD【解析】由题意知，，所以与的夹角为锐角，故选项A错误；
向量在方向上的投影为，故选项B错误；
，因为，均为正数，所以为非零向量，
且，故选项C正确；
由基本不等式知，，，当且仅当时取等号，
故的最大值为2，故选项D正确.故选：CD
【点睛】本题主要考查两平面向量的夹角及投影的概念，考查两向量平行的坐标关系及利用基本不等式求最值问题，属于基础题.
8．ABC【解析】由点，，则
选项A . ,所以A选项正确.
选项B. ,所以B选项正确.
选项C . ,所以C选项正确.
选项D. ,所以选项D不正确，故选：ABC
【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.
9．ABC【解析】，，
，故A正确；
，所以的单位向量是，
即，故B正确；
，
由，
解得，故C正确；
，与不平行，故D错误.故选：ABC.
10．4【解析】由题意可知若和平行，则，解得： 故答案为：4
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题型.
11．3【解析】若向量与同向,则，解得，
又当时，与反向，所以.故答案为：.
【点睛】本题考查向量的共线问题，考查向量共线的坐标运算公式，属于简单题，但在解答时要注意向量共线与同向的区别.
12．【解析】如图，建立平面直角坐标系，

∴ ，，，
∴ ，
∴
∴，
∵ ，，
∴ ，，
∴，
∴ 由二次函数的性质知，∴
故答案为：.
【点睛】本题考查向量坐标运算，模的求解，难点在于根据已知用表示向量的模，考查学生的数学运算能力.
13．【解析】向量，，且，
可得，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量共线的充要条件，二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题．
14．2【解析】直线的一个方向向量是，则直线的斜率为：
故答案为：2
【点睛】本题考查直线方向向量以及直线斜率，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．（1）；（2）3.
【解析】（1）因为，所以；
（2）因为，
所以，，
因为与垂直，所以，即.
【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，明确向量运算规则及垂直的坐标表示是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16．（1）或；（2）或．
【解析】（1）因为，所以，
解得或
（2）由题知．
因为，所以，
解得或．
【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示、向量垂直的坐标表示，属于基础题.
17．（1）；（2）或．
【解析】（1）；
∵、、共线，∴
∴
∴．
（2）∵在直线上，∴设
∴

∵
∴
即：
解得：或.
∴或．
∴点的坐标为或．