考点24 正弦定理、余弦定理（考点详解）-备战2022年新高考数学一轮复习考点微专题学案

考点24  正弦定理、余弦定理

本部分常常结合具体的题目情景综合考查考生灵活运用正弦和余弦定理求解有关边角问题，多以客观题或解答题形式考查，在求解过程中需要结合题意准确画出图形，然后结合图形的几何性质进行求解，难度多为中档题。

一、利用正弦定理解三角形；

二、利用余弦定理求解三角形；

三、正弦定理、余弦定理的综合应用。

【易错警示】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)

(2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　×　)

(3)在△ABC中，＝.(　√　)

(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)

利用正弦定理解三角形

正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．

【知识拓展】

1． 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.

2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

(1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．

（3）在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

【典例】

例1　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.

思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．

解　由正弦定理得＝，＝，

∴sin A＝.

∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.

当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；

当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，

c＝＝.

利用余弦定理求解三角形

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.

【典例】

例2　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.

(1)求角B的大小；[来源:Z_xx_k.Com]

(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

思维启迪：由＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解．

解　(1)由余弦定理知：

cos B＝，cos C＝.

将上式代入＝－得：

·＝－，

整理得：a2＋c2－b2＝－ac.

∴cos B＝＝＝－.

∵0<B<π，∴B＝π.

(2)将b＝，a＋c＝4，B＝π代入b2＝a2＋c2－2accos B，[来源:Zxxk.Com]

得b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，

∴13＝16－2ac，∴ac＝3.

∴S△ABC＝acsin B＝.

  正弦定理、余弦定理的综合应用[来源:学科网]

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.

在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．

【典例】

例3 (2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.

(1)求A；[来源:学科网ZXXK]

(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求出b，c.

解　(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.

因为B＝π－A－C，

所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.

由于sin C≠0，所以sin＝.

又0<A<π，故A＝.

(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.

而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.

解得b＝c＝2.